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FOR THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY 1896 T.1P,KARY UNIVERSITY OF CALIFORNIA PREFACE. rilHE Mathematical Congress of the World's Columbian Ex- -*" position — of whose proceedings a brief report follows this prefBice — entrusted the publication of the papers presented to the Congress to the Chicago committee editing this volume. Neither the management of the Exposition nor the govern- ment of the United States had made provision for the publishing of the proceedings of any of the Chicago Congressea No publisher was found willing to issue the papers at his own risk. At last a guaranty fund of one thousand dollars in all was subscribed, six hundred dollars by the American Mathematical Society, and four hundred dollars by members of that Society and other mathematicians. On the basis of this guaranty fund the publication of the volume of papers was made possible, the Am. Math. Soc. assuming the financial, and the Chicago committee the editorial responsibility. The Editors take this opportunity to express their grateful appreciation of the generosity of the subscribers to the guaranty fund, and of the interest in the undertaking shown by the officers of the Am. Math. Soc. They desire also to thank Messrs. MacmiUan and Co. for the satisfactory dress in which the papers appear. THE EDITORS. Chicago, Deeen^ber 1895. A BRIEF ACCOUNT OF THE CONGRESS ON MATHEMATICS, HELD AT CHICAGO IN AUGUST, 1898*. In the schedule put forth by the World's Congress Auxiliary of the World's Columbian Exposition of 1893, the week beginning on the twenty-first day of August Airmngwatuti. was designated for Congresses on Science and Philo- sophy. Early in 1893 the local coipmittee for the Department of Mathematics and Astronomy had sent invitations to a large number of eminent specialists in those sciences in American and European countries. In response to these invitations, many con- tributions were received by the local committee before the opening of the Congress. The government of one country, Germany, had delegated an Imperial Commissioner to attend the Congress in person. Professor Felix Klein of Göttingen, who brought nearly all the mathematical papers contributed by his countrymen, and cooperated effectively with the local committee in the preliminary arrangements. The general session of all congresses in the Department of Science and Philosophy, convened in the Memorial Art Palace, Hall of Columbus, at 10.30 a.m. of ^^]^. Monday, August 21st, 1893. After an address of welcome by Mr Charles C. Bonney, President of the World's Con- gress Auxiliary, responses were made by foreign delegates. The assembly then dispersed, to meet immediately in the smaller rooms set apart for the several divisions. • Compiled by H. 8. White from the official records of the Secretary, Profesaor U. W. Tyler of Boston, Massachusetts. VUl The divisions for Mathematics and Astronomy convened in Boom 24 at 12 M., under the chairmanship of Pro- MfitiiffmfitiiTff feasor G. W. Hoagh of Northwestern University. After the introductory address of the chairman. Professor Klein addressed the division upon "The Present State of Mathematics*." By vote of those present it was then resolved to meet in two separate sections, for Mathematics and for Astronomy respectively. The mathematical section met at 12.30 p.m. in Boom 25, where also all its subsequent sessions were held. The assembly was called to order by the chairman of the local committee. Professor E. H. Moore of Chicago. For the pur- pose of organization, a nominating committee was chosen, con- sisting of Professor J. M. Van Vleck of Wesleyan University, President H. T. Eddy of Bose Poljrtechnic Institute, and Professor O. Bolza of the University of Chicago. Upon their nomination the following officers were elected unanimously : President, Professor W. E. Story of Clark University ; ^^^ Vice-President, Professor E. H. Moore of the Uni- versity of Chicago ; Secretary, Professor H. W. Tyler of the Massachusetts In- stitute of Technology ; Eacecvtive Commutée, the above officers together with Professor Felix Klein of the University of Göttingen, and Professor H. S. White of Northwestern University. After a short recess the executive committee reported a program ^^^ for the week, according to which daily sessions should begin at 9.30 Â.M., and the papers and lectures re- ceived through the local committee and the commissioner from Germany should be presented as nearly as possible under the following order: Tuesday, August 22. Arithmetic, Algebra, Multiple Algebra: Wednesday, August 23. Algebraic Curve-Theory, Theory of Functions of a real variable ; * See p. 188 of this volame ; dXaoThe Momit, vol. 4, p. 1; Chicago, 1898. IX Thursday, August 24. Theory of Functions of a complex variable ; Friday, August 25. Theory of Groups; Saturday, August 26. Geometry. The committee recommended further that the Congress accept for the afternoons of Tuesday, Wednesday, and Friday the invitation of Professor Klein to visit the ^^^♦y German University Exhibit at the World's Colum- ^jodut. bian Exposition, and attend his exhibition and explanation of mathematical models and apparatus. These recom- mendations were adopted. At the session of Tuesday, on motion of Professor E. H. Moore, the Congress by acclamation elected as Honorary Homiraxy Pro- President Professor Felix Klein. iident, Kitin. Meantime a program had been printed. The papers at hand being too numerous and extensive for reading in full »^j^*,^ were given in abstract by their authors if present, otherwise by members designated by the executive committee ; or, where this was not possible, were read by title. With this neces- sary condensation the Congress listened daily to the reading of six papers and the delivery of two lectures, sessions lasting usually three to four hours. On the three afternoons above mentioned, the Congress met at the German mathematical exhibit in the Columbian Exposition at 3 p.m., and attended lectures there given by Professor Klein with the assistance of Professor H. Maschke of the University of Chicago. The order in which the several papers were read is a matter of indifference; the list of papers appears in the p^^p^y. Table of Contents of this volume*. The names of thoee in attendance, taken from the oflScial register ''«™^"- preserved by the Secretary, are as follows : Charlotte C. Barnum, New Haven, Connecticut. WoosTBB W. Bbmak, A.M., professor of mathematics, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan. * A brief synopsis of these papers is given by Professor H. W. Tyler: The Mathemaiical Congreu at Chicago, Bulletin of the New York Mathematical Society, vol. 3, pp. 14-19, : E. M. Blâke, Ph.D., instructor in mathematics, Columbia Collie, New York. T. M. Blâksleb, Ph.D., professor of mathematics, Des Moines College, Des Moines, Iowa. OsKAR BoLZA, Ph.D., associate professor of mathematics, University of Chicago. Ellbbt W. Davis, Ph.D., professor of mathematics, University of Nebraska, Lincoln, Nebraska. Henry T. Eddt, Ph.D., CE., President of Rose Polytechnic Institute, Terre Haute, Indiana. AcHSAH M. Ely, B.A., professor of mathematics, Yassar College, Poughkeepsie, New York. BuFUS L. Green, M.A., associate professor of mathematics, Leland Stanford Junior University, Palo Alto, California. George Bruce Halsted, Ph.D., professor of mathematics. University of Texas. Austin, Texas. Norbert Herz, Ph.D., Vienna, Austria. Thomas F. Holoate, Ph.D., instructor in mathematics. Northwestern University, Evanston, Illinois. Lorrain S. Hulburt, M. A., instructor in mathematics, Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland. John W. Johnson, M.A., associate professor of physics and astronomy. University of Mississippi. H. G. Keppel, fellow in mathematics, Clark University, Worcester, Massachusetts. Felix Klein, Ph.D., professor of mathematics. University of Göt- tingen, Grermany. John H. Kleinheksel, M. A., professor of mathematics, Hope College, Holland, Michigan. Frank H. Loud, B.A., professor of mathematics and astronomy, Colorado College, Colorado Springs, Colorado. Alexander Macparlane, Sc.D., LL.D., professor of physics. Uni- versity of Texas, Austin, Texas. James M^I^hon, M.A., assistant professor of mathematics, Cornell University, Ithaca, New York. Heinrich Masghke, Ph. D., assistant professor of mathematics. University of Chicago. Mansfield Merriman, Ph.D., C.E., professor of civil engineering, Lehigh University, Bethlehem, Pennsylvania. XI John A. Millbb, M.A., instmctor in mathematics, Leland Stanford Junior University, Palo Alto, California. £. Hastings Moorb, Ph.D., professor of mathematics, Universitj of Chicago. Jambs K Ouvbr, M.A., professor of mathematics, Cornell University, Ithaca, New York. Max Ostbbbbro, Columbia College, New York. Bbbnard Paladini, Ph.D., University of Pisa, Italy. John E. Purdon, M.D., Cullman, Alabama. Edward D. Rob, Jr., associate professor of mathematics, Oberlin College, Oberlin, Ohio. Ida M. Schottbnfbls, A.B., Chicago, Illinois. Montaoub R Sbvbbson, M.D., Charlottesville, Virginia. Jambs B. Shaw, Jr., Ph.D., professor of mathematics, Illinois College, Jacksonville, Illinois. William B. Smith, Ph.D., professor of mathematics and astronomy, University of Missouri, Columbia, Missouri« William E. Stort, Ph.D., professor of mathematics, Clark University, Worcester, Massachusetts. K Stddt, Ph.D., professor extraordinarius of mathematics. Univer- sity of Marburg, Germany. Henrt Tabbr, Ph.D., assistant professor of mathematics, Clark University, Worcester, Massachusetts. Harrt W. Ttlbr, Ph.D., professor of mathematics, Massachusetts Institute of Technology, Boston, Massachusetts. Charlbs a. Vax Vblzbr, Ph.D., professor of mathematics. University of Wisconsin, Madison, Wisconsin. John M Van Vlbck, M.A., LL.D., professor of mathematics and astronomy, Wesleyan University, Middletown, Connecticut. Clarbncb a Waldo, M.A., professor of mathematics, De Pauw University, Greencastle, Indiana. Arthur 6. Wbbstbr, Ph.D., assistant professor of mathematical physics, Clark University, Worcester, Massachusetts. Hbnry S. WnrrB, Ph.D., associate professor of mathematics. North- western University, Evanston, Illinois. Mart F. Winston, A.B., honorary fellow in mathematics. University of Chicaga M. J. Yantztn, San Francisco, California. XU Alexander Ziwbt, O.E., assistant professor of mathematics, Univer- sity of Michigan, Ann Arbor, Michigan At the final session on Saturday, August 26, after the regular program, certain concluding actions were taken. On motion of Professor J. M. Van Vleck it was voted: That the local committee of the mathematical PaidloatUm section of this Concress have authority to make arrangements m regard to the publication of the proceedings and memoirs. On motion of Professor Moore it was voted unanimously: That the thanks of this mathematical section be tendered to Professor Klein for his very valuable con- tributions to the proceedings of the Congress and for his interesting expositions of the mathematical material in the German University Exhibit at the Exposition. Eemarks were made by Professor A G. Webster of Clark Uni- versity, deprecating the separation, in our educational curricula, of thé different branches of mathematical and physical science. President Story congratulated the section upon the success of their sessions; and in behalf of the section acknowledged its indebtedness to Professor Klein, and the indebtedness of American mathematics in general to the influence and inspiration of German Universities and mathematicians. ▲djoiinmient. The section then adjourned sine die. TABLE OF CONTENTS.* PAOB BoLZA, Obkar, of Chicago : On Weiertirast^ sygtema of hyperdUpUc integrals of the first and second kindj Gle. 1 BuRKHABDT, HEINRICH, of OötÜDgeo, Germany : Uêber einige mathematische Resultate neuerer astronomd- edier Untersuchungen, imhesondere über irreguläre Integrale linearer Differentialgleichwngen^ H4aaref. ITS 13 Capklli, Alfredo, of Naples, Italy : Quelques formules relatives aux op&atians de polaire^ B 4b 35 Cols, Frank N., of Ann Arbor, Michigan : On a certain simple group, J4ay 40 Dtck, Walthbr, of Munich, Germany : EinleHung zu dem ßir den mathematischen Teil der deutsehen Universitätsavsstellung ausgegebenen Specialkatalog, Via 44 KcHCLB, WiLUAM H., of Charlottesville, Virginia : On interpolation formulae and their relation to infinite series, H12aa 62 Eddt, Hexrt t., of Terre Haute, Indiana : Modem graphical developments, B4dTef.K22 ... 58 Frickb, Robert, of Göttingen, Germany : Automorphe Functionen und Zahlentheorie, 06ay . . 72 Halsted, George Bruce, of Austin, Texas : Some salient points in the history of non-Eudidean and hyper-spaces, Y Bret Qlh 92 Hefpter, Lothar, of Giessen, Germany : Die neueren Fortschritte in der Theorie der linearen Differentialgleichungen, H4a 96 * We use the notation proposed by " la comndsiion permanente du répertoire bibliographique des seienees mathématiques^*^ Paris, 1898. XIV TABLE OF CONTENTS. PAGE Hbbmite, Charles, of Paris, France : tSur qudques propasüions fondamentales de la théorie dee fonctions dliptiqnee, F 4a 105 HiLBKRT, David, of Königsberg, Qermanj : üd>er die Theorie der algebraischen Invarianten, B4 116 Hubwitz, Adolf, of Zürioh, Switzerland : üeber die Reduction der binären quadratischen Formen^ 1 13 a 125 Klein, Felix, of Göttingen, Germanj : Ths present state of Mathematics, V 1^ Ueber die Entwicklung der Oruppentheorie während der letzten ttoamig Jahre, V9 136 Krause, Martin, of Dresden, Germany : Zur Transformation fünften Orades der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung, G4b 137 Lbmoine, Emile, of Paris, France : Considérations générales sur la mesure de la simpticité dans les sciences mathématiques, K21ad 143 Règle des analogies dans le triangle et transformation continue, K2e 155 Lerch, Matta^, of Prague, Austria : Sur une intégrale définie qui représente la fonction ^{s) de Riemann, E5 165 MacfaRlane, AlIsxanDer, *of AVistin, Tefas : * On the definitions of the trigonometric functions, K20a 167 The principles of the elliptic and hyperbolic analysis, D 6 d . 167 Martin, Artemas, of Washington : On fifih-potoer numbers whose sum is a fifth pouter, 1 19c 168 Maschke, Heinrich, of Chicago : Invariants of a group of 2*168 linear quaternary substi- tutions, B2d 175 Meter, Franz, of Clausthal, Germany : Tabellen von endlichen continuirlichen Tratuformations- gruppen, J4f 187 Minkowski, Hermann, of Bonn, Germany : U^>er Eigenschaften von ganzen Zahlen, die durch räum- liche Anschauung erschlossen sind, Iref.K .... 201 Moore, Eliakim Hastinos, of Chicago : Ä doubly-infinite system of simple groups, J 4 ay réf. 13 C 208 TABLE OF CONTENTS. XV PAGE Nbtto, Eüoen, of Qiessen, Germany : Uéber die arühmetuch-cUgebraiachen Tendenzen Leopold Kronecier'8,Y2tel.lètA 243 NoxTHBR, Max, of Erlangen, Qermanj : ConâecuHve und coincidirende Elemente einer algebraiêchen Curve, MU réf. 1 . .253 D'Ck^AONBy Maurice, of Paris, France : Nofm/ogra/phie: Sur les équaiions repréàentables par trois êystèmeê rectUigneê de pointé isoplèthes, A 1 b ft X 3 258 Paladini, Bernard, of Pisa, Italy : Sul moto di rotazione di un corpo rigido attomo ad un punto ßsso, B 1 c 272 DR Pbrott, Joseph, of Worcester, Massachusetts: A conêtruetien of Oalois^ group of 660 eUmenU^ J4ay . 273 PRRVOUCHINE, T. M., of Kasan, Russia : Concerning arithmetical operations involving large num- bers, XlTetl2 277 PiNCHERLE, Salvatore, of Bologna, Italy : Résuma de quelques résultats relatifs à la théorie des systhnes récurre^its de fonctions, H 11 C réf. H 12 D 278 Prinqbhedc, Alfred, of Munich, Germany : Ueber die nothwendigen und hinreichenden Beditigungen fur die Entwickelbarheit von Functionen einer redien Vari- ablen nach der Taylor'schen Reihe, G 1 e 288 Allgemeine Theorie der Divergetiz und Convergem von Reihen mit positiven Oliedem, D 2 a 305 Sawin, Albert M., of Evansville, Wisconsin : The cUgebraic solution of equations, A 4 a . 330 Schlegel, Victor, of Hagen, Germany : Einige Sätze vom Schtcerpunkt, B 2 b 331 Der pythagoräische Lehrsatz in mehrdimensionalen Räumen, Q2 337 ScHOENFLiEs, Arthür, of Göttingen, Germany : Gruppentheorie und Krystallographie, B 2d ref. Q4a .341 Strinohah, Irving, of Berkeley, California : A formulary for an introduction to elliptic functions, F . 350 XVI TABLE OF CX)NTENTS. PAGE Study, E., of Marburg, Germany : Adtere und nettere Unterêuchungen über Systeme com- plexer Zahlen, B12c 367 Some retearches in »p/ieriad trigonometry, K 20 f xefl F 8 f a 382 Tabxb, Hbnrt, of Worcester, Massachusetts : On orthogonal êubetitution, B2ca 395 WsBSB, Heinrich, of Göttingen, Germany : Zur Theorie der ganzzcMigen algebraischen Gleichungen, A 4 401 WxTB, Edouard, of Prague, Austria : Sur Véquation des lignes géoduiques, 51 408 ON WEIERSTRASS' SYSTEMS OF HYPER- ELLIPTIC INTEGRALS OF THE FIRST AND SECOND KIND. BY OSKAR BOLZA op CHICAGO. In Weierstrass' theory of Abelian functions, certain systems of associated integrals of the first and second kind play a funda- mental part ; they consist of p integrals of the first kind (p being the deficiency of the algebraic curve under consideration) and p integrals of the second kind, and are characterized by the reduced form of the bilinear relations between their periods. In the following paper, I propose to give a new exposition, based on Riemann's methods, of the theory of these systems of integrals — I shall, for shortness, call them canonical systems — which have recently gained an additional importance through their connection with Klein's researches on hyperelliptic and Abelian a-functions. I shall confine myself to the hyperelliptic case, but tlie conclusions can be immediately extended to the general Abelian case provided Riemann's existence-theorems are presupposed. § 1. Construction of a canonical system. Let y'=^R{x) = '^^(^^1'^\Aia^*-^ (1) t=ü \ * / be a hyperelliptic curve of deficiency p, T the corresponding Riemann-surface after it has been made simply connected by a set of 2p canonical cross-cuts*: ^> Ap+l J ^f ^+4» ••• ^9^^ (2). * For oar purpose it is more conyenient to write Ap^i, Ap^, ... A,p, instead of the iiBiial notation B], B^, ... Bp. C. P. 1 2 OSKAR BOLZA. In order to obtain, in the simplest possible way, a first canonical system of integrals, we assume arbitrarily a point ^ s= a, y = 6 in T\ finite and noit a branchpoint, and consider the p integrals of the first kind, ti.= \^ -f^ (a = l, 2,...p). J y It is easy to build up out of these integrals p other integrals of the first kind, Wu w^,...Wf, (3), linearly independent and such that the expansions of their deriva- tives according to powers of x — a shall have the following form, ^• = (ar-o)-' + (a:-a>'^(ar-a) (4) (o«1.2,...p). where the letter Iß denotes, as usual, an ordinary power series. In the second place we consider the p integrals of the second kind, ^ _ 1 f^/1 .y + fe \j ^'- ia-l)lJda'[2(,^^^^)'^' (a = l, 2,...p). They have no other pole than (a, b) and admit in its neighbour- hood the expansions* : Subtracting fix>m them proper linear combinations of Wi, Wj, ... w^, we easily obtain p new integrals of the second kind, w^+i, w^+„...t£;^ (5), having no other pole than (a, b) and in its neighbourhood the developments : The 2p integrals * See for inst. Rönigsberger, VorUtungen über die Theorie der kyperelHpt- iêcken Integrale, p. 18. HYPERELLIPTIC INTEGRALS. 3 form a catumical system. To prove it we have only to consider the integral /wx dWft, (X, fA being any two of the numbers 1, 2, ... 2p), taken along the complete rim of T'. For if we denote by 2cDxir the modulus of periodicity of wk at the cross-cut A„, and remember the particular form of the expansions (4) and (6), Cauchy's Theorems on residues furnish the relations* : + Çifx-./*= + P "T " ^-/* = -p ...(7). „ x-/a4=±p But these are precisely the bilinear relations which define a canonical system of integrals of the first and second kind. § 2. Détermination of all canonical systems. Having thus obtained a first canonical system, we proceed to derive from it all possible canonical systems. It is an immediate consequence of the relations (7) that the determinant of the periods is always different from zerof: |a,XMi+0(X,/* = l,2,...2p) (8). Hence it follows that every integral of the second kind is ex- pressible as a homogeneous linear function of w^ t(;s^...w^ + a rational function of x^ y. Now let Wi, w^,.., w^ be another canonical system, and let 2^xi^ denote tlie modulus of periodicity of Wk at the cross-cut A^, then S («X« w,^,+« - wxp+« w^) =t J Tri .q. — -g „ A, — /A = — p ...^y;. „ X-A*+±P * I follow as nearly as possible W eier s tr a s s' notations ; accordingly, the letters a» ^1 7 will always be used to denote indices running from 1 to p, whereas the letters X, M, r denote indices running from 1 to 2p; for the integrals of the first and second kind and their periods, I adopt the notation used by Weier strass in his course on hypeielliptio functions of 18S1-S2. t See for inst. Frobenius, Joumalßlr Math, Bd. S9, p. 41. 1—2 4 OSKAR BOLZA. But according to the last remark the new system is expressible in terms of the old in the form : ^x = 2cxM«'*i + n (10), where the Cx^'s are constants and the r^'s rational functions of a?, y ; moreover c«.p+p = 0, r. = (11), since w^.w^,.., top .are again integrals of the first kind. From (10) follows ©x,. = 2 Cx^ û)^„ (12). Substituting these values in (9) and making use of the relations (7) we obtain the following condition for the coefficients Ca^ : r + 1 if /A-X = + p 2 (Ca« C^+« — Cxp+a C^) = < — 1 „ /A — X = — p ...(13). i 0„/A-X+±p But we can give this result a more explicit form. The relations (13) are the necessary and sufficient condition that the cogredient substitution : XK^tcxiL^t,, yK^^c^nj/iL (14), transforms the reduced alternating bilinear form 2(^a^p+«-äJp+.y.) into itself, that is : 2(«ayp+a-îCp+ay.) = 2(a?^yp+^~aîp+/,yp) (15). a ß Since Cap+^ = we can throw the substitution (14) into the form* ^« = 2 C«/i Xß 2/«/i ^p+« = Xft+ß + 2 dßyXy ß a y y. = 2c«^y^ tfaßyp+a = yp+ß+tdßyyy, ' ß a y and if we substitute from these equations the values of * Compare the agreement concerning the notation of the indices in the footnote of p. 3. HYPERELLIPTIC INTEGRALS. 5 in (15) we obtain by comparing corresponding coefficients on both sides dßy = dyß, f^=c^. We thus reach the following theorem : Any two canonical systems Wi, Wt,..,w^ and Wi, tt;,, ...îï;^ are connected by the following tramformation : ß ^Caß(Wf^''rf,+^)=:Wf,+ß + XdßyWy (16), « y where the coefficients c^ are subject to the only condition that their determinant shall be différera, from zero |c^l+0, and the coefficients dßy to the condition dyß^dßy, while the rf^s are arbitrary rational functions of x, y, § 3. Periods of the integrals of the third kind. Let /^^ be an elementary integral of the third kind with the parameters (,, fo c^d the limits Xi, x^; it is single- valued in the surface T" derived from T' by a new cut from fo to fi» not inter- secting the cross-cuts Ax. Let further Ik denote the modulus of periodicity of / at the cross-cut Ax. The consideration of the integral* fWf^dl {w^ denoting one of the integrals of § 1), taken along the complete rim of T\ leads to the following ex- pression of Ik in terms of the integrals of the special canonical system of § 1 : where fcr'^* denotes the integral w^^ taken from the point fo to (^ in T. * Compare for inst Neu mann, AbeVêche Integrale^ p. 269. 6 OSKAR BOLZA. Among the infinity of elementary integrals of the third kind with the same parameters fi, fo> there exists one and but one for which in the above expression of the periods the second term disappears (for every X), viz. the integral For this integral S, the expression of the period, 8k, takes the simplified form S. = S(2«.,«,«-.-2«^^_,«,«') (18). But the same result which we have just proved with respect to the special canonical system of § 1 holds for every canonical system, viz. : To every canonicai system Wi, w^, . . . w^^^ there belongs one and but one elementary integral of the third kind, S^^^^, such that the expression of its periods, B^, in terms of the integrals w^, to,, ... w^ taJces the simplified form 8,^M2s^^v^;t-2^^^^v^:^) (19). Proof: Pass fironi the original canonical system of § 1 to the new system Wi,ïdi,...w^ by the transformation (16); it is then easily seen that the integral s«.=^«.+î»-;t^. (20) — (where r^'^^ denotes the difference of the values of the rational function r^+a in the two points fi, fo) — ^^^ ^^ other has the required properties. § 4. Interchange of Parameter and Argument. From the expression (19) of the periods of S* it follows that the theorem on the interchange of parameter and argument^ takes the following form for our integral 8: 8';^*-lw^f t£;'^^ = S^»*r -2«;*f ti;^'^- (21). * We drop the stroke and denote by w^ ... w^ any canonical system, by 8 the corresponding integral of § 3. t See for inst. Königsberger, Le. p. 65. HYPERELUPTIC INTEGRALS. 7 The left-hand side of this equation is itself an elementary integral of the third kind with the parameters fi, fo ^nd the limits Wi,a^; we denote it by Pf '** : •^ tit« ^"=«^^-î«'">^ (22). and obtain (21) in the form : ^" = ^i (23). that is : With every canonical system there is associated a perfectly definite elementary integral of the third kind, Pf f", defined by (22), which remains unchanged if the paramMers and limits are inter- changed. The periods of this commutative integral P are immediately derived from (19) and (21) ; they are : ^A = -2 2« «;«• (24). If we pass from the system Wi,Wi,...W2pto another canonical sjTstem Wj, Wt,,.. w^ by the transformation (16), the commutative integral P belonging to the new system is connected with P by the relation Hence follows the corollary : If two canonical systems lead to the same commutative integral P and have the same integrals of the first kind, then their corre- sponding integrals of the sec&tvd kind differ only by rational functions, § 5. Connection with the S-Function, Weierstrass' function* S(ui,u^,,..Up) depends on 4p" con- stants (" moduli ") o>x|A satisfying the same bilinear relations (7) which are satisfied by the half-periods of a canonical system, and besides a certain inequality which is necessary for the convergence of the B-series and which is likewise always satisfied by the half- periods. It is therefore allowed to choose for the moduli of the * See for inst. Sohottky, AbeVêche Fttnctionen, § 1; our /y;yb ^ (27), where Wi, t(;„...Wp are the integrals of the first kind of the canonical system under consideration; R^^.^ is a certain decomposition of R(x) into two factors of degree p + 1, which depends on the canonical dissection of the Riemann-surface ; yi, yo are the values of ^lR(x) in the points x^^ o^ and Xi, x^ denote the points (a?i , - yO, (x^ , - yo). * See for inst. Wiltheiss, Math, «Inn. 88, p. 269. t See Klein, Math, Ann. 27, p. 477 and 82, p. 86S and 876. HYPERELLIPTIC INTEGRALS. § 6. Special canonical systems. In this last § I propose to consider a few special canonical systems which are important on account of peculiarly simple properties either of the integrals of the first and second kind themselves or of the integrals of the third kind to which they lead. (a) Rienumn-ClébscKs System, To obtain this system, we choose for the integrals of the first kind the p normal integrals Vi, v,, ... Vp with the table of periods: A. 1 A. ...A, A^. Ap+. ... A^. ...0 Til Tu ... T,p 1 ...0 Tn T« ... T^ ...1 V Tp. ... Tpp / . ...(28). The integrals of the second kind are then determined up to additive integrals of the first kind (see § 2) ; by a proper choice of the latter we can make the periods 1àf^+a, ß = 0. This condition determines completely the integrals of the second kind, which we denote by their remaining periods follow fi*om the relations (7); they are contained in the following table*. Vk A, A. ...A, Ap+i A,+, ...0 ...0 -2in -27rt ...0 • • . ^Lgp ..0 ..0 .(29). -2m The commutative integral P belonging to this canonical system is Clebsch and Oordan's intégrai * Th« same System has been obtained in a different way by Klein in his paper on Abelian Fonctions, Math. Ann. 86, p. 10. 10 OSKAR BOLZ A. whose p first periods are zero. The corresponding function reduces to the function 6{ui, t/,,...ttp). Riemann and Clebsch- Qordan operate exclusively with this canonical system. (6) Weierstrass* System, Weierstrass uses in his lectures a canonical system whose characteristic feature is that the corresponding integral • where F{x, f ) is an integral function of x and f of degree ^ + 1 in each, symmetric in x, f , and moreover ^(f,f)=Ä(f). The transformation formula (25) shows that not only for the particular canonical system which leads to the above integral 8, but for every canonical system the commutative integral is reducible to the form (32). * Given for the case ilo=0 by Wiltheias, Jour.f. Math. 99, p. 238. t Weier strass' lectures. HYPERBLLIPTIC INTEGRALS. 11 (c) Klein's System. Among the infinity of commutative integrals of the third kind there is one of paramount importance, the integral discovered by Klein and denoted by him by the letter Q, in which the function f(^t f ) i^the p-\- 1st polar of R (x) %uith respect to f, that is, if we use homogeneous variables and write R {x) = a^^ : Among the various canonical systems which lead to this commutative integral Q, two are of particular interest : the system used by Klein himself, for which we refer to Klein's paper on hyperelliptic sigma flinctions (Math, Ann, 32, p. 365), and another system used by Wiltheiss in his researches on the partial differential equations of the B-functions (Math. Ann, Bd. 29, 31, 33). It may be described as Weierstrass' system so normalized that the corresponding commutative integral is Klein's integral Q, that is, the integrals are of the form where the jTa (^Xs are integral functions and satisfy the relation : d [I y + v \ yiy + q^'a<^^ _v gp.H>(f)g>(a?) .«,. dÇ\2{œ^Ç)y} 2(x^çryf, " 7 v V '"^ ^' Wiltheiss gives the explicit expression of the g^ (a?ys only for the case ^ = 2* ; to obtain it for the general case it is necessary to throw the function k j^ — t-t— into a covariant form by the intro- duction of an auxiliary variable t^-tiit^; the left-hand side of (34) becomes^ : where d^ denotes the complete differential with respect to the two * Math, Ann. 29, p. 276. t Compare Barkhardt, Math, Ann, 82, p. dS4. 12 OSKAR BOLZ A. HYPERELLIPTIC INTEGBALS. homogeneous variables into which f has been split up. Effecting the division by (x^Y I find the above expression equal to Putting ^ = 1, fj = and returning to non-homogeneous vari- ables we obtain the following result : The integrals «'--/ff('-T^)(f:i)'^'"'"''^"'^-<">' form a canonical system whose commutative integral of the third kind is Kleins integral Q, The integral Q is the starting-point of Klein's theory of hyperelliptic cr-functions ; indeed Klein's function cr(ui, ti,,...t*p) with the transcendental characteristic L) a /) ^ identical with the function 0(0. 0,...O) belonging to a canonical system with the commutative integral Q. ÜBER EINIGE MATHEMATISCHE RESULTATE NEUERER ASTRONOMISCHER UNTERSUCH- UNGEN, INSBESONDERE ÜBER IRRE- GULÄRE INTEGRALE LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. VON HEINRICH BURKHARDT in GÖTTINGEN. Seit etwa zwanzig Jahren haben die Astronomen damit begonnen, den Schwierigkeiten der allgemeinen Störungstheorie dadurch zu begegnen, dass sie die traditionellen Methoden der mécanique céleste zu verlassen und neue Bahnen zu eröffiien streben. Diese Bemühungen haben bereits eine Reihe von Resultaten geliefert, welche auch vom rein mathematischen Standpunkte aus höchst bemerkenswert sind; dieselben sind aber an vielen Orten zerstreut, ausserdem häufig versteckt zwischen rein astronomischen, auf die Bestimmung der auftretenden Constanteu u. dgl. bezüglichen Untersuchungen und sind infolge dessen unter den Mathematikern nicht so bekannt geworden, wie sie es verdienen. Andererseits sind einschlägige von Mathematikern angestellte Untersuchungen von den Astronomen nicht benutzt worden, sei es dass sie ihnen überhaupt entgangen sind, sei es dass sie unter der andersartigen Form der Darstellung die Bedeutsamkeit der Resultate für astro- nomische Zwecke nicht erkannten. Beiden, Astronomen wie Mathematikern, wird es deshalb vielleicht nicht unwillkommen sein, wenn im folgenden der Versuch gemacht wird, fiir ein wichtiges Capitel dieser Untersuchungen die von beiden Seiten erlangten Resultate unter Anwendung einer möglichst einheitlichen Darstellungs- und Bezeichnungsweise zusammenzustellen und zu vergleichen. Wenn das Resultat dieser vom mathematischen Standpunkt aus unternommenen Yergleichuug teilweise abweicht von der unter den Astronomen herrschenden Ansicht über den relativen Wert der verschiedenen Methoden, so glaube ich es um so weniger zurückhalten zu dürfen. 14 HEINRICH BURKHARDT. I. Ältere Ansätze der Mathematiker. Aus der allgemeinen Theorie der linearen Differentialgleich- ungen mit eindeutigen Coefficienten geht hervor, dass das allgemeine Integral einer solchen Gleichung n^' Ordnung in der Umgebung einer singulären Stelle x=^a sich darstellen lässt als Summe von n particulären Integralen der Form (x - ay [if>o + <^log (a? - a) + <^,[log (a? - a)]«+ ... + 4>m [log (x - a)]«*} (1). Die ij) bedeuten dabei Functionen, welche in der Umgebung von x^a eindeutig sind, also nach dem Laurent'schen Satze sich in Reihen nach Potenzen von a? — a mit positiven und negativen ganzzahligen Exponenten entwickeln lassen. Die Substitution* a? = a + 6c", i = V-l (2) führt diese Integrale über in folgende Form COS(^t-hÄ){<^o + ^<^i + ^*0,+ ...+«^<^m) (3). in welchen nunmehr die Ayi=Ayo, Ai7i=Ayi + A'7i Vi = y2+Vt, Ay>=Ayi, A^i=Ayj+Ai;« "•• (4). Vm-i = ym + Vm, A^in = DtJ/m-u A^wi = Aym + A^/m' Dabei sind yi, y,... so zu bestimmen, dass sie an einer bestimmten Stelle j; = a?o sanit ihren n — 1 ersten Ableitungen verschwinden. Sind die CoeflScienten in A klein gegen die CoeflBcienten von A» so hat es keine Schwierigkeit einzusehen, dass von den Functionen yo, yi. y2«- jede folgende klein gegen die vorhergehende ist, solange die unabhängige Variable auf einen kleinen Bereich beschränkt bleibt. In diesem Sinne sind Processe, welche specielle Fälle des Fuchs'schen darstellen, seit langem als gute Annäher- ungsverfahren betrachtet und geübt worden. Aber die Integration der in (4) auftretendeYi Gleichungen "mit zweitem Glied" führt im allgemeinen Saecularglieder ein, und man hat es früher wol stets als selbstverständlich angesehen, dass diese die Convergenz des Verfahrens störten, sobald die unabhängige Variable eine gewisse Grenze erreicht. Dem entgegen hat Fuchs a. a. O. bewiesen, dass die Reihe y = yo + yi + y8+ ... +ym + .. in inf (5). Exponenten in schlagender Weise : trotz alledem hat noch ganz neuerdings Häntzsohel {Reduction der Potentialgleichung auf gewöhnliche Differentialgleich- ungen, Berlin, 1898, p. 108) beide verwechselt nnd daraof einen ganz ungerecht- fertigten Angriff gegen Resultate yon Bruns gegründet. * Annali di matewiatica, ser. ii. t. 4, p. 36 (1870). DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 17 ungeachtet des Auftretens der Saecularglieder für alle nicht singulären Werte der unabhängigen Veränderlichen convergirt, ohne dass man über die Grösse der Coefficienten in A und jD, irgend eine Voraussetzung zu machen brauchte. XJber die Art des Verhaltens der Integrale in der Umgebung der singulären Punkte geben Reihen der Form (5) zunächst keinen Aufschluss; die formal auftretenden Saecularglieder brauchen nichts weiter zu sein als Entwicklungsglieder periodischer Func- tionen. Wie man gleichwol von ihnen aus zur Bestimmung der Exponenten p in (1) vordringen kann, hat P. Günther* gezeigt. Von astronomischer Seite ist von diesem Convergenzbeweis von Fuchs keine Notiz genommen, vielleicht weil Fuchs in der Einleitung anzudeuten scheint, dass es sich um zu numerischer Berechnung weniger geeignete Methoden handle. Thatsächlich sind, wie wir später noch sehen werden, verschiedene der von den Astronomen inzwischen vorgeschlagenen Methoden Specialfalle seines Ver&hrens. Fuchs hat auch noch einen andern Ansatz zur analytischen Darstellung der Integrale gegeben f; derselbe beruht aber auf dem Satze vom Grenzkreis, dessen Unrichtigkeit von AnissimoffJ dargethan worden ist, und es bedarf noch der Nachuntersuchung^ in wie weit mit diesem Satze auch die aus ihm gezogenen Folgerungen fallen. Von diesen Ansätzen abgesehen beziehen sich die Methoden, welche zur Darslellung der irregulären Integrale in der Umgebung eines singulären Punktes gegeben worden sind, zugleich auf einen allgemeineren Fall. Ob nämlich der Weg der Veränderlichen x, dem entlang die Veränderung der Function verfolgt werden soll, einen einzelnen singulären Punkt umkreist oder deren mehrere, ist gleichgiltig ; wesentlich ist nur folgendes: es muss voraus- gesetzt werden, dass die Coefficienten der vorgelegten Differential- gleichung analytische Functionen von x sind, welche zwischen zwei concentrischen Ejreisen eindeutig und stetig sind, sodass sie sich innerhalb des von diesen Kreisen begrenzten Ringgebietes in Laurent'sche Reihen entwickeln lassen. Wie sie sich innerhalb * Journal f. d. r. u. a. Matheinatik, Bd. 106 (1890), p. 830, und Bd. 107 (1891), p. 298. t Ebenda Bd. 75, p. 177 (1872). t Mathematiêche Ännalen, Bd. 40, p. 145 (1892). c. p. 2 18 HEINRICH BURKHAiEtDT. des inneren oder ausserhalb des äusseren Begrenzungskreises verhalten, bleibt dabei ganz gleicbgiltig» und die speciellen Fälle, in welchen der Radius des äusseren Begrenzungskreises bis ins unendliche erweitert oder der des inneren beliebig verkleinert werden darf, bieten keine wesentliche Vereinfachung. Unter der getroffenen Voraussetzung sind die Integrale innerhalb des Ring- gebietes unverzweigt ; aber bei Durchlaufung einer in ihm liegen- den geschlossenen Curve, die sich ohne Überschreitung seiner Grenzen nicht auf einen Punkt zusammenziehen lässt, erfahren sie eine lineare Substitution mit constanten Coefficienten. Sei œ^a der gemeinsame Mittelpunkt der beiden Begrenzungskreise, so werden auch in diesem Falle die Integrale sich in der unter (1) gegebenen Form darstellen, und es handelt sich nur noch um die Bestimmung der in ihr auftretenden Exponenten und Coeffi- cienten. So gefasst scheint die Fragestellung auf den ersten Blick sehr abstract zu sein und von allen Anwendungen weit abzuliegen ; in der That ist das keineswegs der Fall. Denn die Substitution (2) flihrt das unendlich oft überdeckt zu denkende Ringgebiet über in einen Parallelstreifen, der bei geeigneter Wahl der Constanten b die Axe der reellen Werte von t in sich enthält; die vorgelegte Differentialgleichung aber geht unter Beibehaltung ihres linearen Charakters über in eine andere, deren Coefficienten als Functionen von t durch absolut und gleichmässig convergente trigonometrische Reihen dargestellt sind; und solche Gleichungen treten bei physikalischen und astronomischen Problemen sehr häufig auf. Die Aufmerksamkeit der Mathematiker hat sich zunächst der Bestimmung der Exponenten p in (I) zugewendet. Die Grössen e^ sind Wurzeln einer algebraischen Gleichung, die man aufstellen kann, wenn man die lineare Substitution kennt, die irgend n von einander linear unabhängige Integrale bei einem Umlauf innerhalb des Gtebietes erfahren. Seien etwa n solche yii y^-'-yn gewählt, welche durch die Bedingung definirt sind, dass für * = 0, a? = tt + 6 bezw. y, = l, y/ = 0,...y,(«-^^ = 0>j y, = 0, y; = l,...y,<'-^> = (ß)^ werden soll. Analytische Fortsetzung auf einem Wege der DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 19 bezeichneten Art führt yi, y^^.^.yn über in andere Integrale yi^yti-'-Vn] die Coefficienten der Anfangsglieder in den Entwick- lungen derselben nach Potenzen von d; — (a + 6) geben dann direkt die gesuchten Substitutionscoefficienten, und deren Bentimmung ivürde somit geleistet sein, wenn das Yer&hren der analytischen Fortsetzung sich thatsächlich durchführen liesse. Die hiermit bezeichnete Schwierigkeit würde wegfallen, wenn man eine Ent- wicklung benutzte, aus der gleichzeitig die Anfangs- und die Endwerte der Integrale entnommen werden können. Die Methode von Fuchs vom Jahre 1870 leistet das in der That; aber sie ist wie oben bemerkt erst ganz neuerdings zur Bestimmung der p verwendet worden. Hamburger hat vorgeschlagen*, die Ent- wicklung nach Potenzen der durch (2) definirten Grösse t vorzunehmen. Unbeschadet der Allgemeinheit darf angenommen werden, a sei der Nullpunkt und das Binggebiet sei durch die Ungleichungen Ä< \^\2^ (9) ist, auch noch für t^2ir convergiren und also die gesuchten Elndwerte zu berechnen gestatten. Ist aber die Ungleichung (9) nicht erfüllt, so werden auch hier analytische Fortsetzungen erforderlich; aber die Anzahl der Zwischenwerte, welche einge- schaltet werden müssen, ist geringer, als bei dem ersten Ansätze. XJberdies hat Mittag-Leffleri* gezeigt, dass dabei noch gewisse Vereinfachungen erzielt werden können. Von einer Einschränkung wie die durch die Ungleichung (9) ausgedrückte frei ist die Methode von Poincaré^, der durch die * Joum.f. d. r. u. a. Math., Bd. SS, p. 1S5, Bd. S4, p. 264 (1S77). f Acta mathenuUica, Bd. 15, p. 25 ff. (1891). t Ebenda Bd. 4, p. 211 (1884). 2—2 20 HEINRICH BURKHARDT. Substitution* ^=V-^ (10). den Parallelstreifen auf einen YoUkreis abbildet und die Integrale nach Potenzen von z entwickelt. Im Anschluss hieran ist die functionentheoretische Untersuchung der Abhängigkeit der Ex- ponenten p von den in der DiflFerentialgleichung auftretenden Coefficienten in der Pariser These von H. Vogt-|" weitergeführt worden. Beide Methoden, die von Hamburger wie die von Poincaré, liefern schliesslich Ausdrücke für p, welche den willkürlich zu wählenden Ausgangspunkt der Entwicklungen formell enthalten, während ihr Wert tatsächlich von demselben unabhängig sein muss. Mittag-Leffler hat gezeigtj, wie man die von dieser Hilfsgrösse freien Glieder der betr. Entwicklungen erhalten kann, ohne alle übrigen berechnen zu müssen. Übrigens scheint weder die eine noch die andere Methode jemals zu numerischer Durchführung in einem einzelnen bestimm- ten Fall verwendet worden zu sein. IL Die Methode von Hill. Während so die Mathematiker noch mit unvollkommenen und umständlichen Methoden sich behalfen, war die Aufgabe bereits von dem amerikanischen Astronomen G. W. Hill gelöst worden§. Hill greift die Schwierigkeit ganz direkt an, indem er folgender- massen vorgeht : Sei vorgelegt die Differentialgleichung *|=i'.(^).y (11). in welcher Pj(a?)= 2 a^a^, x — e^ (12). * h hat hier dieselbe Bedeatang, wie anter (9). t Sur les invariants fondamentaux des éqa. di£F. du second ordre (1889), abgedr. Ann, de V école normale^ sér. m. t. 6. X Acta, matJtem,, Bd. 15, p. 20, p. 29. § On a part of the motion of the moon*» perigee^ Cambridge, U.S., 1877, insbes. p. 17 ff. ; wiederabgedr. Acta mathem., Bd. 8 (1886). DIFFEBENTIALOLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 21 Soll diese Gleichung durch eine Reihe der Form y= 2 jr^aj^"*. I«-» .(13), integrirt werden, so müssen die unendlich vielen Coefficienten gi den unendlich vielen linearen Gleichungen +00 (p + 2;)*srj« 2 giOi-i, j = -x... + oo. <--« •(14). genüge leisten. Das erfordet das Verschwinden der unendlichen Determinante dieses Gleichungssystems ; dieselbe ist i>0>) = ...[-2] -o, -o, -a, -a4. ...-a.i [-1] -Ol -o, -a,. ... — a__« — a_i [0] * — Ol — Oj . ... — a--4 — a_» — a__4 — a^i [2] . (15), wenn zur Abkürzung [j] = (p + 2i)'-a, ....(16), gesetzt wird. Der Exponent p in (13) muss also eine Wurzel p der Gleichung i)(p) = (17), sein ; er ist aber seiner Definition nach nur bis auf gerade ganze Zahlen bestimmt, und in der That ändert sich D (p) nicht, wenn man p um eine solche Zahl vermehrt oder vermindert. Mit p' zugleich sind also auch p'±2, p'±4... Wurzeln von (17). Ausserdem ist in dem von Hill behandelten Falle allgemein Qk^a^, was zur Folge hat, dass auch —p\ —^'±2, — p'±4 Wurzeln von (17) sind. Es hat also D(p) dieselben Nullstellen wie cos (/97r) — cos (^V) ; demnach muss eine Identität der Form bestehen i)(/>) = ^[cos(^)-cos(pV)] (18), wo E eine nirgends verschwindende Function von p ist. Hill nimmt an, sie sei eine Constante und bestimmt sie folgender- massen: nimmt man von D(p) nur eine endliche Anzahl sym- metrisch um das Element [0] herum gelegener Elemente zu einer Determinante zusammen und entwickelt diese nach au&teigenden 22 HEINRICH BURKHARDT. Potenzen von p, so ist 1 der Coefficient der höchsten vorkommenden Potenz ; dagegen in der bekannten Productentwicklung co8(p^) = (l-V)(l-^')(l-*^ (19). ist er i4.f.^.... Multiplicirt man demnach allgemein alle Elemente derjenigen Zeile von D (p\ in welcher das Element [j] vorkommt, mit 4 4 so entsteht eine neue unendliche Determinante V(/>), welche identisch gleich cos (/t>7r) — cos (/> V) ist; insbesondere hat man also die zur Rechnung und ControUe dienlichen Formeln cos(^V> = l-V(0)=-V(i) = -l-V(l)= (20). Eine andere Umformung erhält Hill, indem er davon ausgeht, dass das Produkt der " Diagonalelemente" in V(0) gleich 2 sin' il^") ist; durch Division . jeder Zeile von V(0) mit ihrem Diagonal- element erhält er eine neue Form n (0), deren Diagonalelemente alle = 1 sind. Ähnlicher Umformungen gibt er noch mehrere. Ist erst der Wert von p' gefunden, so geschieht die Auflösung des Gleichungssystems (14) einfach dadurch, dass alle a und g, deren Indices eine gewisse Grenze überschreiten, vernachlässigt werden. Dadurch reducirt sich das System auf ein endliches. Man sieht, dass durch Hill's Verfahren das Problem vollständig und auf die direkteste Weise erledigt ist. Aber um die Begrün- dung desselben, um die Frage nach der Convergenz der mannig- fachen dabei auftretenden unendlichen Prozesse hat er sich wenig Sorgen gemacht. Insofern bedurfte sein Vorgehen der functionen- theoretischen Nachprüfung. Diese ist ihr denn auch durch Poincaré* zu teil geworden; und ganz neuerdings hat H. von Kochf eine ausführliche Darstellung der Theorie veröflTentlicht, * Bulletin de la ioeiété math, de France, t. 14 (1S86), p. 83 ff. Poinoaré war bereits yon anderer Seite her auf unendliche lineare GleiohangssyBteme aufinerk- sam geworden (a. a. 0. 1. 13, p. 19). t Acta mathematica, Bd. 16 (1892), p. 217 ff.; vorläufige Mitteilungen in den F9rhandUngar der Stockholmer Akademie, 1890, und in Acta math,, Bd. 15 (1891). DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 23 welche auf dem von Poincaré eröffneten Wege den allgemeinen Fall einer linearen Ditferentialgleichung beliebig hoher Ordnung mit Integralen der allgemeinen Form (1) in sorgfältiger Durch- führung aller Einzelheiten der Beweise erledigt. Wesentlich ist dabei vor allem eine bestimmte Definition dessen, was unter einer unendlichen Determinante verstanden werden soll ; Poincaré und von Koch wählen die folgende : Seien ^ik (t, A = -oo... + Qo), eine doppelt imendliche Reihe gegebener Grössen, und sei Dm die aus den A^ unter der Einschränkung i, k^ — m, — /n + l, ... m— 1, m gebildete Determinante; wenn diese Grössen D^ mit wachsen- dem Index m einem bestimmten Grenzwert D sich nähern, so heÎBst die aus allen ^^ gebildete unendliche Determinante con- vergent und jD ihr Wert. Die Definition bevorzugt die " Diagonal- elemente," d. h diejenigen, deren beide Indices einander gleich sind, und unter diesen wieder A» ; es wird dann gezeigt, dass zwar die ersteren in der That eine besondere Rolle spielen, dass aber jedes von ihnen an die Stelle von Aqo treten kann. Convergent sind insbesondere die Determinanten " von normaler Form," d. h. diejenigen, in welchen sowol das Produkt der Diagonalelemente, als die Summe aller übrigen Elemente unbedingt convergiren; femer auch diejenigen, welche dadurch auf normale Form gebracht werden können, dass man alle Elemente jeder Zeile mit einer bestimmten Grösse multiplicirt und alle Elemente der gleich- namigen Colonne je mit derselben Grösse dividirt *. Von solchen Determinanten zeigt von Koch, dass für sie alle Sätze der gewöhn- lichen Determinantentheorie insoweit gelten, als die bevorzugte Stellung der Diagonalelemente gewahrt bleibt. Auf Grund dessen ist die Auflösung unendlicher linearer Gleichungssysteme ohne weitere Schwierigkeit zu erledigen ; wesentlich ist dabei, dass bei einer Determinante von normaler Form nicht alle Hauptunter- determinanten bis zu beliebig hoher Ordnung hin Null sein können. Die Anwendung auf die Darstellung der irregulären Integrale * Für Detenninanten dieser Art hat Yivanti {Annali dt matem., ser. u. t. 21, p. 2S (1893)) die fiezeiohnang ** normaloide " vorgeschlagen. 24 HEINRICH BURKHARDT. linearer Differentialgleichungen, die von Koch allgemein gibt, mag hier zu leichterer Vergleichung sowol mit Hill, als mit den noch zu besprechenden Methoden für den Fall der Gleichung* + P,(^)y = O, P,(^)= jS^ax^ (21), skizzirt werden. Wird wieder ein Integral der Form y= ^ giof^' (22), l=-oo gesucht, so lautet diesmal das zu behandelnde unendliche Glei- chungssystem + 30 (/)+m)(/o+m-l)5fw+ 2 am-x-«flrx = 0, m = -«... + « ...(2:0, +00 oder 2 '^mAffx = 0, m = -oo... + oo (24), wo ifr^m = 1, dagegen für X ^ w : ^"^ = (p + m)(pT"m"ll)-«_, (2^^>- Die Determinante dieses Gleichungssystems — die Hill's nO>) entspricht — bezeichnet von Koch mit ß(/)); aus ihr entsteht eine andere. Hill's V (p) entsprechende, von v. Koch mit D (p) bezeich- nete, indem man die linke Seite jeder der Gleichungen (23) mit einem Factor hm multiplicirt, der wie folgt definirt ist: Seien Pi, /Oj die Wurzeln der Gleichung p(/>-l)-flL^ = (25), (der bei Hill p* — Oo == entspricht), so ist Ao(p) = l, A^(p) = le"^^"'"^"fürm^O (26). 7/1 Diese Determinante D (p) ist dann, wie aus dem Cauchy'schen Satze über den Maximalbetrag der Goefficienten einer convergenten Potenzreihe gefolgert wird, für alle Werte von p gleichmässig convergent und stellt also eine ganze transcendente Function von p vor-f. Andererseits ist * Man beachte, dass in (11) e, in (21) x unabhängige Variable ist. t Durch diesen Satz hat sich von Koch den Weg zur Beh^rsohung auch der mit Logarithmen behafteten Integrale gebahnt. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DEB ASTRONOMIE. 25 -^(p) = ^8"^(p-Pi)'r8În(p-/o,)7rn(p) (27), D(p) wie il(fi) sind periodische FunctioDen von p mit der Periode 1 ; il(p) wird im Feriodenstreifen zweimal unendlich und besitzt im unendlich fernen Funkte desselben den bestimmten Wert 1 ; es mufis also auch zweimal, für p = p' und p = p'\ Null werden; schliesslich erhält man i)(p) = ^8in(/o-p')'^8Îû(/)-p'0T (28). Der Fall p' ^p" erfordert noch weitere Untersuchungen, die v. Koch sorgfaltig durchgeftlhrt hat, die aber hier bei Seite gelassen werden können ; ist aber p' ^ p", so ergibt sich sofort die Bestim- mung der zu jedem dieser Werte gehörigen Coefficienten jr^. Damit ist Hill's Verfahren vollständig gerechtfertigt. m. Die Methode von Oyldén, Eine andere Methode zur Behandlung der Differentialglei- chungen der Form (11) oder (21) hat Gy Idén* vorgeschlagen. Sie beruht darauf, dass unter Voraussetzung, die höheren Glieder in der Entwicklung von P^{x) seien von geringem Einfluss, die vorgelegte Differentialgleichung durch eine Lamé'sche Differen- tialgleichung, und zwar durch den "ersten Hermite'schen Fall" einer solchen ersetzt wirdf. Die GleichungJ ^+ [- 2Jfc* sin« am w - A» sin« am t; + 1 + A:»]y = 0...(29), * Koxze Mitteiltmg in der Vierteljahn»ehrift der oBtronomUchen Oeeeüschaft^ Bd. 16; ansführliohe Dantellnng der gesamten Stönmgstheorie Gyldéns (un- deraokningar af theorien för himlakroppamas rörelser) im bihang tili K. metuka veten$kapi akad. handlingar, Bd. 6, Nr. 8 und 16, Bd. 7, Nr. 2 (1881—82) [für tmaere Frage konunen haaptsichlich Bd. 6, Nr. 8, p. 50—58 in Betracht] ; Besame dieser Abhandlung in den Aitron. Nackrichtetit Bd. 100, p. 97 ; weitere allgemeine Anaeinandersetzongen ebenda Bd. 108, p. 49. Dann die zahlreichen Abhandluigen Oyldén 's and seiner Schüler, in welchen seine Methoden aaf specielle Probleme angewendet werden. Über deren astronomische Tendenzen und Besoltate orientirt ein znsammeohängender Bericht Ton C(allandreaa), im Bulletin astronomique, t. 7 (1890), p. 470; die mathematischen Fragen sind dort bei Seite gelassen. t Hermit e, Surqques. applieation$ deufonetiom eüiptiquet, Paris, 1885. X Die Bezdohnangen sind die der Fandamenta Jacobins. 26 HEINRICH BURKHARDT. hat nämlich das allgemeine Integral* Diese Gleichung hat in der That die Gestalt von (11); es ist nämlich, wenn < = f (31). gesetzt wird sin« am u = J (1 - cos 2 am t^) = J (1 - S Fi« cos %t). . .(32). Die CoeflScienten F hatte Gyldén schon bei einer früheren Gre- legenheit bestimmti* und insbesondere gefunden r."-(Ä)'^r^ w f Die ersten beiden Glieder des CoeflScienten von y in der Differen- tialgleichung ^ + r2aicos2i«)y = (34). stimmen daher mit den entsprechenden Gliedern in (29) iiberein, wenn in diesen der Modul der elliptischen Functionen und die Hilfsgrösse v den Gleichungen gemäss bestimmt wird fZY = |. A'amt; = a.g-Ä;'r.« (35). Die CoeflScienten in (32) nehmen rasch ab ; wenn auch die in (34) dieselbe Eigenschaft haben, kann (30) als erste Annäherung für das Integral von (34) gelten. Um aus dieser ersten Annäherung eine zweite zu erhalten, ersetzt Gyldén in den bei ihr vernachlässigten Gliedern die abhängige Veränderliche durch ihren ersten Näherungswert. Er erhält so $ für die Correction eine Lamé'sche Differentialglei- * Den Bchon Ton Lamé selbst erledigten Ansnahmefall, dass « einer Halbperiode gleich ist, können wir hier bei Seite lassen. Er spielt in andern noch zn nennen- den Untersnohnngen Gyldéns eine grosse Bolle. + Mémoirei de Vaead. de St PéUnhourg, 1. 16, nr. 10, p. 6 fF. (1871). :t: Vgl. oben das Gleichangssystem (4). DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 27 chtmg "mit zweitem Glied," deren Integral aus dem der Gleichung ''ohne zweites Glied" in bekannter Weise durch Quadratur abgeleitet werden kann. Insoweit fallt Gyldën's Methode unter die citirten allgemeinen Entwicklungen von Fuchs; aber nun kommt eine charakteristische Modification: Gyldén entfernt die durch die genannte Quadratur eingeführten Saecularglieder dadurch, dass er an dem durch (35) bestimmten Wert der Hilfsgrösse v nachträglich eine (üorrectur anbringt. Gibt man nämlich dem v ein Increment Av und berechnet das dadurch entstehende Increment von y unter Beiseitelassung höherer Potenzen von Av, so erhält man ausser periodischen Termen den folgenden saeculären : «(-2/. + y.)^^A« (36). der bei geeigneter Bestimmung von At; gegen die durch jene Quadratur eingeführten Terme derselben Art sich weghebt. Auf demselben Wege kann man von der zweiten Annäherung zu einer dritten gelangen u. s. w.; dabei erhebt sich die Frage nach der Convergenz des Verfahrens. Zieht man die allgemeine Theorie der linearen Differentialgleichungen herbei, so hat es keine Schwierigkeit nachzuweisen, dass das Verfahren in der That ein Integral der Form (22) liefert, wie es aus jener Theorie sich ergibt; daraus folgt die Convergenz für alle diejenigen (hinlänglich kleinen) Werte der Parameter ai, o,..., für welche p und die in (22) vorkommenden CoeiScienten nach Potenzen dieser Parameter entwickelt werden können*. Aber diese Bedingungen für die Convergenz aus dem Verfahren selbst ohne Bezugnahme auf die allgemeine Theorie zu entwickeln dürfte sehr schwierig sein. Gyldén hat die Convergenz seiner Methoden, von welchen die Integration der Gleichungen der Form (34) ja nur einen Teil bildet, in wiederholten Ansätzen f nachzuweisen versucht, ohne selbst behaupten zu wollen, dass der Beweis in einer alle Möglich- keiten um&ssenden Weise geglückt sei Es wird auch erforderlich sein, bei solchen Untersuchungen die einerseits von Mathemati- kern, andererseits von Astronomen mit dem Worte Convergenz * Vgl. Timennd, Ännalei de la faculté de Toulome, t. ii. D (1S8S). t Attrtm. NaehriehUn, Bd. 106, p. 209 (18SS) und Bd. 121, p. 81 (1889); Acta matkemoHea, Bd. 9, p. 185 (1887) a. Bd. 15 (1892). ^= 2 2a«y*cos(i^ + )8«) (38). 28 HEINRICH BURKHARDT. verknüpften Vorstellungen* schärfer als dies Gyldén gethan hat auseinanderzuhalten. In den eben erwähnten allgemeinen Untersuchungen Oylden's kommen ausser Differentialgleichungen der Form (34) auch solche der Form S-.W (»')• sowie solche der allgemeineren, (34) wie (37) umschliessenden Den Methoden, welche Oyldén zur Integration dieser Differential- gleichungen vorschlägt, sind zwei wesentliche Gedanken von zweifelloser Tragweite gemeinsam. Der eine ist die Erkenntniss, dass das Auftreten von Saeculargliedem im Verlaufe der succès- siven Annäherungen in vielen Fällen bedingt ist durch die Abweichung der Periode der betrachteten Erscheinung^ von dem aus der ersten Annäherung erhaltenen Werte derselben, samt der daraus entspringenden Methode, bei jedem Schritte des Annäherungsverfahrens die auftretenden Saecularglieder dadurch zu beseitigen, dass der bereits gewonnene Wert der Periode weiter corrigirt wirdj. Der andere Grundgedanke Gyldén's besteht in der Überzeugung, dass Fortschritte in der Störungs- theorie über die klassischen Methoden von Lagrange und Laplace hinaus nur erzielt werden können, wenn man sich das gesamte Arsenal des von der modernen Functionen théorie bereitgestellten mathematischen Rüstzeugs zur Verfügung hält. Die in der Aufstellung und Durchbildung dieser beiden Principien liegende Leistung Gyldén's wird niemand läugnen oder herabsetzen wollen. Wenn aber Gyldén unter allen Ergebnissen der Functionentheorie gerade die Integration der Lamé'schen Differentialgleichung durch elliptische Functionen herausgreift und jede auftretende Gleichung in diese Form zu pressen sucht, so kann der Mathe- * Vgl. hierüber Poincaré, Let méthodei nouveüet de la mécanique céleste, t. n. (Paris, 1898), p. 1 £F. t Bezw. die Periode des einflassreiohsten Terms. X Bei Gleichnngen der Form (87) oder (88) erzielt Gjrldén die erforderliche Corrector der Periode durch Abändenmg des Moduls der elliptischen Functionen, von dem im FaUe der Gleichung (34) die Periode unabhängig war (vgl. 31). DIFFBRENTIALGLBICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 29 matiker darin nur einen Notbehelf sehen, dessen Anwendung gerechtfertigt war, solange die allgemeine functionentheoretische Behandlung der betreffenden Gleichungen noch nicht gelungen oder noch nicht bekannt war, dem aber an sich keine tiefer- gehende Bedeutung zukommt*. lY. Die Methode von Lindstedt In der That hat Lindstedt gezeigt, wie man unter Beibe- haltung der wesentlichen Gedanken Gyldën's sich von der unwesentlichen Benutzung der elliptischen Functionen freimachen kann+. Er behandelt den Fall, dass in der Gleichung (38) der Coefficient aw die übrigen tiberwiegt und negativ ist, also den Fall einer Gleichung der Form g + 7i«y = a4>(y,0 (39), in der a eine gegenüber v? kleine Grösse und <1> eine Reihe bedeutet, die nach Potenzen von y mit positiven ganzen Expo- nenten und nach trigonometrischen Functionen der ganzen Viel- fachen von t fortschreitet. Die traditionelle Methode der Integration solcher Gleichungen durch successive Annäherung würde mit der Integration der Gleichung ^ + ^*yo=o (40). dV" durch y^ = cos nt beginnen. Statt dessen integrirt Lindstedt (in Benutzung des * Unter den Astronomen haben der gleichen Ansiebt Aasdmok gegeben Thiele (ÄMtnn. Naehriehten, Bd. 102, p. 65. 1882) and B. B(adaa) {BulUtin a$tr(yo + ai;o,0-*(yo,0}+V^ (47), erhalten, diese in dritter Annäherung durch g' + nni-«.)y, = -«Vy. + Q^_^^ + V^ ... (48). ersetzt und nun v^ so bestimmt, dass das Integral dieser Gleichung keine von a freien Saecularglieder enthält u.s. f Dabei werden zur Bestimmung der Pi, i/, Gleichungen erhalten, in deren CoeflS- cienten p selbst vorkommt; lindstedt setzt in diesen einfach 1/ = 0, indem er die Correctur der dadurch begangenen Vernach- lässigung ebenfalls jedesmal dem nächsten Annäherungsschritt * Mit ^ ist die Gesamtheit derjenigen Glieder bezeichnet, die bei dem vorher- gehenden Annähemngsschritt dem eben betrachteten zugeschoben worden sind. DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER ASTRONOMIE. 31 zuschiebt So erhält er schliesslich y entwickelt in eine Reihe der Form y= £ l^,,AC08(i/o + &)« (49), deren einzelne Coefficienten ihrerseits nach Potenzen von a ent- wickelt sind. lindstedt betrachtet auch noch simultane Gleichungen der Form (50)» und entwickelt deren Lösungen in Reihen der Form 2-4j,»...fcC08(ipi + wip,+ ... + k)t (51), damit erreicht er schliesslich den Anschluss an denjenigen allge- meinen Ansatz der Form der Integrale, von welchem Newcomb schon 1874 bei seinen Vorschlägen zu einer neuen Behandlung der Störungsprobleme ausgegangen war-f. Die weitere Discussion der Lindstedt'schen Ansätze hat sich hauptsachlich in zwei Richtungen bewegt. Einmal hat die Frage nach der Convergenz der resultirenden Reihen die Aufmerksam- keit auf sich gezogen. Die Quadraturen nämlich, welche jedesmal beim Übergang von der Differentialgleichung "ohne zweites Glied" zu der *'mit zweitem Glied" erfordert werden, führen Nenner der Form Ip + k ("Integrationsdivisoren") ein, unter welchen beliebig kleine sich befinden, entsprechend denjenigen Werten von l : k, welche Näherungswerte des Kettenbruchs für — p sind. Poincaré hat zunächst^ durch einen indirecten Schluss dargethan, dass die Lösung des Dreikörperproblems nicht durch unbedingt convergente Reihen dieser Art dargestellt werden könne; weiter § hat er gezeigt, dass für jede solche Reihe in * y, 2... eraoheinen hier als ** Normalcoordinaten '* im Sinne der englischen Physiker (TgL z. B. Thomson and Tait, Treatise on natural philosophy, 1. 1., art. 3S7). t Smithsonian eontrUnUions ta knowledge^ vol. 21, art. m., 1S76. X Acta mathematica, Bd. 18, p. 254 £F. (1889). § Méthodes nouvelles de la mécan. céL, t. zi. , p. 94 £F. (1898). 32 HEINRICH BURKHARDT. jedem Intervall unendlich dicht Werte von p liegen, für welche sie nicht convergirt. Zu demselben Resultat war auch Bruns* bei sehr einfachen Reihen dieser Ait auf einem andern Wege gelangt, bei welchem in Frage kommt, ob p eine " algebraische " oder " transcendente Zahl istf" (Übrigens setzen diese letztge- nannten Untersuchungen voraus, dass die Coefficienten nur vermöge der Integrationsdivisoren von p abhängen, was nicht durchweg der Fall ist). Andererseits folgt aber aus den Unter- suchungen von Foincarë, dass die Reihen, wenn man sie nach Potenzen von a ordnet, in vielen Fällen semiconvergent und also zu numerischer Rechnung sehr wol brauchbar sind f. Ausserdem ist die Anwendung der Lindstedt'schen Methode auf Gleichungen der Form (34) weiter verfolgt worden, insbeson- dere auf die Gleichung j + (ao + aicos0y = (52), die in der mathematischen Physik als " Differentialgleichung der Functionen des elliptischen Cylinders" wohl bekannt ist J. Bruns§ hat zunächst diese Gleichung behandelt und für dieselbe die Convergenz des Lindstedt'schen Yer&hrens (auf einem einiger- massen mühsamen Wege) dargethan; Callandreaujl hat für den allgemeinen Fall der Gleichung (34) den Ansatz des Inte- grals in der Form 2 ilACos(p + &)e (53), (vgl. 22) aus der allgemeinen Theorie der linearen Differential- gleichungen gerechtfertigt und damit für diesen Fall die Con- vergenzfrage erledigt. Ausserdem war die Gleichung (52) von F. Lindemann If in eigentümlicher Weise mit Hilfe ihrer Eigen- schaft integrirt worden, dass das Produkt von zwei particulären Integralen derselben eine ganze transcendente Function ist; * A9tT n. Mais, pour /A > n, il serait impossible, d'après ce que je viens de rappeler, d'exprimer l'opération H {x, y, ,..,u) au moyen des opérations plus simples K(x, y, ..., u)u K(x, y, ..., u\, ..., K(x, y. ..., «)n_i. • Cfr. Ricerca delU operazioni invariantive permutabili con ogni cUtra operatioue invariantiva (Atti dellft B. Accademia délie Scienze fisiche e matematiche di Napoli, Serie 2*, Vol. i. 188S). t Cfr. Sul Hitema completo délie operazioni di polare permutabili etc. (Bendi- oonti de la même Acad. Febbrajo 1893). X Dell* impouibilità di tizigie fra le operazioni fondamenUUi permutabili cou ogni altra operazione di polare fra le stezêe zerie di variabili (Bendiconti de la même Acad. Giugno 1893). OPÉRATIONS DE POLAIRE. 37 Les formules que je vais communiquer ramèneut d'abord ropération H {x, y, z, ,,,, u) à Topération H {y, z, .,,,u\, en désignant en général par H{x, y, z, ..., u\ le même déterminant (l) où Ton ait substitué p + Dxacy p+Dyy,..., P + -D««, dans la diagonale, respectivement au lieu de D^x, I^yy, •••! -^uu* Four mieux fixer les idées, j'écrirais les formules dont il s'agit pour le cas de quatre séries 4?, y, z, u ; l'extension au cas d'un nombre quel- conque de séries n'ayant besoin d'autres explications. On peut développer H (x, y, z, t) suivant l'une ou l'autre des quatre formules: (a) H{x,y,z,t)^H{y,z,t\D^^-A,D^ + A,D„^A,D^ (/80 H(x, y, z, t)^H{y, z, t)D^+D^A,+D„A,+D^Ä,+9H(y,z,t) I (ß) H(x, y, z, t)=H(y, z, t) D„^B,D^^B,D„--B,Du,-^SHQ/, z, t) [ (a-) H(x, y, z, t)^H{y, z, t\D^^Dy^B,-D^B,--DtxB, (4), où: -A, = D„H,-H^D„. - B,=^D„H, - H,D„ (5). et H, = H(j,,z,t),=^ 3 + D„ Dy, D„ D^ i + Dyy D^ : (6). La comparaison de la formule (a) avec (a') et de la formule (/S) avec ißT) nous donne les identités suivantes : H (y, z. t% . (Dy^D^ + D„D„ + Du,D^) ] H(y,z.t\.iD:^Dy,+D„D„ + D^Du) {'"^ '' = (D^Dy, + D„D„ + DuDtx) 'H(y,z, t)J pour p — l, identités que l'on pourrait aussi établir directement. n. Il reste à éliminer de (4) et (5) l'opération H {y, z, t)i ou, plus généralement, à exprimer S (if, z, U •••, ")» au moyen de H (y, z, t, .,., u), H{z, t, .... m) etc. Il suffirait à cet objet d'appliquer la formule générale que j'ai donnée ailleurs*: * Deir impoêtibilità di tizigie fra le operazioni fondamentali permutabili con ogni altra operaiUme di polare fra le ttette terie dl variabili (Bendiconti de la même Aesd. OingBO 1898). 38 ALFREDO CAPËLLI. H{a;,y,...,u)^, = {p + l)(j> + 2)...(p + n) + (j> + l)ip + 2)...{p + n-l).K{x,y u), + (j> + l)ip + 2)...(p + n-2).K(x,y,....u\\-...{8), + + (/) + 1). K(x, y, .... u)„_, + K(x, y, .... u\ où n est le nombre des séries x,y, ..., u, et les K(x,y, ..., u)i sont définies par les formules (3). On en déduit en effet pour p = : H(x,y,...,u\=\n+ ,n-l K(x,y, ...,u\+ ,n-2K{x,y,...,u\+... + |1 .K{x, y «)„_, + H(x, y, .... m) (9), et en particulier H(y, z, t\^6 + 2(I>„ + D„ + Dtt)+H(y. z) + Hiy. t) + Hiz. t) + H(y. z. t) (9)'. Mais il est, peut-être, préférable de procéder comme il suit. En faisant dans (8) p = — 2, on en déduit : B{x, y, ..., u) = H(x, y, ..., u)-i+K{x, y. .... m),^., ...(10). Maintenant, si l'on change partout dans les formules (4), ainsi qu'il est permis, D«,, D„, D„, Du respectivement en D„ — l, Dyy — 1, D„ — \, Du — l, ces formules deviennent H(x. y. z, tU^'Hiy, z, t)D„+A,'D:^+A,'D„+Ä,'D^ - H(y, z, t\ H(x, y, z. 0-, = ir(y, z, tUD„ + D^Ä,' + D„A,'+ D^A,' + 2H(y.z.tU H(x, y. z, tu = B(y. z. tUD„ - B,'D„ - B,'D„ - B^D^ + 2H{y.z.tU H{x, y, z, tu = B{y, z, t)D„ - D^B,' - D„B,' - D^B,' (11). où: -A/~Dy,.H(j/, z, t)-H(y, Z.t).Dy,\ - A,' = D„ .H (y. z, t) - H {y, z, t) . D„ -A^ = Dt,.H(y. z, t)-H(y, z. O-D«. l n2^ -B,' = I)^.H{y, z, t)-H(y. z. t).D^ ' ^ '' -B,'=^D„.H(y. z. t)-H(j,, z, t).D„ -B^^D^.H(y, z, t)-Hiy. z, t).D^' La première des formules (11) substituée dans la (10), pour n = 4, nous donne : H(x. y, z, t)^E(y, z, t) D„ + A^D^ + A^D„ + A^D^ + H(x. y, t) + H(x. z. t)+H(x, y, z) (13) OPÉRATIONS DE POLAIRE. 39 OU bien : + JBr(iF, y, -¥H{x, z, i) + H{x, y, z). Dans le cas de n séries x, y, Zy ..., u on aurait analoguement : lf(«,y,^, ...,ti) = JBr(y,z, ...,î*).(D«,^l)- 2 {D^H(y,z, ...,v) -Hiy^z, ...,u)Dj^)D^'^K{x,y,z, ..., u)n-i (14), K {x^ y, z, ..., «)„_i désignant la même opération définie par les (3). Naples, le 10 at/ût 1893. ON A CERTAIN SIMPLE GROUP. BY F. N. COLE OP ANN ARBOR. 1. Despite the great advances of the past fifty years, the Theory of Groups remains to-day in many respects in a very unfinished state. It is true that we possess an accurate system of general classification on the one hand and an elaborate knowledge of special types on the other. But between these two extremes lies a vast middle ground, the exploration of which is extremely slow and difficult. Thus groups in general have been divided since Galois into simple and compound, and, in case of substitution groups, into transitive and intransitive, primitive and non-primi- tive ; the groups belonging with algebraically solvable problems are known ; and the theory of the groups of linear tmnsformations, including the congruence groups, are familiar; and we have an extensive series of theorems limiting the possibilities of substitu- tion groups. But the determination of all the groups of given order, or of given degree, or of all the primitive or all the simple groups, etc., is still an almost untouched problem. Much of this is due to the lack of positive criteria and the consequent necessity of employing processes of exclusion. Thus, a primitive or a simple group is one which is not non-primitive or compound, the im- portant type in each case receiving the negative definition. In an abstract and intricate theory like that of groups, too much must not be expected in the way of general development from the accumulation and study of individual examples. No amount of such experimentation could have led to our modem knowledge. Progress is from abstract to abstract. Nevertheless, in the absence of a general method, something may be. accomplished by the tentative, step-by-step process, especially within moderate limits where the labor involved is not incommensurate with the value of the result. Thus, it is of some scientific interest to obtain all the ON A CERTAIN SIMPLE GBOUP. 41 groups of lower degrees and orders, and the simple groups below any convenient order. The latter problem has been solved by Dr Otto Holder* and myself^* aâ &r as order 660. It appears that below this limit the only cases are the known simple groups of prime orders, and of orders 60, 168, 360, and 660, together with a type, apparently new, of order 504. The cases of order 60 and 360 are identical with the alternating groups of five and of six letters; those of order 60, 168, and 660 are identical with the groups of the modular equations for the transformations of the 5th, 7th and 11th orders of the elliptic modular functions. The two former orders are of the general type Jn! ; the three latter of the general type ip(p" — 1), where p is a prime. Beside these general formulae for the orders of classes of simple groups, Camille Jordan { has given others: o where p* =f 2* or 3^ and S is the greatest common divisor of n and p-1. i (p»- 1)/>*»-» (p^'^-^'-Djj^-^... (p^ - l)p, (i>> 2) (2). (2*»*- 1)2*»-' (2^-* -1)2»»-'... (2« -1)2, (n>2) (3), (P.,-l)2«"-^...(P,-l)2^(n>2) (4), where P„ = 2*""^ + 2~-^ The simple group of order 504 obviously does not come under any of these forma 2. By Sylow s Theorem§ on the structure of groups, a simple group of order 504 might contain 4, 7, or 28 subgroups of order 9 ; 3, 7, 9, 21, or 63 subgroups of order 8, and 8 or 36 subgroups of order 7. In each case the highest number of subgroups is actually present in the simple group as found. It is not however easy to construct the group by this method, nor was this the method by which it was originally obtained. It * Math, Ann. Bd. 40, p. 55. t American Jour, of Math, Vol. 14, p. 378, Vol. 15, p. 803. * Traité det tubetitutUmt, pp. 106, 176, 177, 205. S MatK Ann, Bd. 5, pp. 584—94. 42 F. N. COLE. appeared as an accidental result in the determination of the transitive substitution groups of nine letters*. In (act, it contains 9 conjugate subgroups of order 56, which, when it is expressed as a group of nine letters, appear as the 9 subgroups which leave each one letter unaffected. These subgroups are certainly transi- tive in seven letters, and therefore, since there are exactly 9 of them, also in eight letters. Those of their substitutions which leave a single letter unchanged form a subgroup of order 7. The latter furnish 8*6 distinct operations of order 7, which with identity and 7 substitutions affecting 8 letters each make up the entire subgroup of order 56. The nine subgroups of this order furnish therefore 280 substitutions, leaving 224 which affect nine letters and which make up exactly 28 subgroups of order 9. The latter are cyclical and all their operations are distinct. The substitutions of the group are therefore 168 of oixier 9 and 56 of order 3 affecting 9 letters each, 63 of order 2 affecting 8 letters each, 216 of order 7 affecting 7 letters each, and identity. The group is triply transitive. That the group actually exists may be shown as follows. The substitution 0- = (2354786) transforms the group of order and degree 8 1, T« = (15) (26) (37) (48), T, = (12) (34) (56) (78), t« = (16) (25) (38) (47), T, = (13) (24) (57) (68), t, = (17) (28) (35) (46). T, = (14) (23) (58) (67), Ts = (18) (27) (36) (45), into itself, and therefore with the latter generates a doubly transitive group H of degree 8 and order 56. If to if is added the substitution p = (193872456). it is readily shown f that for every a so that p and H generate a triply transitive group of order 504 and degree 9. That this group is simple appears from a method • Cf. Bxdletin of the N. Y. Math, Society, Vol. 2, pp. 258—4. t L. c, p. 254. ON A CERTAIN SIMPLE GROUP. 43 of consideration due to Klein*. If namely the group contained a self-conjugate subgroup, the latter must include all or none of the subgroups of any conjugate set. Accordingly, if a, ß, y, S denote each either 1 or 0, the number 168a + 56/9 + 637 + 216 8 + 1 must be a divisor of 504. The only possibilities here are a = /9 = 7 = S = and a = i8 = 7 = S=l, and the only self-conjugate subgroups are therefore identity and the entire group itself Ann Arbor, August, 1893. * Cf. Ikotaedtr, p. 18. [Copies of this article were presented to the members of the congress for use in visiting the German University Exhibit. Editors.] EINLEITUNG ZU DEM FUR DEN MATHEMATI- SCHEN TEIL DER DEUTSCHEN UNIVERSI- TÄTSAUSSTELLUNG AUSGEGEBENEN SPECIALKATALOG. VON WALTHER DYCK in MÜNCHEN. Die Deutsche Universitätsausstellung iu Chicago, auf Veranlass- ung der Königlich Preussischen Unterrichtsverwaltung ins Leben gerufen, bezweckt ein zusammenfassendes und möglichst anschau- liches Bild von dem Stand und der Bedeutung der Deutschen Universitäten nach ihren Aufgaben der Lehre und Forschung zu geben. Fällt die vornehmliche Aufgabe eines zusammenfassenden Berichtes von der historischen Entwickelung unserer Hoch- schulen, von deren Einfluss auf den Fortschritt der einzelnen Wissenschaften, von ihrer gegenwärtigen Stellung im Leben der Nation, dem fiir die Ausstellung vorbereiteten Sammelwerke •*Die Deutschen Universitäten" zu, so ist für die Ausgestal- tung der einzelnen Gruppen der Ausstellung selbst um so mehr der Spielraum gegeben, je nach richtigem Ermessen sei es die historische, sei es die pädagogische, sei es die rein wissenschaft- liche Seite des speciellen Faches zur Vorführung zu bringen und durch diese Mannigfaltigkeit das Gesamtbild zu beleben. Die mathematische Ausstellung will von unserer modernen Forschung und von unseren gegenwärtigen Methoden und Hülfs- mitteln des höheren mathematischen Unterrichtes Zeugnis geben, und fasst dabei, wie dies in unsererh Fache den gemeinsamen Aufgaben entspricht, die Thätigkeit unserer Deutschen Universi- täten und Technischen Hochschulen zusammen. Die Mittelgruppe der Ausstellung fuhrt in der Kolassalbtiste von Gauss, in den Bildnissen von Jacobi, Dirichlet und Riemann die Männer vor Augen, deren fundamentale Werke die DEUTSCHE UNIVERSITÄTSAUSSTELLUNG. 45 Marksteine der mathematischen Arbeit unseres Jahrhunderts in Deutschland bezeichnen*. Die Zusammenstellung neuerer deutscher mathematischer Literatur (vergl. Teil II des Specialkataloges der mathematischen Ausstellung) soll, ohne Anspruch auf Vollständigkeit zu machen, die wesentlichsten Richtungen unserer heutigen mathematischen Forschung im Einzelnen zu verfolgen gestatten und so das von F. Klein in dem eben erwähnten Sammelwerke über die Deutschen Universitäten gegebene Bild ihrer Entwicklung er- gänzen. Wir unterscheiden die Schriften der Akademieen, der Uni- versitäten, die mathematischen Zeitschriften und den eigentlichen buchhändlerischen Verlag. Die Akademieen haben, soweit wir von ihrem weiteren, die Gesamtheit der Natur- und Geisteswissenschaften einheitlich um- fassenden Wirkungskreis absehen, und auf den gesonderten des speciellen Faches eingehen, sich einmal die Aufgabe gestellt, die Werke der hervorragendsten Deutschen Mathematiker herauszu- geben — so die K. Preussische Akademie der Wissenschaften zu Berlin die Werke von Dirichlet, Jacobi, Steiner und neuer- dings die von Kronecker; die K Gesellschaft der Wissenschafben zu Göttingen Gauss' und Weber*s Werke; die K Sachs. Gesellschaft d. W. zu Leipzig die von Möbius und neuerdings die von Grassmann ; die K Bayer. Akademie der Wissenschaften zu München die Schriften von Fraunhofer und gegenwärtig die von Hesse. Andererseits sollen die Sitzungsberichte und die Abhandlungen dieser Gesellschaften Gelegenheit bieten zu rascherer Publikation kürzerer wissenschaftlicher Mitteilungen, wie zu der für den Einzelnen zu kostspieligen Drucklegung umßingreicherer Denkschriften. Die Schriften der Akademieen und vornehmlich die mathe- matischen Zeitschriften enthalten wohl den wesentlichen Teil unserer neueren mathematischen Forschungen und sie haben sich dabei nicht auf Deutschland allein beschränkt. Heben wir hier * Eine gesonderte Oanss-Weber-AossteUang giebt in historischen Dokumenten, Apparaten, Bchriftstüoken und Photographieen des physikalischen Instituts, der Sternwarte and des Oaassisohen Erdmagnetischen Obserratorioms zu Göttingen ein Bild von der gemeinsamen Thätigkeit der beiden grossen Gelehrten. (Vergl. den allgem. Katalog der Universitats-Aosstellang pg. 48.) 46 WALTHER DYCK. zuvörderst die älteste dieser Zeitschriften, das 1826 von Grelle gegründete, jetzt bis zum 111. Bande gediehene "Journal für die reine und angewandte Mathematik" hervor. Mit Recht konnten Kronecker und Weierstrass zur Einleitung des 100. Bandes (1887) sagen : " Die Geschichte der Entwickelung dieses Joumales, welches noch von Gauss, Poisson, Poncelet Beiträge erhalten hat, welches die Mehrzahl der Werke Abel's, Jacobi's, Lejeune- Dirichlet's, Steiner's zuerst veröffentlicht hat, welches Haupt- arbeiten Biemann's und Abhandlungen von vielen der be- deutendsten unter den noch lebenden älteren und jüngeren Mathematikern und mathematischen Physikern aller Nationen enthält, welches also vier mathematischen Generationen als Stätte für Publicationen gedient hat, stellt einen guten Teil der Geschichte der Entwickelung dar, welche die Mathematik selbst in den vergangenen sechzig Jahren genommen." Im Jahre 1846 entstand das *' Archiv," 1856 die " Zeitschrift für Mathematik imd Physik," beide besonders die Bedürfnisse der Lehrer an höheren ünter- richtsanstalten, die letztere vorzugsweise auch die Geschichte der Wissenschaft betonend. 1868 rief R. A. Clebsch in Verbindung mit C. Neu mann die ''Mathematischen Annalen" ins Leben, die heute in einer Reihe von 42 Bänden zusammen mit den genannten Journalen von der Intensität und der Vielseitigkeit mit der die mathematischen Wissenschaften in Deutschland betrieben werden, berichten. Neben die Aufgabe unserer Fachzeitschriften, jeweils den actuellen St-and der mathematischen Forschung zu umfassen, stellt sich noch eine zweite, welche das " Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik" in der Zusammenstellung und Berichterstattung über die gesamte moderne mathematische Literatur sich gestellt hat, eine Aufgabe, welche neuerdings die "Jahresberichte der deutschen Mathematiker- Vereinigung" durch zusammenhängende Darstellungen einzelner Gebiete der neueren Forschung zu ergänzen suchen. Den deutschen mathematischen Verlag kennzeichnet das verhältnismässige Zurücktreten der Lehrbücher ftüp den höheren mathematischen Unterricht, ein Umstand der in der individu- ellen Ausgestaltung auch der einftlhrenden mathematischen Vorlesungen an unseren Hochschulen, wie sie die Vorbildung der Schüler, Neigungen der Docenten haben entstehen lassen, seine DEUTSCHE UNIVERSITATSAUSSTELLXJNG. 47 Begründung findet. Um so mehr zeichnet sich dieser Buchverlag durch das Vorhandensein einer grossen Anzahl specieller, der eigentlichen Forschung angehörender Werke aus und so kommen auch in diesen Veröffentlichungen die Richtungen unserer neueren deutschen mathematischen Forschung zum Ausdruck. Weiter seien hier die Sammelwerke hervorgehoben, welche sich die Aufgabe stellen, die klassischen, für den Fortschritt der Wissen- schaft fundamentalen Werke in handlichen Ausgaben allgemein zuganglich zu machen. Mit der Vorführung der bis zum Jahre 1850 zurückreichenden Inauguraldissertationen zur Erlangung der Doctorwürde, wie der venia legendi, welche durch das Entgegenkommen der Universitätsbibliothek zu Marburg ermöglicht wurde, leiten ¥rir in das Gebiet des mathematischen Unterrichtes über. Wir glauben unsem Lesern einen Dienst zu erweisen, wenn wir im Kataloge die ausführliche Liste der Dissertationen (Teil II, Abschnitt 5) geben. Spricht sich doch in den verschiedenen Richtungen und mannigfachen Arbeitsgebieten, welchen diese Abhandlungen entnommen sind, der individuelle Charakter der einzelnen Hochschulen, wie er nach den Forschungsgebieten der Lehrer auch im Unterrichte sich gestaltet, am klarsten aus, und kommt gerade hier die Wirksamkeit der mathematischen Seminare zum vollen Ausdruck. Es mögen einige Bemerkungen über Entstehung und Zweck dieser Seminare, wie sie jetzt an allen deutschen Hochschulen bestehen und wie sie aufs engste mit dem ganzen Unterrichtsplane derselben zusammenhängen, hier Platz finden. IJber die Vorgeschichte des in Königsberg 1834 ins Leben getretenen ersten mathematischen Seminars schreibt Richelot in einem Berichte an das K. Preussische Unterrichts- ministerium (welcher im besonderen die Stellung der sog. allgemein bildenden Fächer zu den speciellen Fachstudien bespricht*). "Die von unwissenschaftlichen Nichtkennem Einseitigkeit ge- nannte wissenschaftliche Vertiefung wurde von einem Manne (nämlich Bessel) hierher verpflanzt, der in allen fUnf Weltteilen berühmt war und bleiben wird, und dem es im Laufe von wenig * Die hier gegebene MitteUung Über das Königsberger Seminar verdanke ich der Güte von Herrn F. Lindemann. 48 WALTHER DYCK. Jahren eben durch dies Mittel gelang, einer bis dahin in den exacten Wissenschaften völlig unbedeutenden Universität gerade in dieser Richtung einen bedeutenden Namen zu verschaffen. Sein Unterricht wurde sehr bald der einzige, der von den hiesigen Mathematikern benutzt wurde, obgleich er seine Zuhörer meist nur in einem speciellen Teile des mathematischen Wissens, in der mathematischen Astronomie vertiefte. Als seit 1826 der gross* artige Geist Jacobi's hier zu wirken begann, wurden durch den erweiterten Umfang der hier gelehrten mathematischen Disciplinen die jungen Mathematiker noch mehr den ihrer Wissenschaft ferner liegenden Studien entzogen; . . . Beide grosse Mathematiker verschmähten es nicht, einen beträchtlichen Teil ihrer Zeit und Kraft der Ausbildung ihrer Schüler zu opfern, imd es gelang ihnen bald, den Lehranstalten der Provinz zunächst solche Lehrer zuzuführen, die den mathematischen Unterricht auf eine in Deutschland nicht geahnte Höhe brachten . . . Nachdem Neu- mann's unvergleichliche Lehrwirksamkeit in der mathemati- schen Physik hier Wurzel gefasst und bald ihre äist einzige Pflanzstätte in Deutschland gefunden hatte, wurden namentlich durch die Gründung des mathematisch-physikalischen Seminars die Studien der hiesigen Mathematiker auf reine Mathematik, mathematische Physik und theoretische Astronomie und Mechanik concentrirt." In der That war Jacobi der erste, der es unternahm, auch die neuesten und zur Zeit höchsten Probleme seiner Wissenschaft in seinen Vorlesungen den Studirenden darzulegen, wie es jetzt in den Specialvorlesungen und Seminaren allenthalben an unseren Hochschulen zu geschehen pflegt. Auch heute noch liegt der wesentlichste Teil des Seminarunterrichtes in der Anleitung zu eigener wissenschaftlicher Thätigkeit und in der Einftihrung in die mathematische Literatur. Mittelbar kommt diese Ausbildung auch dem praktischen Berufe des künftigen Lehrers zu gute, insofeme Gründlichkeit und Klarheit durch sie gefördert wird. Der eigentlichen pädagogischen Ausbildung aber dienen besondere, an den Mittelschulen errichtete Seminare. Von ihnen sei das durch mehr als dreissig Jahre unter Schellbach's Leitung stehende Berliner Seminar hervorgehoben, dem auch eine Reihe unserer heutigen Hochschuldocenten angehört hat. Was die besondere Gliederung des mathematischen Unter- DEUTSCHE UNIVBRSITÄTSAUSSTELLÜNG. 49 lichtes in den einleitenden und allgemeinen wie den speciellen V'orlesungen und Seminaren betrifft, so sei auf die AusftLhrungen des Sammelwerkes, wie auf die in der Ausstellung aufgelegten Jahresberichte und Studienpläne der einzelnen Hochschulen verwiesen. Hier sei nur noch eine Seite der Entwickelung unseres nciodemen Unterrichtes hervorgehoben, deren Vorfiihrung unsere mathematische Ausstellung im Besonderen gewidmet ist: die Entstehung der Sammlungen mathematischer Modelle, Apparate und Instrumente. Das Interesse fUr die räumliche Gestaltung geometrischer Gebilde geht, wenn wir von filiheren zumeist auf ebene Gebilde bezüglichen gestaltlichen Untersuchungen absehen, auf Monge und seine Schüler zurück. Der systematische Ausbau der darstel- lenden Geometrie, die Anwendungen der Differentialrechnung auf geometrische Fragen, Anwendungen der Mathematik auf physi- kalische und technische Probleme, veranlassten eine Fülle von gestaltlichen Untersuchungen. Der von Monge um&ssend ange- legte Unterrichtsplan der école polytechnique wies diesen Fächern einen breiten Raum zu; hier erwiesen sich zweckentsprechende Modelle und Apparate als ein fruchtbares Hülfsmittel des Ver- ständnissee. So entstanden, von Schülern von Monge gefördert, weiterhin durch die Thätigkeit des conservatoire des arts et métiers unterstützt, in Paris die bekannten Sammlungen von Modellen von Brocchi, Olivier, Bardin, Muret, de Saint Venant. Gleichzeitig traten auch in Deutschland mit den Schöpfungen von Steiner, Möbius, Plücker, Hesse rein geometrische Untersuch- xmgen in den Vordergrund des Interesses, und so war es naturgemäss, dass auch hier der Sinn für gestaltliche Fragen praktische Be- thätignng fand. Die von Fiedler und von Chr. Wiener ausge- führten Modelle von Flächen dritter Ordnung, die den Formen- reichtum algebraischer Flächen zuerst veranschaulichenden Plücker'schen Complexflächen, die Modelle zur Theorie der Strahlensysteme, zur Erümmungstheorie, zu Flächen vierter Ordnung von Kummer, mögen als die ersten hier genannt sein. Das grösste Interesse und eine Fülle neuer Anregung bot dann die im Jahre 1876 zu London im South Kensington Museum veranstaltete Ausstellung wissenschaftlicher Apparate. Auf ihr gelangten neben den eben genannten noch insbesondere elegant ausgeführte Modelle von Fahre de Lagrange, die Steiner'sche C. P. 4 50 WALTHER DYCK. Fläche, Ball's Cylindroid, Zeichnungen Maxwell's zur Kriimmungs- theorie u* a. m. zur Vorführung; weiter Rechenmaschinen und Integraphen (Thomson's harmonischer Analysator), sowie die mannigfachsten Instrumente und Apparate der angewandten Mathematik (wir erwähnen insbesonders die Apparate Beuleaux's zur Kinematik). Die gegenwärtige Ausstellung zeigt die weitere Entwickelung unseres Gebietes in Deutschland. Sie enthält in möglichster Vollständigkeit all' die vielerlei Modelle und graphischen Darstel- lungen, wie sie zunächst im Anschluss an geometrische Unter- suchungen in den mathematischen Seminaren an unseren Universitäten und technischen Hochschulen entstanden sind und wie sie weiterhin nicht blos rein geometrische, sondern auch functionen-theoretische Fragen und solche der Mechanik und mathematischen Physik umfasst haben. Wir müssen betreffs der eingehenden Beschreibung der einzelnen Objecte auf den Special- katalog selbst verweisen. Hier aber sei noch ein wesentlicher Gesichtspunkt flir die Zusammenstellung hervorgehoben: Die Gesamtheit aller dieser verschiedenen räumlichen Darstellungen, all' dieser Gestalten aus Gips, aus Holz und Metall, will nicht den Eindruck erwecken, als bilde sie die unentbehrliche Rüstkammer des gegenwärtigen mathematischen Unterrichtes, als erfordere ein modernes mathematisches Institut diesen ganzen umfangreichen Apparat und dem entsprechende Mittel Neben eine Reihe von grundlegenden Formen, welche man heutzutage wol nicht mehr wird missen wollen, neben eine weitere Reihe von Darstellungen, welche den höheren mathematischen Unterricht ganz wesentlich zu erleichtem im Stande sind, stellt sich noch eine Zahl von Modellen, welche in ihrer Entstehung, in der vom Verfertiger zu ihrer Herstellung aufgewendeten Arbeit, ihren nächsten Zweck und ihre Bedeutung haben. Hier soll die Notwendigkeit, eine im Seminare gestellte Aufgabe in allen ihren Teilen durchzudenken und durchzurechnen vor Allem zur Geltung gelangen. Desshalb ist kein Bedenken getragen, auch derartige primitive, mit möglichst geringen Mitteln hergestellte Modelle vorzuführen. Gerade solche gelegentlich entstandene Modelle sind in ihrer Einfachheit geeignet, Veranlassung zu ähnlichen Versuchen für die Schüler zu geben ; und weiter: gerade solche Darstellungen, in ihrer Ursprünglich- keit, in ihrem individuellen Charakter, werden nicht blos ein DEUTSCHE UNIVERSITÄTSAUSSTELLÜNG. 51 belebendes Element des Unterrichtes bilden, sondern sie vermögen auch der Forschung selbst mannigfache Anregung zu bieten. Die Sammlung der Modelle ist noch ergänzt durch eine Reihe mathematischer Instrumente, der modernen Hülfsmittel von Rechnung (Rechenmaschinen, Planimeter, Integraphen) und Zeich- nung (Teilungszirkel, Pantographen). Hier haben lediglich solche Apparate Aufiiahme gefunden, welche ein specielles mathematisches Interesse bieten, während beispielsweise Präcisionsinstrumente als solche, bei denen die besondere technische Anordnung oder Vollendung das wesentliche Merkmal bildet, ausgeschlossen wurden*. Bei der Zusammenstellung der Modelle und Apparate war es dem Unterzeichneten von wesentlichem Nutzen, auf die Vorbereit- ungen einer im Vorjahre in Nürnberg geplanten mathematischen Ausstellung (die jetzt in München stattfinden wird) zurückgreifen zu können. Insbesondere konnte auch ein grosser Teil der zur Erläuterung der einzelnen Modelle etc. dienenden Au&ätze und Noten direct dem für jene Ausstellung veröflFentlichten Katalogef entnommen werden. Für eine Reihe neuer Beiträge, welche die Vorführung der an unseren deutschen Hochschulen entstandenen Lehrmittel wesentlich vervollständigt haben, ist der Unterzeichnete den einzelnen Institutsvorständen zu besonderem Danke ver- pflichtet Möge es gelungen sein, in der gegenwärtigen Ausstellung in grossen Zügen von der mathematischen Arbeit in Deutschland nach Forschung und Lehre berichtet zu haben — soweit dies durch Schrift und Bild möglich ist. Möge die in Verbindung mit der Ausstellung geplante Mathematiker- Versammlung Gelegenheit geben, das Vorgeführte durch das lebendige Wort zu beleben ! München, im Mai 1S93. * Hierhergehörige Instminexite finden sieh in der von der Deutschen Gesellschaft für Mechanik und Optik veranstalteten Aasstellnng. t Katalog mathematischer and mathematisch-physikalischer Modelle, Apparate und Instrumente. Im Auftrag des Vorstandes der deutschen Mathematiker-Ver- einigung herausgegeben ▼. W. Pyck, München 1892. 4—2 ON INTERPOLATION FORMULAE AND THEIR RELATION TO INFINITE SERIES. BY W. H. ECHOLS OF CHARLOTTESVILLE. I. OenercU Forms. The general problem of interpolation may be stated thus: Given n values of a function corresponding to n given values of the variable, it is required to design a function which shall coincide with the given function at the n known points, and which shall be such that it shall coincide as nearly as may be with the function at all intermediate points. § 1. The formal design of the function is as follows : Let /x be the function whose values are known at the points a^, Xi^.^Xn» and let ^, ^rc...^«^ be n chosen known functions. Let S be the symbol of operation of Substitutions, so that S operating on the variable by substitution, as shown in the change of subscript. The function fx, oX... it>nX S'fXo, S'il>oXo...S'il>nXo F.= S'if>^x^...S'if>^Xo\ -(1) S^fXo, ^oX^.,S^it>n^Q expresses the difference between the function fx and the function n r-0 at any point x, and this difference vanishes at x^, Xi...Xn. Hence 'SiÄrr^ is the required form of the function to be designed, since the coefficients Ar are completely known and are ibdependent of X, and the ^ functions are known. INTERPOLATION FORMULAE. 53 Without changing the value of Fs we may throw the member on the right of (1) into different form, as follows. If in any sequence of n + 1 terms dp, Ol, ..•, On, we form n new sequences as follows. Subtract each term from the succeeding term, forming the new sequence From this form a new sequence in like manner, by beginning with the third term and subtracting each term from that which follows it, and so on, until the nth new sequence has been formed whose terms are ar-Cnar-i'\'...+(-iyCrrao' (r=0...n). This sequence we call the comptete-difference of the first sequence. We call the nth generalized-difference of the function fx at Xo, and symbolize it by K^fx^. The relation between K and S may be symbolically expressed by ir«>o=(af-i)»>o, and reciprocally s-fx,^(K+irfx,. In the member on the right of (1), begin with the second row in the numerator and the first row in the denominator and regard the elements of each column as being terms of a sequence. Form the complete-difference of these äequences and there results t fx, ^X... if>niC F^J irya?o. K',x,...K'nXo which has the same value as (I), for Fgs F^- Suppose the points x^, Xi...x^ are related by the law ^r+i — ^ = A, (r = 0...w — 1). Then S is identical with Ey the sjrmbol of operation of the Calculus of Enlargement, and K is identical with û, the sjrmbol of operation of the Calculus of Finite Differences, in which the scale K^4>oXo...K''it>nXo K^it>oXo...K^if>n^o .(2). 54 W. H. ECHOLS. unit is A. Therefore (1) and (2) become, respectively, Fn = and F^ = E'if>oX^...E^if>nXo E^oXc...E^nXo A'if>oXo...A'il>nXo\ (3) A^il>QXo...à.^if>nXo\ .(4). A^/to, A'*^a:o-«.A'*^a?ol And as before we have Fe^F^, which vanish when x = Xr+rh. (r = 0...n). We do not alter the value of F^ if we divide the numerator and denominator of the ratio on the right by ä*^<*»+*>, distributed so that the row A*" is divided by A*" (r = l...n). Now let A con- verge to zero, and we have fx, ^^X... if>nX ly/xo, iyoXo...iyif>n^o Fn^ D^fxoy 2)~^a?o...-D"^n^o wherein D = d/dx, the symbol of operation of the Differential Calculus. §2. We observe in (1) or (3), if a>i...Xn converge to a?oi then Fs or Fe takes the indeterminate form 0/0 through identity of rows, and if in order to evaluate the true value of this vanishing ratio we apply to the numerator and denominator the operator we obtain (5) at once, as this limit. From these five general forms flow, respectively, all interpola- tion formulae for regular or irregular intervals, all the serial formulae of the Calculus of Enlargement and Finite Differences, and finally all of the infinite series of the Differential Calculus. INTERPOLATION FORMULAE, 55 There are two general forms to be derived from these formulae, according as we expand with respect to the first row or column, >= Î Arif>rX + Fo (6), r-O fx= Ï B,Opfx, + Fo (7). pasO wherein the operator is identical with S, K, E, A or Z) accord- ing to the formula selected. In general, we provide an absolute term by making ^x= 1. The ^ functions are such that their law of formation with respect to r is supposed to be known, ^ä: being unity we must have in (1) and (3). II. Quantitative Properties. § 3. Nothing has been said about the character of the func- tions represented in these forms, the first four of which may be regarded as simple algebraical identities in which the functions are supposed finite ; the fifth requires that the functions shall be continuous with determinate derivatives. Nothing in the forma- tion of the formulae prohibits the argument x from being either real or complex. Let us assume that the functions fx and rX can be expanded in a converging series of integral powers of X'-x^ throughout a certain region. Let R/ and R^ represent the remainders after the nth term of the expansion of these functions in Taylor's series. In (5) multiply the row of pth derivatives (p = l...n) by (x — Xoyjp\, in the numerator and denominator of the ratio. This will not alter the value of the ratio. In the determinant in the numerator subtract each row below the first from the first. This will not alter the value of the determinant. Now remove the common factors from the rows in the numerator and denominator and we will have converted (5) into I Rf, R^^ ... R^^ fXo,i''Xo... 4>n''^o, 56 W. H. ECHOLS. without changing its value. That is to say, we have n f» fa—faa— 2 Ärr^=^R/— 2 ÄrRi^ (8). Let R be the maximum modulus of R^ (r=l, 2, ...). If now is a convergent series, the member on the right of (8) Rf-RÏ ArR^IR, is zero when n= oo , and we have fx^fx^-^ 2 ilr^r«? (9) for all values of x in that region throughout which the functions / and ^ are expansible in Taylor's series, regardless of whether x be real or complex. The series on the right of (9) has an unlimited number of derivatives formed by taking the sum of the derivatives of its terms, each of which is a converging series and equal to the corresponding derivative of fx for all values of x throughout the equality region of (8). By differentiating (5) m times we obtain in the same way as above f^x- 2 Ari^'^x^Rf- 2 ilr-R^**, wherein Ä/* and R^^ are the remainders after w — r terms in the expansions of / and ^r by Taylor's seriea But these remainders vanish when n =s oo in the region for which Taylor's series holds good for the functions, and we have f^X^ 2 Ärr^X under the same circumstances as before. In particular if ^r^ be a rational integral function of degree r, (8) becomes n fa^fao+ 2 Ar<^r^ + Rf. INTERPOLATION FORMULAE. 57 § 4. Specific forms may be given to the member on the right of (8) as follows. Let Fj^ of (5) be represented by FfX, and let F^x be the same function when the function fx is replaced by some other function ^x of similar character. Consider the function Jx = F^x FfX -^ F^x FfX , wherein of is some arbitrarily fixed value of x in the region for which/, ^ and 4>r ai*e expressible in Taylor's series. Differentiating n + 1 times, we have ^«+»0? = F^af F/^'x - ^/+^a? Ffx\ If X is a complex variable, then since a holomorphic (unction must take any assigned value at least once, we may let x be that value u for which J'*+'â? vanishes, and if F^'^^u be not zero, we have ^^^=^^^"''» : <^^>' since a/ is any value of a? in the region considered. If d? is a real variable, then Jx and its first n derivatives having the common zero x^ and Jx also having the zero x, the (» + l)th derivative of Jx must vanish for some value u of x between x' and x^, and we have as before ^'^"i^^^""« (">• provided F^^'^^u is not zero. This form, when x is real, may be employed for testing the convergency of series when n is infinite because then u lies in a certain known interval x and Xq. But when X is complex the position of u is in general unknown, and the expression is to be regarded merely as an equivalent form for the case of the real variable. In general, we take yfrx = ^n+i^- MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. BY HENRY T. EDDY of TERRE HAUTK We may find the germ and prototype of all our modem graphical developments, as it seems to me, in the fruitful methods of the ordinaiy Cartesian co-ordinates in anal3rtical geometiy; but the aspect and special point of view which have given vogue to graphical processes would be entirely missed by the mathematician and ordinary student of analysis were this statement to stand without further elucidation« It is my desire then, in the few minutes at my disposal, not so much to give a historical review of the progress of graphical development as to sketch in a somewhat hasty manner the nature of these developments, in order to commend this branch of mathe- matics to your favourable attention, — a branch which has posdbly been viewed by you with somewhat less interest and attention than some more ancient and commonly cultivated branches. Graphics has both its theoretical and its practical side. It is, so to speak, a theory and an art, and may well be compared to trigonometry in this particular. Want of recognition of the fact that there is a considerable and growing body of theoretical results upon which its special applications are founded has perhaps prevented those capable of adding largely to theory from entering upon this labour with the enthusiasm and interest it merits. Look first at the applied side of graphics: — ^this has two distinct aspects. One is the pictorial representation of tabulated relations be- tween variables, such as the temperature during a given period ; the fluctuations in the price of silver, wheat or other commodity. These graphical representations on paper ruled in squares for MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 59 ready estimation are becoming so common and popular as to be inserted in our daily papers. One noticeable characteristic of these graphical statements is that each represents a particular numerical example and does not express general relationships at all. By abstraction only can we present to the mind by its aid the general relations of which a given figure is a particular case. The same is true of any diagram in analytical geometry, though from the &et that it is not usually constructed to scale as graphical diagrams are, the mind is unconsciously occupied with the general truths connected with such diagrams. But dismissing further considerations of this kind of graphical tabulation as of slight theoretic interest, it is evident that the one thing which has given importance to graphics in recent times is its convenience as a means of calculation in various parts of civil, mechanical and electrical engineering and architecture. This has greatly stimulated interest and investigation in the theory of these processes which are so helpful and expeditious, and will, no doubt, have a far greater efifect of this kind in the future as their importance becomes more appreciated. It will be convenient to mention four principal branches of this subject, and first the graphical treatment of spstce relations. The foundations of this branch of graphics may be said to have been laid by Monge more than a century ago in his development of descriptive geometry as a scientific process. This branch of the subject may not be at first recognized as distinctly graphical by some, but that it is essentially so is evident when we consider that all lines drawn are distinctly understood to represent on an assumed scale lines proportional to those drawn upon the paper. The constructions of descriptive geometry have met ever- widening applications in architecture, stereotomy, machinery, and civil construction of all kinds. In all these its use is indispensable, w^hile the highest degree of theoretic interest has also been lent to it by monumental works like Fencelet's Traité des Propriétés Projective des Figures, Reye's Geometrie der Lage, and Fiedler's Darstellende Geometrie. As might be expected, the representation of space relations by space itself, as is done in descriptive geometry, must be so perfect and so like the thing represented as to give rise to a wider range of truth than any other branch of graphica 60 HENRY T. EDDY. It is, however, a part of my subject comparatively well known and 80 I take the liberty of hastening on to the most fruitful and important branch of graphics, which is without doubt that of graphical statics, in which forces are drawn to scale as in the parallelogram of forces. Graphical statics, so far as it has practical application in the computation of engineering structures is the art of evaluating stresses and other quantities dependent upon stresses by geo- metrical or so-called mechanical methods instead of doing this by arithmetical means. Looked at as a branch of mathematics, it consists of a very large number of propositions of great interest and beauty, geometrical in their character and capable of highly refined and complex relationships. The manner in which these propositions have been established is of special interest to the mathematician. Some of the cultivators of this field have employed algebraic processes such as are employed in analytical geometiy for this purpose, while others have preferred to use only pure geometry to demonstrate the necessary fundamental propositions, thus creating a branch of pure mathematics called geometrical statics. These last have frequently, but wrongly, assumed that they alone were the true cultivators of this art and have regarded those who used algebraic analysis for this purpose as interlopers and trespassers, who ought to leave the field to its rightfiil cultivators, the modem geometers. Among those who have written upon this subject in America may be mentioned the names of Greene, Du Bois, Eddy, Burr, Merriman and Church. Indeed, most of our recent text-books upon the theory of civil engineering construction have contained as much graphical statics as could be introduced in an elementary manner without leading the student too far from the problems immediately under consideration. In several of these works the authors have intentionally put graphical methods to the fore, and, as was to be expected, have done so on the basis of algebraic analysis rather than upon that of modem geometry. None of them, however, have exhaustively treated the entire field as it exists to-day with a view to all its methods and applications as has been done in the great work of Prof. Maurice Levy, entitled, " La Statique Graphique et ses Applications aux Constmctions," MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 61 second edition, Paris, 1888, in four volumes or parts, of 1700 pages all told. Most of them have been content with a more or less complete exposition and application of two principal methods: to-wit, the method of the reciprocal frame and force diagrams, and that of the equilibrium polygon or catenary. The former of these methods is due to Maxwell, who published his first paper on the subject in 1864. It is based upon the parallelogram of forces discovered by Newton about 200 years ago, and consists in a systematized method of combining in one figure all the parallelograms representing the forces acting at the joints of a framework in such a manner as to exhibit its reciprocal relationship to the frame. This reciprocal relationship is one specially suited to modem geometrical thought, and so was taken up with enthusiasm by its cultivators. Its possibilities have been greatly developed by the genius of Cremona. The other method employs the catenary or equilibrium polygon, which is a figure having the shape which a perfectly flexible cord would assume if it should hold in equilibrium the system of forces under consideration. Its discovery is due to Varignon more than 200 years ago, who in his treatise on statics reckoned it as the seventh among simple machines. But its properties as a moment curve, and the importance of its use as a means of evalmation in practical designing, cannot be said to have been effectively brought to the attention of the engineering profession until Culmann published the first edition of his work entitled Graphische Statik in 1866. Culmann, through his publications and his pupils, put himself and his school at the head of a strong movement in favour of graphical methods He regarded modem geometry as an essential prerequisite to all such work. Of the second edition of his book only the first volume has appeared. It. was published in 1875, and is devoted to the theoretical part of the subject. The practical applications were to have been contained in a second volume. Without detracting in any way from the great merit of this leamed treatise, it can be said that its publication in English is not a matter of great importance now. It is too leamed for practical use by busy men. After Culmann's first publication in 1866, numerous important developments and applications of the equilibrium polygon were 62 HENRY T. EDDY. published, among which we may mention Mohr'a prime discovery of the elastic curve as a so-called second equilibrium polygon, and his graphical solution of continuous girders; also the dis- coveiy by the present writer of the mutual relationship between the neutral axis of the elastic arch and the equilibrium polygon of its actual horizontal thrust and load. These and other discoveries led to graphical processes of great value from a practical stand- point. Besides the two general methods of which we have been speaking there are several others almost equally important. In particular we may mention the lines of influence proposed by Frankel in 1876, since developed by Winckler, and extensively cultivated abroad, but seemingly almost unknown in this country. What a line of influence is may be readily pictured in mind by supposing a weight to traverse a span of a girder framework, and as it does so, let a vertical ordinate be laid off at the weight and of a length proportionate to the effect the weight has in causing either bending moment or shear at a given point of the girder, or in causing tension in a given bar of the frame. There is then a different line of influence for each point of the girder and for each bar of the frame. The geometry of these lines can readily be developed by analysis or otherwise, and the method is one of great power and wide application. The present writer has published in the Trana Am. Soa C. E. still another method for treating problems of the same character as those whose solution is sought by lines of influence. It develops and applies the properties of the weight line or line of shears due to a train of wheel weights together with some associated lines called reaction polygons. These last two methods both have special reference to the question of maximum stresses due to trains of moving wheel weighta Let us now return to the consideration of Levy's great work before mentioned, in order to give a more detailed account of its scope and contents, for it now is and most necessarily, for a long time to come, remain the great compendium upon the art of graphical statics. This author is a savant who has risen by the force of his genius to a foremast position among the scientific men of France. It is a sufficient proof of this to mention to those cognizant of such matters that he is a member of the Institut, MODERN GBAPHICAL DEVELOPMENTS. 63 Engineer-m^Chief of the Ponts et Chaussées, professor at the Ck>llége de France, and at the École Centrale. Any of these distinctions would stamp his writings as those of a scientific authority. The present work is a second edition and contains more than three times as much matter as the first edition published in 1874. The subject is treated with a detail, precision and elegance such as especially distinguish the best French scientific treatises. It is divided into short sections of a page or two with accurate headings of the subject-matter of each, making it singularly easy for reference and use. In short, in its make up it is an ideal book for usa It is no mere compilation. Large portions of the book are entirely new creations, or ex- tensions by the author to new fields of methods already known. There is nothing however old to which the author has not added clearness, breadth and system. It is not too much to say that it is a work of such magnitude and acumen as to make it a monument of intellectual and mathematical power, comprising as it does some 1700 pages of text and 44 plates. And when we consider that it is written by an author whose interest in the theoretical questions involved is so intense, it is a marvel to see the numerous practical examples worked out in detail to illustrate the methods proposed. By careful attention to this part of the exposition the author has fully justified the entire title of the work, 'Graphical Statics and its Applications,' for he evidently considéra the applications as the end in view in writing the book. It is due to the ÎBict that the author has put his great mathe- matical and technical abilities unreservedly at the service of the practical constructor that he has made the work of indispensable importance to every educated engineer. Its actual contents cannot perhaps be more clearly summarised than is done for important portions of it in Levy's own preface, fix>m which we venture to translate the following extracts, with a few unimportant alterations rendered necessary by the changes introduced into the work during its publication, after the preface, which is prefixed to the first volume, had appeared. Volume L, entitled, 'Principles and Applications of Pure Graphical Statics,' containing the subjects treated in the first edition (1874), except the following changes and additions : 64 HENRY T. EDDY. Ist In the first edition we began by an exposition of the properties of equilibrium and reciprocal figures starting from a point of view wholly geometrical. This procedure still seems to us to-day the more satisfactory when we have regard merely to teaching; but as it is important to get to the applications as quickly as possible, we have thought that engineers would be glad to have us dispense with this preliminary study. We have, therefore, entirely omitted the geometrical part of the first edition and obtain the solution of problems relating to equilibrium polygons and to reciprocal figures from their mechanical defini- tions alone. 2nd We have added a complete and detailed study of the important problem of the passage of a train over a simple girder on a framework supported upon two piers. We explain a very exact method due to Weyrauch for finding the dangerous portions as respects the moments of flexure. We give finally not only a solution of this problem of flexure, but also that of shearing tresses, which is new and complete and based in its first point upon an unpublished theorem of M. Ventre, captain of engineers. (In note 2, Vol. 4, is a new theorem due to Eddy, which completes in a manner entirely graphical the method deduced from Ventre's theorem.) 3rd. In Note 1 we have explained the new method of calculating dimensions of pieces used in construction according to the experiments of Wohler and of Spangenberg, and the principal formulas by the aid of which they have been summarized by Launhardt, Weyrauch, etc. 4th. Note 2 is devoted to Amsler's planimeter, to his integrator and to Deprez' integrameter, instruments not mentioned in our first edition. 5th. Note 3 treats of catenary curves, especially those of equal resistance, and in Note S bis vre have reviewed the principal steps in constructing the parabolic arcs which occur so frequently in practice. 6th. In Note 4 we give, in the case of plane systems, the important theory of lines of the principal stresses (isostatic) and lines of maximum shear, and apply it to constructing these lines in a girder resting on two piers. 7th. As to arrangement, instead of printing all the figures as MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 65 plates separated fix)ni text, as was done in the first edition, we have made plates of only the lai^ger ones and have, for the convenience of the reader, interspersed the others with the text. The remainiDg volumes formed no part of the first edition. Volume II. containing two sections and one note : Section I., entitled ' General Principles,' contains two chapters, one of which is devoted to a review of general formulas as to plane flexure. We give not only the expressions for elastic dis- placements but show how they can be obtained by applying the principles of kinematics relating to the composition of rotations, a form of proof certainly very expressive. We give the general formulas also a form which we think is new and which is more simple and as exact as the usual form, especially in the case where we neglect the shear without neglect- ing the compression of the mean fibre. In the second chapter we have attempted to give a summary of what can be said in general upon the lines of influence which are so convenient, not to say indispensable, in studying the positions of danger for a train upon a girder or arch which is statically indeterminate. As to these lines, introduced to science by Professor Frankel, we give an important theorem of Winckler for the case where they are polygonal, and we extend it to the case where the sides are formed of arcs of any curves whatever. Finally by the intro- duction of a fictitious train we give certain new tests which may be useful in practice. Section IL of this volume is devoted to straight girders. Omitting girders which are statically determinate, and which have been treated in the first volume, we give in great detail the graphical solutions dealing with the problems of the girder built in at one end and simply supported at the other, the girder built in at two ends, and continuous girders built in and not built in. We base each theoiy which has to do with girders of one span or more upon a single theorem, which we call fundamental, and which deserves the name, for it furnishes the solution of all the problems which can be proposed in the domain which it includes, a solution analytical or graphical according to the mode of development which we prefer to give it. For continuous C. P. 5 66 HBNRY T. BDDY, girders the fundamental theorem is one to which we give the name of two moments; it is a generalization of one which we published in the Comptes Rendus of March 22nd, 1875. It furnishes Bresse's fixed points at once, which we have named foci, as well as the moments of flexure at these points. Our graphical solution is not the same as that given by Mohr, which is so justly celebrated; it is analogous to that of Fouret and Colligon. If the question be to determine the moments of flexure in a continuous girder for one determinate system of loads, that of Mohr would be a little more expeditious, but for deter- mining the maximum moments arising from various possible combinations of loads we believe the solution we propose to be preferable. But it has not seemed to us proper in a treatise so compre- hensive as this to pass by the beautiful work of Mohr in silence, a work which in some sort is the point of departure of the graphical treatment of the resistance of materials ; accordingly we present it in Note 1, at the end of this volume. An important question is the study of lines of influence in a girder of one or more spans not statically determinate, because* when these lines are known, the dangerous position of a train follows them. We discuss the forms of them in all the cases ; and as a result of the discussion we notice, as we believe it has not been done before, that in a girder of constant cross-section, what- ever be the number of spans the line of influence with respect to any cross-section whatever is always a catenaiy; 1st, of a unit load situated at that cross-section ; 2nd, of a water pressure, that is to say, load extending across the entire span in which this cross-section is situated, and varying proportionally to the distance of its point of application to a fixed point. The lines of this pressure-load are straight and pass through one of the foci, when the cross-section considered coincides with the pier opposite to that focus. This theorem allows the line of influence to be drawn very speedily, whatever be the number of spans, by employing the very convenient and common properties of catenaries. Volume III. contains four sections, in which the subjects treated are: Section I. Metal arches : 1st, arches resting on hinges ; 2nd, MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 67 arches built in at both ends; 3rd, with one built in and one point hinged; 4th, arches with intermediate hinges. Section II. Action of forces normal to the plane of the neutral axis, including torsion and flexure in general; and the action of the wind against frame structures. Section III. Suspension bridges, with and without shrouding, with and without stiffening truss. Section IV. Shells symmetrically loaded including domes, boilers and rings, cylindrical, conical, spherical and plane. Note 1. Direct determination of arches of equal resistance. Note 2. Continuous arches and arches stiffened with con- tinuous girders, such as the bridge over the Douro. In his admirable study of the Douro bridge, Seyrig has admitted the fixity of certain points of the upper girder. This supposition simplifies the calculations by allowing the arch and girder to be treated separately, but it is perhaps useful to study the structure as a whole by taking account of the connections which actually exist between the arch and girder. We give the solution of this problem which is hardly more complex than that which rests upon the hypothesis of the fixity of the points of junction. The theory of every system of arches, like that of every system of girders, rests likewise upon a theorem which is unique and fun- damental, and which can be developed at will analytically or graphically. Among the graphical solutions of arches we have given pre- ference to that which Ekldy has set forth in his New Construction in Graphical Static& We give a rigorous demonstration of it, as has also been done by engineer Guide, and we apply it not only to simple arches but to continuous arches also, and to those with straight stiffening girders. We have also attempted to study the lines of influence in arches, and consequently the dangerous position of trains, and we have reached a solution that we believe is very satisfactory. Whatever be the arch, built in or not, of cross-sections and of elasticity constant or variable, we employ a line which we name the line of thrust which must not be confounded with Winckler s SLampferdrucklinie. Suppose that we lay off on the vertical of a moving weight P, measuring from the chord of an arch, an ordinate which on an 5—2 68 HENRY T. BDDY. assumed scale represents the arithmetical value of the quotient obtained by dividing the thrust by the weight P which causes it. The line so obtained we name the line of thrust. Now we show that this line coincides with one of the catenary curves« to wit : Ist, if the arch is of constant cross-sections it coincides with a catenary due to fictitious loads yds applied at each element d9 of the neutral axis, y being the ordinate of this element of the neutral axis with reference to the chord ; 2nd, if the moment of inertia / of the cross-section of the arch is variable, the fictitious loads are quotient of yds divided by /. The line of thrust can therefore be constructed as a catenary curve, or polygon approxi- mately, due to known loads. We have already constructed the lines of influence on straight girders by this same method and we discover that the segments of the ordinates comprised between the line of thrust (a line drawn once for all, whatever may be the cross-section with respect to which the line of influence is sought) and the lines of influence of the arch regarded as a simple straight girder, when we lay them off to a convenient scale and one varying from one cross- section to another, give the true ordinates of the lines of influence of the arch. Thus these last are found in their turn to be obtained by the construction of equilibrium polygons. The line of thrust by reason of the simplicity of its geometri- cal definition and construction may be regarded as the basis of a new and general graphical solution of the problem of arches requiring operations no more complex than Eddy's method. It consists in this : 1st, construct, first of all, the line of thrust which depends solely upon the geometrical form of the arch ; 2nd, this line being known, by the principles of superposition, it furnishes at once the thrust caused by any loading whatever, continuous or discontinuous; 3rd, combining this force with those directly applied, it is sufficient to treat the arch as if it was placed upon its supports in the manner of a straight girder, built in or not according as the arch itself is built in or not. In the last chapter of Section II. we have treated the im- portant problem of the action of the wind upon large fiumes. In calculations of this action it is generally taken for granted that the moment of flexure which the wind produced at the top of an arch is independent of its rise, so that it is sufficient in this way MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 69 of looking at it to regard the arch (or rather the entire structure, made up of the arches which constitute the bridge or viaduct) as a girder built in at its two ends. This rule is very convenient, bat it is worth while to find out how Sbu* it is admissible. To this end we begin by giving the exact expressions for the elastic forces which the wind produces. It is then seen that the hypo- thesis of which we have just been speaking supposes: 1st, that we take as constant, not the moment of inertia / of the cross- section of the arch, but its product by the cosine of the inclina- tion of that section to the vertical; 2nd, that we neglect the shearing and the compression of the neutral axis. We may, in {[eneral, begin by taking this hypothesis for granted under the head of a first approximation, subject to subsequent verification. But this verification requires that we have at our disposal the mathematically exact formulas which we give. Volume IV. treats three principal subjects in as many sections : Section I. Arches and domes of masonry. Section II. Pressure of earth and fluids, retaining walls, stability of chimneys. Section III. Framework with superfluous members or other conditions which render it statically indeterminate. In this it is shown how by modifying slightly the graphical process given for pieces of solid cross-section we obtain the solu- tion of corresponding problems for pieces of framework. Note 1, at the end of the volume, is the republication of an important original memoir upon the investigation of the tensions in systems of elastic members, and systems which for an equal volume of material offer the greatest possible resistance. We now leave graphical statics and pass to another great branch of graphics which centres in a practical way about the steam-engine, and covers such various matters as indicator dia- grams, diagrams for slide valve motions ; planimeters ; mechanical integrators of various kinds ; self-recording instruments to measure power, velocity, etc; slide rules for logarithmic computation; various constructions for the extraction of roots, for the solution of equations, for the description of curves and for the computation of various complex functions. Some of these are in daily use in the workshop and designing room. Methods without number yet to be discovered or perfected 70 . HENRY T. EDDY.. , and put into the hands of the over-driyen practitioner aiFord opportunity for the most varied mathematical genius to exercise its utmost skill. For a survey of the present status of graphics of this sort in the technical literature of England, I take pleasure in referring, those interested to the Second Report (1892) of the Committee of the British Association for the Advancement of Science on the» Development of Graphic Methods in Mechanical Science, by Professor H. S. Hele-Shaw of Liverpool, England, Secretary of the Committee and author of the little work on Mechanical Integrators, republished in this country. The first or preliminary report of this Committee was made three years before the one !• am now describing and paid considerable attention to graphical, statics; but this second report is devoted principally to graphical methods not statical. The report contains an appendix of 95 pages, giving a classi- fied list of references to technical papers published in thirty of the principal professional periodicals of Transactions and Proceed- ings of Engineering and Scientific Societies, in which graphical methods are employed. I estimate that these 95 pages contain more than 2000 references to graphical representations and pro- cesses of all kinds aside from graphical statics proper, a &ct which shows how widespread is the professional use of graphics and how it has come into use as a common medium of expression in England, where conservatism in methods is more persistent than: in any country where great constructions are common, except perhaps in Germany. I am informed by Professor Hele-Shaw. that a third report of this Committee is to be made at the: meeting of the British Association this fall in which he will attempt among other things to sketch the present status of graphics in educational and professional life generally. This: renders it superfluous for me to attempt anything of the kind at the present time. The last branch of the subject which I shall mention is the graphical treatment of electrical currents, electromotive forces and- harmonic motion generally. The most recent extensive applica-* tion of graphics is to electricity, but . it has already reached a- point where its use may be regarded as indispensably necessary, as much so as the indicator diagram in: dealing with the steam- MODERN GRAPHICAL DEVELOPMENTS. 71 engine. Indeed, the commonly used characteristic curves of the dynamo and motor may, from their simplicity and usefulness, well be compared to indicator diagrams. But the geometrical con- structions by which the relation between the impressed and effective electromotive forces are computed in altematiog circuits when the currents are affected by self-induction and mutual induction in connection with condensers concentrated or dis- tributed are of a far different order of complexity, and such constructions accomplish a work in solving problems of design like that effected by the constructions used in graphical statics. They enable the designer to take a short cut to important numerical results with certainty, and permit him to judge how a variation in any of the various factors under consideration affects his results in a manner so marvellous as almost to endow his brain with a new organ of vision and bring within its view things as intangible as mathematical functions. It enables him, as it were, to handle and manipulate them at will. The result is like that accomplished by Lord Kelvin's harmonic tidal machine, by which the tides of a given port can, on the basis of a few brief observations, be predicted with such rapidity that a very short space of time suffices to print in advance the tides of a whole year. So, too, the diagram of a proposed network of resistances, inductions and condensers, predicts in advance the distribution of currents resulting from the application of a given periodic electro- motive force with the relative lag and the intensity in its various branches as well as the power required in each. So much indeed has already been accomplished graphically in this new field of electro-technics and so promising is the outlook for further help that one of the subjects proposed in the world competition for the Elihu Thompson Prize this fall at Paris is a aystematised graphical treatment of electrical problems com-. parable to that already developed for problems in statics. This occasion, however, affords no opportunity for an exhaus- tive survey of this field, whose many ramifications and numerous^ practical applications ensure its rapid enlargement. In conclusion permit me to say that this somewhat hasty sketch will have accomplished its object if it has given you a somewhat enlarged idea of the scope and importance of modern graphics in relation to theory as well as practice. DIE THEORIE DER AUTOMORPHEN FUNC- TIONEN UND DIE ARITHMETIK. VON ROBERT FRICKE in BRAUNSCHWEIG. Die nachfolgende Darstellung soll einen summarischen Bericht über die Beziehungen geben, welche sich zwischen der modernen Theorie der automorphen Functionen und der überlieferten Zahlen- theorie bislang ergeben haben. Es knüpfen sich diese Beziehungen an die geometrischen und gruppentheoretischen Grundlagen, welche man der engeren Theorie der genannten Functionen vorauszusenden pflegt Der einfache Ausgangspunkt ist die Lehre von den Substitutionen : f-^^-»!--^ •<«• WO (f eine complexe Variabele bedeutet und f der zu Ç conjugiert complexe Wert ist ; dabei muss man auch die zweite Substitution so verstehen, dass sie den Übergang von (f zu (^ darstellen soll. Von rein geometrischer Seite her sind die durch Substitutionen (1) vermittelten conformen Abbildungen wohl am ausführlichsten von Moebius* untersucht worden und als directe und indirecte Kreisverwandtschafien unterschieden worden, je nachdem eine Substitution von der ersten oder zweiten Art (1) vorliegt. Man gewinnt aber die gedachten Grundlagen der Theorie der auto- morphen Functionen, indem man die geometrische Lehre der Substitutionen (1) in Beziehung stellt mit dem modernen Oruppenbegriff und die dadurch entspringenden Consequenzen verfolgt. Es hat Interesse festzustellen, wo die zuletzt bezeichnete * DU Theorie der Kreitverwandtichaft in rein geometriâcher Dantelbmg, Abbandl. der EönigL SSchs. OeseUaohftft der Wiss. Bd. 2. (18ß6). AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 73 Wendung in ihrem Keime zu finden ist : man hat als ersten und wichtigsten Ansatz zur gruppentheoretischen Behandlung der Substitutionen (1) das sogen. PHndp der Symmetrie anzusehen, welches Riemann* bei verschiedenen Gelegenheiten aufgestellt and zu functionentheoretischen Zwecken verwendet hat, und welches dann späterhin von Schwärzt au& neue in Benutzung gezogen wurda Schwarz' Anknüpfungspunkte an Riemann li^;en, das Symmetrieprincip anlangend, im Gebiete der Minimal- flächen und damit in den beiden ersten der gerade genannten Arbeiten Riemaon's. Demgegenüber soll hier auf die zu dritt genannte höchst merkwürdige Notiz Riemann's besonders auf- merksam gemacht werden, die übrigens aus hinterlassenen Papieren desselben durch den Herausgeber seiner Werke zu- sammengestellt wiutle : es sind in dieser Notiz unter freilich sehr beschiankten Voraussetzungen tsßt alle wichtigen Gedanken angedeutet, welche in der späteren Theorie der automorphen Functionen Geltung gewonnen haben. Um auf die sachliche Einführung des Symmetrieprincips noch ein wenig näher einzugehen, so knüpfe ich an die Sub- stitutionen (1) von der zweiten Art an, die eine Abbildung mit Umlegung der Winkel vermitteln. Die wichtigsten hierher gehörigen Substitutionen sind diejenigen von der Periode zwei, die also ein vertauschbares Entsprechen von Punkten (f, (^ darstellen. Diese Substitutionen zweiter Art haben die Eigen- schaft, die Punkte eines gewissen Kreises der {'-Ebene einzeln in sich selbst zu transformieren, während die übrigen Punkte der (f- Ebene durch die Transformation vermöge redproker Radien an dem genannten Kreise umgelegt erscheinen. Ist dieser Kreis reell, so spricht man von einer Spiegelung oder symmetrischen Umformung an demselben, und eben hierauf gründet sich das genannte Symmetrieprincip. * über die FUlehê vom kUimUn InhaU hei gegebener Begrenzung, Ges. Werke, ]Mg. 8S8; Beispiele von Flachen kleinêien InhalU bei gegebener Begrenzung, Oen. Werke, pag. 417; Oleiehgewieht der EleetricHät auf Cy lindem nUt kreisförmigem Qmereehnitt und parallelen Äxen, Oes. Werke, pag. 418. t Über eimge ÄbHldungtaufgaben, CreUe's Journal, Bd. 70, pag. 105 (1S69); über diejenigen Fälle, in welchen die Qauu'êche hypergeometritche Reihe eine eOgebraiaehe Function ikreê vierten Argumenteê iet, Grelle'a..Joarnal, Bd. 75 (1873); «eher aehe man Sohwarz* Abhandinngen znr Minimalflaohentheorie. 74 ROBERT FRICKE. Man denke sich in der That einen Bereich Bo in der {^'-Ebene gezeichnet, der nur von Elreisen oder Kreisbogen begrenzt ist, und wolle auf Bo die Transformation vermöge reciproker Radien an seinen begrenzenden Kreisen anwenden. Der Erfolg ist, dass B^ rings von neuen Bereichen Bi, 5„... umlagert ist, die wieder von Kreisen begrenzt sind, und auf welche man demoach au& neue den bezeichneten Process der Spiegelung anwenden kann. Die Qruppentheorie gewinnt dann dadurch Eingang, dass man den Spiegelungsprocess ohne Ende fortsetzt und alle Substitutionen (1) sammelt, welche das schliesslich entspringende Bereichnetz in sich selbst transformieren^. Dieser an und fiir sich an keine neue Bedingungen gebundeoe Ansatz verlangt indes einige Einschrän- kungen betreffs der Gestalt des Ausgangsbereiches B^, sobald man die Forderung stellt, dass das entspringende Bereichnetz die (f-Ebene nirgends mehrfach bedecken soll. Die bekannteste dieser Bedingungen ist die, dass in etwaigen Ecken des Bereiches Bo die Winkel aliquote Teile eines gestreckten Winkels sein müssen. In der dritten der oben genannten Arbeiten Riemann's ist der Spiegelungsprocess auf einen Bereich B^ angewandt, der nur von Vollkreisen begrenzt ist, und hier wird das schliesslich entsprin- gende Netz von Bereichen B explicite in Betracht gezogen f. In den Minimalflächenarbeiten Riemann's liegen Kreisbogenpolygone* vor, die auf die f-Kugel stereographisch projiciert von grössten Kugelkreisen begrenzt erscheinen. Auf das schliessliche Ergebnis, des Spiegelungsprocesses wird hier nicht ausfuhrlich Bedacht genommen, wie denn überhaupt die durchgebildeten gruppen- theoretischen Momente Riemann fem liegen. Die beschränkte Gattung der bei Riemann zur Verwendung* kommenden Bereiche B hat bewijrkt, dass eine beim Princip der symmetrischen Vervielfältigung auftretende Erscheinung, die in der Folge die allergrösste Bedeutung gewann, wie es scheint * Dyck verwendet in den " OruppentheoretUchen Studien** (Math. Ann., Bd. 20, 1881) das Symmetrieprincip nnd die Bereicfanetze zu rein grappentheoretisoheii Zwecken, bei denen die Bedeutung der Figuren nur eine schematisohe ist. t Dieser Fall ist in functionentheoretisohem Gedankenzusammenhang ans-^ fährlich Ton. Schot tky untersucht worden; siehe dessen Abhandlung **Öher conformé ÄbhildtEng mehrfach zuBammenhängender ebener Flächen^** . Crelle'a Journal, Bd. 88 (1877), sowie die kurze Notiz in Bd. 20 der Mathem. Annaleo, pag. 209. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 75 Riemann unbekannt blieb: ich meine den Umstand, dass bei gewissen Ausgangsbereicfaen Bo der'6piegelungBproce»s natürliche Chrenzen in der (j'-Ebenc antreffen kann, denen man zwar durch hinreichend weit fortgesetzte Spiegelung beliebig nahe kommt, die aber nie überschritten werden können. In der That findet sich das Auftreten einer natürlichen Grenze am Beispiele der- Kreisbogendreiecke zum ersten Male in der zweiten der oben genannten Arbeiten von Schwarz erläutert, der übrigens von analytischer Seite her bereits vorher auf das fragliche Vor- kommnis durch Weierstrass aufmerksam gemacht worden war. In letzterer Hinsicht haben wir aber sehr zu betonen, dass analytischerseits bereits in zwei älteren Arbeiten die in Rede stehenden natürlichen Grenzen eine Rolle spielen. Einmal wurde Riemann bereits sehr früh (1852) auf die Untersuchung analytischer Functionen in der Nähe ihrer natürlichen Grenzen geführt; ich meine hier das Fragment über die Grenzfalle der elliptischen Mödulfunctionen, das pag. 427 ff. der gesammelten Werke abgedruckt ist. Immerhin sind wir trotz der nahen Beziehung, welche zwischen den letzteren Functionen und Riemann's P-Function besteht, und trotz der wichtigen Rolle der letzteren in den Minimalflächenarbeiten doch nicht zu der Annahme berechtigt, dass Riemann eine deutliche Kenntnis vom Zustandekommen oder auch nur von der Existenz der natürlichen Grenze bei automorphen Functionen besessen habe. Sehr geklärt sind demgegenüber die Anschauungen, welche Hankel* 1870 in der unten genannten Arbeit entwickelt hat. Am Schlüsse derselben entwickelt Hankel die Möglichkeit analytischer Func- tionen, deren singulare Punkte ununterbrochene Linien füllen, und giebt in einer Note das Beispiel einer Function, die einen Kreis als natürliche Grenze besitzt. Hankel hat diese Ideen unabhängig von Weierstrass entwickelt, welch letzterer freilich , schon vor Mitte der sechziger Jahre in seinen Vorlesungen den in Rede stehenden Gegenstand berührte. Die obigen Bereiche £, liefern Gruppen, welche aus den beiden Arten der Substitutionen (I) bestehen, und welche überdies aus einer Reihe von Substitutionen zweiter Art der Periode zwei * Unienuehungen Hber die unendlich oft oseiüierenden wid wutetigen FunC' tiimen (Tfilnngen, 1870), abgedmokt in Bd. 20 derlfathem. Annalen. 76 ROBERT FRICKE. erzeugbar sind. In den Hauptarbeiten zur Theorie der auto- morphen Functionen, nämlich denjenigen von Poincaré* und der unmittelbar vorher erschienenen Abhandlung von Elein'f' wird der Ansatz so gewählt, dass zuvöitlerst nur Gruppen von Substitutionen (1) der ersten Art entspringen ; und es würde als- dann der Gegenstand einer weiteren Untersuchung sein, ob die einzelne "Gruppe ei-ster Art" durch Zusatz von Operationen zweiter Art erweitert werden mag. Gegenüber der grösseren Allgemeinheit dieses Ansatzes hat der oben bezeichnete Gebrauch des Symmetrieprincips jedenfalls den Vorzug grösserer Anschau- lichkeit iUr sich. Um sich über die äusserst mannigfaltigen Gestaltungen der Grenzcurve zu unterrichten, bietet sogar schon der von Rie mann in der Arbeit über Elektricitätsverteilun^ betrachtete Fall vollauf Gelegenheit, wenn wir nur noch seine gleich zu bezeichnenden Ausartungen mit in Betracht ziehen. Diese letzteren sollen darin bestehen, dass die zuvörderst getrennt liegenden VoUkreise, welche die Grenzen des (natürlich mehrfach zusammenhängenden) Bereiches Bf, ausmachen, in eine einfach oder mehr&ch zusammengeschlossene Kette einander berührender Kreise übergehen sollen. Im anfanglichen Falle strebt der Spiegelungsprocess keiner zusammenhängenden Grenzlinie zu, sondern vielmehr unendlich vielen discret liegenden Punifen, welche ein Punktsystem von höchst wunderbarer Structur bilden. Hat man eine einfach zusammengeschlossene Kette einander berüh- render Kreise, so entspringt eine geschlossene Orenzcurve als natürliche Grenze ; von ihr gilt der sehr merkwürdige Satz, dass sie entweder ein Kreis ist oder aber eine höchst complicierte Curve, die sich durch eine analytische Gleichung zwischen den CoordincUeit überhaupt nicht mehr darstellen lässt^, Ist endlich der Zu- sammenschluss der Kette einander berührender Kreise ein mehr- facher, so entspringen unendlich viele Grenzcurven^ die ini * In erster Linie kommen in Betracht : Théorie des groupai fuchrietu. Acta mathem., Bd. 1 (18S2), Mémoire êur Um groupes kleinéent^ Acta mathem., Bd. 8 (ISSS). t Neue Beiträge zur Riemann*$chen Funetionentheorie, Üathemat. Annalen, Bd. 21 (18S2). X Die erste Mitteilung über diesen Gegenstand findet sich in einem Briefe Klein's an Poincaré, der in den Comptes rendes von 18S1, Bd. 1, pag. 14S6 im AnsEog abgedruckt ist. § Vergl. hierzu die oben gen. Arbeit von Klein in Bd. 21 der liath. Annalwn. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 77 be9(mderen sdmüick Kreise sein mögen, im allgemeinen aber nickt- analytische Curven darstellen. Die fraglichen Bereichnetze sind übrigens auch nach ihrer rein geometrischen Seite hin nur erst sehr wenig ausführlich untersucht Eis tritt hier möglicherweise die schon oben (pag. 74) erwähnte Sachlage ein, dass das Netz der Bereiche B^, Bi,... bei fortgesetzter Spiegelung schliesslich mit sich selbst in Collision gerat; aber es sind die Bedingungen dafür, dass dies nicht eintritt, im vollen Umfange noch nicht ausführlich untersucht. Doch muss es genügen, hierauf hingewiesen zu haben ; und ich kann auch der Einführung der automorphen Functionen, als eindeutiger analytischer Functionen /{Ç), welche in homologen Punkten der Bereiche B^, -Bi,... entweder gleiche oder conjugiert complexe Werte annehmen, nur im Vorbeigehen gedenken. Die voraufgehenden Auseinandersetzungen, welche ja dem Kenner der automorphen Functionen sehr geläufig sind, mussten doch gemacht werden, um die Stelle aufweisen zu können, wo die Arithmetik mit der Theorie der automorphen Functionen zu- sammenhängt. Die genannten, durch die Bereiche Bo, B^,... gebildeten Einteilungen der (f-Ebene oder eines Teiles derselben und damit zugleich die zugehörigen Gruppen mit ihrer Structur und specifischen Darstellungsform sind in der That nur erst dadurch einer in ihr Wesen dringenden Untersuchung zugänglich,. dass man sich arithmetischer Hilfsmittel und Begriffsbestim- mungen bedient. Versucht man allein mit der unmittelbaren Anschauung sich den Verlauf einer Grenzcurve klar zu machen,. so erkennt man, sofern dieselbe eine nicht-analytische Curve ist,. abbald die völlige Unmöglichkeit zum Ziele zu kommen. Gleich- wohl ist natürlich in jedem Falle die Grenzcurve wohlbestimmt, und es muss möglich sein, dieselbe durch Angabe der numerischen Werte der Coordinaten ihrer Punkte arithmetisch zu begreifen. Es liegen hier übrigens Curven vor, wie sie allgemein und in abstracterer Form durch Hankel*, P. du Bois-Reymondf und viele neuere Autoren in Betracht gezogen wurden. Auf der andern Seite liefern unsere Figuren die mannigfaltigsten Beispiele unendlicher Punktsysteme, wie sie gleichfalls unter allgemei- * In den oben (pag. 75) ansfOhrlich genannten Abhandlung. t Siehe dessen Wexk **JHe allgemeine FufusHonentheorie,** Tübingen 1SS2. 78 ROBERT FBICRE. nerem Ansätze durch G. Cantor* in seiner MannigfiEiltigkeit8- lehre betrachtet werden. Man denke hier einmal an jene unendlich vielen discret liegenden Punkte, welche in dem mehrfach genannten Riemann'schen Falle die Grenzpunkte des Spiegelungsprocesses sind ; aber auch in den übrigen Fällen hat man die allgemeinen Cantor'schen Ansätze häufig zur Verwendung zu bringen. Der gewiesene Weg, die Kenntnis der Figuren nach der bezeich- neten arithmetischen Seite zu vertiefen, besteht darin, dass man das anthmetische Büdwngagesetz der StibsUtutùmscoefficierUen a, ß, 7, S aufzuweisen sucht, welche im Einzelfalle hei einer Gruppe auftreten. Die Lösung dieses im Centrum stehenden Problems würde einmal das Zustandekommen der Gruppe aus der Gesetz- mässigkeit der Coefficienten unmittelbar verständlich machen ; andrerseits würden sich alle eben angeregten Fragestellungen dann einfach dadurch erledigen, dass man die bei den einzelnen Substitutionen festbleibenden Punkte der (f-Ebene berechnet. Als Prototyp Rir die Behandlung der vorliegenden Fragestel- lungen kann man etwa die Theorie der Modulgruppe ansehen"}". Das Zustandekommen dieser Gruppe ist aus der ganzzahligen Natur der Substitutionscoefficienten unmittelbar klar; die natürliche Grenze ist zwar in einfachster Weise die reelle ^-Axe, aber man hat doch noch eine Reihe besonderer Punktsysteme auf der reellen Axe zu betrachten, wie die Systeme aller Fixpunkte gewisser besonderer Classen von Substitutionen innerhalb der fraglichen Gruppe. Zur Auflösung des aufgestellten Problems bietet sich nun zuvörderst ein inductiver Weg dar. Man kann aus dem gegebenen Bereiche -Bo die erzeugenden Substitutionen der Gruppe berechnen und mag durch Combination derselben weitere Substitutionen der Gruppe, soviel man will, herstellen. Es würde dann die Aufgabe entspringen, aus einer endlichen Anzahl dieser Operationen auf * Man vergl. die zahlreichen kleineren Aufsätze G. Cantor's übet unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten in den Banden 15 bis 21 der Mathem. Annalen, sowie eine Beihe weiterer bezüglicher Artikel in den Bänden 2, 4 nnd 7 der Acta mathematioa. t Man Tergl. die Tom Verfasser des Torliegenden Aufsatzes gelieferte Dar- stellung der fraglichen Theorie in dem Werke "F. Kleint Vorlegungen über die Theorie der eüiptiechen Modutfunctiùnen" 2 Bände, Leipzig 1890 und 92. AUTOMORPHE FFNCTIONENT UND ARITHMETIK. 79 das gemeinsame arithmetische Gesetz zu schliessen, von dem die gesamten Operationen der vorliegenden Gruppe beherrscht sind*. Eis wäre das eine Art inductiver Forschung, wie sie in der Arithmetik häufig, zumal auch von Gauss in Anwendung gebracht wurde und zur Erkenntnis neuer Gesetze hinführte. Aber wie es scheinen will, ist auch der Scharfsinn eines Gauss dazu erforderlich, um auf dem bezeichneten inductiven Wege die Gesetzmässigkeiten erkennen zu wollen, welche gegenüber der Combination der Substitutionen den Charakter der Invarianz besitzen. Und zudem sind, von den einfachsten Fällen abgesehen, die Rechnungen bei Combination der erzeugenden Substitutionen alsbald so schwierig und umständlich, dass die bezeichnete Methode wenig aussichtsreich erscheinen mus& Bei dieser Sachlage könnte man versucht sein, von den StAstitutiansgruppen selbst auszugehen ; und hier bietet sich sofort die Möglichkeit, beliebig viele Gruppen aus Substitutionen (1) arithmetisch zu definieren. Schreiben wir in der That vor, dass die Substitutionscoefficienten a, ß, 7, 8 einem bestimmten Rationalitätsbereiche angehören, so ist sofort evident, dass damit etwas gegenüber der Combination der Substitutionen Invariantes gewonnen ist. Aber es reicht diese Festsetzung allein im allgemeinen keineswegs aus, um Gruppen zu gewinnen, wie man sie in der Theorie der eindeutigen automorphen Functionen braucht, und wie sie umgekehrt von den oben betrachteten Bereichnetzen geliefert werden. Es treten hier jene wichtigen Einteilungsprincipien unserer Gruppen in continuirlichef, un- eigentlich disconünuirliche und endlich eigentlich discantinuirlichel in Geltung, welche nicht nur die Structur, sondern auch die specielle Darstellungsform betreffen. Es sind die "in der Ç- Ebene" eigentlich discantinuirlichen Gruppen, welche von den * Für eine sehr speoieUe Classe Ton Gmppen hat Bausenberger vor langenr Zeit ohne entschiedene Besultate den bezeichneten Forschnngsweg betreten; siehe z. B. dessen Abhandlung '* Über eindeutige periodische Functionen^* Math. Ann., Bd. 20, pag. 187 (1882). t Deren Theorie Ton S. Lie und seinen Schülern aasgebildet wird; siehe z. B. 4aa mehrbändige Werk Lie- Engel, Theorie der Trantformationsgruppent Leipzig (Tenbner). X Man Tergl. hierzu speoiell die zweite der oben oitierten Abhandlangen Poinoaré's; doch ist daselbst der Begriff der oontinairliohen Gruppen weniger streng gefjMst. 80 BOBERT FRIOKE. Bereichnetzen geliefert werden, während man auf dem eben zuletzt erwähnten Wege zwar discontinuirliche, aber im allge- meinen doch nur erst uneigentlich discontinuirliche Gruppen gewinnt. Der Anstoss zur Entdeckung neuer eigentlich discontinuirlicher Gruppen, über die Modulgruppe hinaus kam von einem nicht direct zur Sache gehörigen Gebiete, nämlich aus der arWime- tischen Theorie der indefiniten ganzzahligen quadraiischen Formen ; in der That lieferte diese Theorie arithmetisch definierte Gruppen von Substitutionen (1), von denen man von vornherein wusste, dass sie eigentlich discontinuirlich sein müssen. Aber freilich hat auch dieser Ansatz (auf den wir gleich noch ausführlicher zu sprechen kommen) nur eine sehr geringe Ergiebigkeit besessen ; in der That lassen sich auf diesem Wege nur solche Gruppen gewinnen, bei denen die natürliche Grenze ein Kreis ist. Von der Literatur der indefiniten quadratischen Formen kommen für uns in erster linie die Ai'beiten von Hermite* und Sellingf in Frage. Insbesondere ist es die eben zuletzt citierte Arbeit Sellings, welche in einer merkwürdig weit durchgebildeten Gestalt genau die für uns in Betracht kommenden Frage- stellungen behandelt. Nur ist es natürlich, dass Selling in seiner vielseitigen, auch nach mancher anderen Richtung hin wichtigen Arbeit nicht eben jene Gesichtspunkte voranstellt, welche vom Standpunkte der Gruppentheorie der Substitutionen (1) die wichtigsten sind. Auch ist es gar nicht wunderbar, dass Selling bei der geometrischen Betrachtung der Bereichnetze B^, Bi,,.. die letzteren nicht gerade in der einfsichsten Gestalt gewinnt, welche uns heute zugänglich ist. Es hat dann aber späterhin Po in care jl einen Teil der Selling'schen Ansätze in moderner Fassung* bearbeitet und den Connex mit seiner eigenen Theorie der automorphen Functionen explicite hergestellt. * Man sehe namentlich die Abhandlnngenfolge in Bd. 47 von Grelle's Jonmal, pag. 307 ff. (1853). t Über binäre und temäre quadrathehe Formen, CreUe*B Joum., Bd. 77 (1874). X Poincaré ist wiederholt auf diesen Gegenstand zurückgekommen und hat denselben bereits in seinen ersten Notizen über <*FuohB*sche Gruppen" erwähnt; man sehe z. B. die Comptes rendus Ton 1881, Bd. 1, pag. 335, sowie vor allem die ausführliche Arbeit ^*Le» fonctions fuchêienneê et V arithmétique ,* Journal de Mathématiques, 4^ Folge, Bd. 3, pag. 405 (1887). AUTOMORPHB FUNCnONEN UND ARITHMETIK, 81 Um den in Rede stehenden Gegenstand ein wenig näher zu behandeln, sei unter : /» = aii^* + aj,«,« + a„a^* + 2aj,«,a:,+ (2), eine indefinite ganzzahlige temäre Form verstanden, die ir- reducibel sein soll und also, geometrisch genommen, einen nicht- zer&Uenden Kegelschnitt von reellem Curvenzuge darstellt. Dieser Kegelschnitt gestattet oo' CoUineationen : ^'» =* «il^ + ck»^ + «enfldchige Polyedereinteilung im Innern der Fläche /„ » O, und bei dem schon genannten Übergange zum 2|'-Halbraume gewinnen wir eine der Oruppe entsprechende Einteilung des letzteren in KugeUchalenpolyeder von der Art, wie sie PoincaréJ in seiner Theorie der Elein*8chen Gruppen zu Grunde legt. Die von Bianchi betrachteten Beispiele hierher gehöriger Gruppen sind in der That noch nicht in der ^-Ebene, wohl aber im Halb- raum "eigentlich" discontinuirlich. Übrigens sollen betreSs des directen Bildungsgesetzes der in den Bianchi'schen Gruppen enthaltenen ^-Substitutionen weiter unten noch einige Bemer- kungen angefUgt werden. Die eben besprochenen Gruppen, die man als "Polyeder- gruppen" bezeichnet, sind in der Theorie der automorphen Functionen einer Veränderlichen 1^ nicht unmittelbar brauchbar ; hier kommen ja nur die als " Polygongruppen " zu benennenden Gruppen der oben besprochenen Art in Frage. Es giebt aber * Sui gruppi di iottituzioni linearis Math. Ann., Bd. 42, pag. 80 (1SJ2). t Lineare Subêtitutùmen mit ganzzahligen complexen Coeßeienten^ zwei Abhand- lungen in den Mathemat. Annalen, Bd. 88, pag. 813 and Bd. 40, pag. 882 (1690 und 91). t Man sehe die zweite nnter den oben (pag. 76) genannten Abhandlangem Poincaré's. AUTOMORPHE FüNC?nONEN UND ARITHMBTIK. 85 eine sehr interessante Wendung in der Theorie der Polyeder- gnippen, welche uns Polygongruppen als Untergruppen in denselben kennen lehrt. Indem man den oben schon berührten Gedanken generalisiert, innerhalb der Collineationsgruppe eines Kegelschnitts in sich diejenige cyclische Untergruppe zu be- trachten, welche eine vorgegebene Gerade in sich überfUhrt, werden wir die Aufgabe im quatemären Gebiet entsprechend so formulieren: Man schneide die Fläche zweiten Grades /»r = ▼ermöge einer durch eine ganzzahlige Gleichung gegebenen Ebene; diejenigen quatemären Substitutionen der Gruppe, welche diese Ebene in sich selbst überfilhren, liefern eine Untergruppe vom Typus der Polygongruppen. Dabei führt die geometrische Untersuchung des Schnittes der Ebene mit der Polyederteilung direct zur Polygoneinteilung dieser Untergruppe vermöge einer Theorie, die das genaue Analogen der oben citierten geometrischen Theorie der PelPschen Gleichung ist, und die sich den Selling'schen Betrachtungen im temären Gebiete an die Seite stellt*. Der hiermit besprochene Ansatz, sowie auch seine nahe liegende Verallgemeinerung auf Formen mit einer noch grösseren Variabelenzahl, fUhrt indessen zu keinen neuen Resultaten ; man wird vielmehr immer wieder zu jenen Polygongruppen zurück- geführt, welche auch schon durch die Selling'sche Theorie geliefert wurden. Nebenher sei auch noch auf die folgende Möglichkeit hingewiesen, den an die temären Formen anknüpfenden gruppen- theoretischen Ansatz zu verallgemeinem. In der Curventheorie gilt ein Kegelschnitt als Narmalcurve des Geschlechtes p = in der Ebene, d L im Räume ifZ, von zwei Dimensionen. Es reiht sich im jR, als Normalcurve p = die Raumcurve dritter Ordnung (7, an, allgemein aber im i2„ die Curve C^ die nicht schon in einem linearen Räume iZ„_i gelegen ist. Die "ganzzahligen" Kegel- schnitte werden wir in solche rationale Curven C^ verallgemeinem, welche durch ganzzahlige Gleichungen darstellbar sind. Es ist nun schon vor längerer Zeit von F. Klein das Problem gestellt, gerade so wie bei der C7, auch bei der (/„ die Gruppe der ganzzahligen Raumcollineationen des B^ aufzustellen, welche die * Man nhe das Niharo in der Torfain genannten Arbeit von Bianchi in Bd. 88 der Mathem. Annalen, pag. SSI ff. 86 ROBERT FRICKB. Cn in sich überführen. Sie werden eine eigentlich diflcontinuir- liche Untergnippe in der Gesamtgnippe der oo ' CoUineationen der Cn in sich bilden und werden insbesondere flir den "Parameter" Ç der rationalen Cn eine Polygongruppe zur Folge haben. Es ist kaum zweifelhaft, dass dieser Ansatz über den Bereich der Selling'schen Qruppen hinausführt; indessen ist die nähere Untersuchung noch nicht ausgeführt« Es ist nunmehr Bericht zu erstatten über eine Reihe von Arbeiten, deren gemeinsamer Charakter dahin formuliert werden kann» dass sie von einem directen Bildungsgesetz arithmetischer Art fwr die t^-Substitutionscoeffidenten a, ß, 7, S ausgingen. Der hier am nächsten liegende Gedanke würde der sein, dass man nach der bezeichneten Richtung hin die temären Gruppen Selling's und Poincaré's in ihrer Gestalt als (f-Gruppen in Betracht zieht Doch sei es gestattet, vorab über zwei andere Reihen von Untersu- chungen zu berichten, welche hierher gehören. Zusammenfassend möge vorher noch betont werden, dass auch die weiterhin zur Besprechung kommenden Gruppen, soweit sie Polygongruppen sind, stets nur wieder einen Kreis als natürliche Grenze ihres Polygonnetzes darbieten. In der That hat sich die Aufgabe, auch Polygongruppen mit nicht-analytischen Grenzcurven arithmetisch zugänglich zu machen, bisher noch stets als zu schwierig erwiesen. Hier ist nun erstlich der Oi*t, über die gruppentheoretischen Arbeiten von X. Stouff* zu berichten. Dieselben kommen einem Teile nach auf diejenigen Gruppen zurück, welche von Selling und Poincaré aufgestellt sind. Indessen geht StoufF in der ersten der genannten Arbeiten hierüber hinaus, indem er eine allgemeine Classe eigentlich discontinuirlicher Gruppen arithmetisch mit Hilfe gewisser Zahlkörperf höheren Grades definiert. Es ist ja ein Piincip, welches sich hier gleich auf- drängt, dass man die Substitutionscoefficienten mit ganzen algebraischen Zahlen eines gewissen Körpers identificiert. Stouff benutzt nun denjenigen reellen Körper des Grades J(p — 1), der in der Kreisteilung vom Primzahlgrade p auftritt. Die For- * 8ur certaine groupée fuehiieru. Sur deg fonetiom voitinet de* fonetiont modu- laireêf Sur la compoiition des formei guadratiquee quatemairei, in den Jahrgängen 1891 und 92 der Annales de la faculté des soienoes de Touloose. t Wegen der hier benutzten Terminologie sehe man Dirichlet-Dedekind, Vorletungen über Zahlentheorie, Supplement xi. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 87 derung, dass die Substitutionsdeterminante 1 sei, ist für die eigentliche Discontinuität noch nicht ausreichend; es gilt viel- mehr, neue Eanschränkungen zu treffen, und der von Stouff ausgeführte Gedanke ist der folgende: Sind e und e zwei bestimmte primitive p^ Einheitswurzeln, und sei 8, eine (r Substitution der gedachten Art, die bei Ersatz von e durch e' in S.' übergeht; es soll alsdann, unter T eine fest definierte Substitution verstanden, die Relation : bestehen. Dass alle, diese Relation befriedigenden, Substitutionen S^ eine Gruppe bilden, ist evident; Stouff zeigt, dass dieselbe eigentlich disoontinuirlich ist, und betrachtet eine Reihe von Beispielen, ohne indes die geometrische Seite des Gegenstandes hinreichend zu verfolgen. Des ferneren müssen wir hier nochmals auf die schon genannten Arbeiten von Bianchi zurückkommen. Sein ur- sprünglicher Ansatz lässt sich jetzt kurz dahin charakterisieren, dass er die Substitutionscoeificienten a, ß, 7, h mit ganzen complexen Zahlen der Gestalt (a + i&) identificiert und übrigens die Determinante «8-/87 = 1 verlangt*. Der so entspringenden Gruppe entsprach dann eine Einteilung des (f-Halbraums in Kugelschalenpentaeder von leicht angebbarer Gestalt, und man konnte die ganze Einteilung aus einem ersten Pentaeder nach dem Princip der Symmetrie entstanden denken f. Bianchi hat dann weiter statt des quadratischen Zahlkörpers von der Basis [1, i] auch die übrigen imaginären quadratischen Körper in entsprechender Weise zur Gruppenbildung herangezogen. Stets sind diese Gruppen im ^-Halbraum eigentlich disoontinuirlich, und Bianchi betrachtet iu mannigfachen Beispielen die fertige Gestalt der zugehörigen Polyederteilungen. Wir kommen nun auf die schon oben angedeutete Aufgabe zurück, die ternären Gruppen von Selling und Poincaré in die Gestalt von 2;'-Gruppen umzusetzen. Es ist dies für die besonders einfache Grestalt f„ = 9^* — «?»' — ^ der ternären Form vom Ver- * Man sehe ausser den sobon oben genannten Annalenarbeiten Biancbi*8 besugliofae Noten in den Atti dell' Aeoademia dei Linoei, zumal die erste Yom 20. April 1S90, **5iM gruppi di Hntituxioni lineari a eotßeienti interi eompUsH,** t Schon firflher wurden zu dieser Baumeinteilung von anderer Seite geführt Hur wits (in Bd. 11 der Acta math.) und Picard (siehe dessen Notiz in Bd. 88 der Q). 88 BOBERT FBICKE. fasser des vorliegenden Au&atzes* durchgeführt. Als bemerkens- werter Typus von ^-Substitutionen ergab sich hierbei : a + ba/q ^ c + da/q ^"" ^c + d^q ^ a-b-Jq ^^^' 2 ^•*" 2 wobei a, b, c, d rationale ganze Zahlen bedeuten und die Determinante der Substitution gleich 1 sein muss. Der Vorteil dieses Resultats war darin begründet, dass die gruppenbildende Eigenschaft der Substitutionscoefficienten unmittelbar evident war ; und ich habe dieserhalb den Tjrpus (5) von ^-Substitutionen in einigen weiteren üntersuchungenf zum Ausgangspunkt ge- macht. Der Selling'sche Ansatz lieferte solchergestalt ^-Substitutionen, welche mit Hilfe quadratischer Irrationcdüaten aufgebaut waren ; und es entsprang nun die Frage, wie man die hiermit gezogenen Grenzen überschreiten könne. Dabei ergab die Untersuchung der zu den «-Functionen : ^-^'il'l'l'') gehörenden Gruppen die Richtung an, welche dann später zur Au&tellung eines ziemlich allgemeinen Princips fUhrte, mit Hilfe von Zahlkörpem n^ Grades eigentlich discontinuirliche f-Qruppen aufzubauen^ An Stelle allgemeiner Angaben ist es vielleicht zweckmässig, durch Mitteilung eines besonderen Beispiels den Charakter der hier in Betracht kommenden Gruppen darzuthun. Durch die algebraische Gleichung : i»+i*-4j*-3j* + 3j + l=0 (6), wird ein reeller Zahlenkörper fünften Grades definiert, der in der Elreisteilimg elften Grades auftritt, und der übrigens ein soge- nannter Normalkörper oder Galois'scher Körper ist. Ganze * über eine beumdere Claue diseofUinuirlicher Gruppen reeÜer linearer Subeti^ tuHonen, Math. Annalen, Bd. 8S, pag. 50 (1890). t Über eine beiondere Clane diaeontinuirlieher Gruppen eet,, zweite Abhand- lung, Math. Annalen, Bd. 88, pag. 461 (1891), SpecUlle auUmorphe On^pen und fuadratiêche Formen, Math. Ann., Bd. 89, pag. 62 (1891). t Anthmetiiche Theorie der Dreieekifiinctionen (2, 8, 7) und (2, 4, 7), Math. Annalen, Bd. 41 (1892) ; Zur gruppeTUheoretiichen Grundlegung der automorphen Funetionm, Math. Annalen, Bd. 42 (1892). AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 89 Zahlen dieses Körpers bezeichnen wir allgemein durch A, B, G, D, und wir verstehen weiterhin im speciellen unter j die grösste positive Wurzel von (6). Dann bilde man alle Substitutionen : 2 2 2 ^■*" 2 der Determinante 1, bei denen die ganzen algebraischen Zahlen A, B, C, D den beiden Congruenzen genügen : AUe diese Substitutionen bilden eine Gruppe, und dabei ist es die Wirkungsweise der Congruenzen (8), dass sich der bei der Combination zweier Substitutionen zunächst einstellende Nenner 4 auf 2 zurückhebt. — Die vorliegende Gruppe lässt sich func- tionentheoretisch als diejenige der Function, r« = «(i.i.i»r; *) (9). definieren. Man kann demnach, wenn es Interesse hat, das ausgesprochene Resultat auch in die folgende Gestalt kleiden: Die lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung : d^ dy 1 y f 1 /31 1 \ ^ "1 ^ ,,^, habe yi und y, als Fundamentalsystem von Integralen, und man setze Ç(z) gleich dem Quotienten von y^ und y,. Hat man diese Integrale zweckmässig ausgewählt, so wird Ç(z) eine un- endlich vieldeutige analytische Function von z, deren sämtliche Zweige ^(z) sich in einem Ausgangszweige ^{z) gerade in der Gestalt (7) darstellen. Die bisher genannten Arbeiten waren von der gemeinsamen Tendenz beherrscht, mit arithmetischen Hilfsmitteln in der Theorie der automorphen Functionen Boden zu gewinnen. Zum Schluss sollen wenigstens noch kurz einige Untersuchungen namhaft gemacht werden, welche das Umgekehrte zum Ziele haben, nämlich die geometrisch-gruppentheoretischen Principien der Theorie der automorphen Functionen auf überkommene Elntwicklungen und Fragestellungen der Zahlentheorie in An- wendung zu bringen. Diese letzteren betreffen die arithmetische 90 ROBERT FRICKE. Theorie der binären quadratischen Formen, welche ja schon oben wiederholt berührt wurde. Die Anwendung der Modulgruppe auf die Theorie der ge- wöhnlichen ganzzahligen binären quadratischen Formen wurde dem elementaren Teile nach durch Dedekind* und Stephen Smith-f" geleistet, und zwar kommen bei ersterem die deiiniten, bei letzterem die indefiniten Formen zur Geltung. Über beides ist im ersten Bande der Vorlesungen über Modul fiinctionen pag. 243 ff. berichtet. Eine Reihe tiefer gehender Untersuchungen, welche insbesondere das Problem der Classenanzahlbestimmung bei gegebener Determinante betreffen, wurden mit den geo- metrisch-gruppentheoretischen Hilfsmitteln der Modulfunctionen zum ersten Male im zweiten Bande der genannten Vorlesungen durchgeführt^. Es stehen diese Entwicklungen in engster Beziehung zur Transformation höherer Ordnung der elliptischen Functionen, und sie finden, soweit die definiten Formen in Frage kommen, ihr analytisches Gegenbild und ihre weitere Ausführung in der bekannten Theorie der singulären Moduln und der Classen- Zahlrelationen, über welche hier indessen nicht weiter berichtet werden kann§. Dieses bei der Modulgruppe angetroffene Sachverhältnis überträgt sich nun in allen wesentlichen Punkten überhaupt auf jede eigentlich discontinuirliche Polygongruppe. Für jede solche Oruppe können wir eine arithmetische Theorie gewisser zugehöriger binärer quadratischer Formen aufstellen^ wobei sich die Probleme der Aequivalenz, der Reduction, der Classenanzahlen ect. gerade in derselben Weise erledigen lassen, wie im Falle der Modul- gruppe und der gewöhnlichea ganzzahligen quadratischen For- men ||. Die zu einer Gruppe gehörenden Formen wird man aber aus deren Substitutionen einfach in der Gestalt : 7^ + (S-a)^-/3y» (11), gewinnen können. Doch muss der Vollständigkeit halber * Man sehe den Brief Dedekind's an Borchardt über die Theorie der eUip- tisohen Modolfunctionen in Bd. S3 von Crelle's Journal (1877). t In der oben (pag. 88) genannten Arbeit *^Sur Ui équationê modulairei,** t Man sehe z. B. pag. 161 ff. pag. 170 ff. sowie namentlich pag. 189. § Die Literatur dieser Gegenstände, welche sich in erster Linie aus Arbeiten Yon Kronecker, Gierster und Hurwitz zusammensetzt, findet man des näheren im zweiten Bande der Modulfunctionen nachgewiesen. II Für die '*Selling'schen'* Gruppen ist dies durch den Verfasser in Bd. 89 der Annalen pag. 73 ff. zur näheren Durchführung gebracht. AUTOMORPHE FUNCTIONEN UND ARITHMETIK. 91 gesagt werden, dass der Ansatz (11) nach Seite der definiten Formen noch zu eng ist ; es ist im Einzelfall in der Regel nicht schwer, die in (11) vorliegende specifische Bauart der CoefB- cienten in richtiger Allgemeinheit aufzufassen*. Zu besonders klaren Verhältnissen wird man bei den oben besprochenen Gruppen mit ganzen algebraischen Coefficienten gefUhrt. Auch die Polyedergruppen sind einer analogen Anwendung auf die Zahlentheorie fähig; es kommt hier die arithmetische Theorie der zuerst von Hermitef betrachteten quadratischen Formen, aa^ + bxy + häey-^oyy (12), in Betracht, wobei a und c reell, b und b, x und x, y und y aber conjugiert complex sein sollen. Es seien bei dieser Gelegenheit auch noch die mannigfachen Arbeiten Picard's^ über derartige Formen mit conjugiert complexen Coefficienten bez. Yariabelen erwähnt. Es ist besonders interessant, dass Picard bei der Behandlung der binären Formen (12) genau mit den Sellingschen Gesichtspunkten arbeitet, und dass er daher von dieser Seite aus bei den indefiniten Formen zu Gruppen gelangt, welche nichts anderes als besondere Beispiele der oben ausführlich betrachteten Selling^schen Gruppen sind. Zu grosser Eleganz konnte dann späterhin Bianchi diese Theorie der Hermite'schen Formen dadurch ausbilden, dass er sie auf die oben (pag. 87) besprochene Pentaederteilung des f-Halbraums basierte§. Die einzelne in- definite Form (12) wurde dabei geometrisch durch eine die ([^Ebene orthogonal treffende Halbkugel repräsentiert, und der Schnitt dieser Halbkugel mit der Polyederteilung ergab direct, wie wir sagen können, die " PelUsche Theorie " der einzelnen Form (12). Entsprechende Betrachtungen fUr andere Polyedergruppen hat Bianchi in seinen späteren Arbeiten durchgeführt. GÖTTINOBN, den 20. Juli 1893. * Übrigens bat dieaen Weg, die Tbeorie der gewöbnlichen ganzzabligen quadra- tiaeheo Formen auf Formen mit irrationalen oder complexen Coefficienten auszu- ddbnen, wobl zuerst Dirichlet beschritten; siehe dessen Abhandlung ** Recherche* sur lee formée quadratique* h coeßeienti et à indéterminêee complexes^** CreUe's Journal, Bd. 94. t Siehe die schon oben genannten Arbeiten in Bd. 47 des Gielle'sohen Journals. t Siehe z. B. die Comptes rendus Bd. 96, pag. 1667 und 1779, und Bd. 97, pi«. 745 und 845. i Siehe Bd. 88 der Mathem. Annalen, pag. 829 ff. SOME SALIENT POINTS IN THE HISTORY OF NON-EUCLIDEAN AND HYPER-SPACES. BY GEORGE BRUCE HALSTED of AUSTIN. In 1793, just a century ago this very year, there was bom in Russia one destined to take rank with the few foremost minds of all time. This hero of pure science, Lobatchefifsky, is inseparably connected with an advance so fundamental as cM^tually to change the cM^cepted conception of the universe. His &ther, an architect, died in 1797, leaving his wife and two young sons in straitened circumstances. Lobatcheffsky s mother, soon after her husband's death, settled at Kasan, where she succeeded in getting her boys admitted as free pupils to the gymnasium. The gymnasium course was then four years. In February, 1807, Lobatcheffsky passed his entrance exami- nation and was admitted to the University as a free student. Soon the Inspector attests his preeminence above his fellows in all the sciences. But his disobedience and contempt for orders often drew down upon him the displeasure of the rulers in the University. He was a born leader in thought, not to be overawed by authority. In fact Lobatcheffsky was threatened with exclusion from the University, and it was only the protection of the Professor of Mathematics which enabled him to complete his course. Toward this man Lobatcheffsky showed throughout life feelings of the highest esteem and gratitude. In 1810 Lobatcheffsky took his Bachelor's degree, and shortly after was admitted to the grade of licentiate. The licentiates were then the assistants of the professors. During the sickness or absence of the professors they carried on the coursea They also aided the professors in the matter of the students* practical exercises, and explained to the students dif&culties met with in the professors' lectures. But their highest duty was to perfect themselves in their chosen sciences. NON-EÜCLIDEAN AND HYPER-SPACES. 93 The relation of a licentiate to his professor was a very intimate one. In 1814 Lobatche£bky himself became professor. At present the world has no account of his mental development in elaborating his extraordinary discovery up to the reading in 1826 of a dÎBcourse in which it appears already complete. In 1829 he published in the 'Kasan Messenger' a paper in Russian, entitled "On the Principles of Geometry," and this was the first printed exposition of the new doctrine now recognized as the most impor- tant and fundamental development of mathematics in our century. Though this first publication attracted at the time no attention whatever, yet the author had the perception given to genius of the importance of its own work, and beginning with 1835 he published in Russian an extended treatise under the title " New Principles of Geometry with the Theory of Parallels." This is his great work. It is preceded by a careful critique of the so-called demonstrations of the Postulatum of Euclid and is wholly syn- thetic. Transcendeotly important and interesting as is this great treatise, no part of it has ever yet appeared in any language but Russian. It is therefore wholly inaccessible to the rest of Europe and America. I may mention that I intend soon to issue an English translation of this great monument of genius, encouraged to complete the undertaking by the exceptional success of my translation of his later and smaller work, " Geometrical Researches on the Theory of Parallels," which translation has passed through four editions and been reprinted in Japan at the Imperial Uni- vereity of Tokio. Lobatcheffsky had now fairly presented his results to his countrymen, but the only notice they gave was to ridicule him. Among these ironical contemporary authorities Ostrogradsky is particularly mentioned. Without blaming his countrymen, with- out the slightest bitterness, our hero turned his hopes and endeavours toward a foreign audience. In 1837 he published a paper in French in Grelléa Journal, and in 1840 a little book in German in Berlin. Finally he became blind, but lost none of his unconquerable hope and heroism. Though blind, he dictated a completely new exposition of his whole system and published it in 1855 in French and in Russian under the title ' Pangeometry,' which title Felix Klein now 94 GEORGE BRUCE HALSTED. recommends as the best and most suggestive for the whole wide subject. But all efforts to enlighten the world seemed vain. Lobat- cheffsky died in February 1856 without having produced the least visible result on the world of thought by his extraordinary achievements and lifelong endeavour to make them known. The Russian editors of the great edition of his works issued by the University of Kasan 1886 say : "For the contemporaries of Lobatcheffsky his theory was incomprehensible and appeared to contradict an axiom« of which the inevitability is indeed only founded on a prejudice, but on a prejudice consecrated by thousands of years. The force of the conviction of the necessity of this axiom was so great that Gauss himself expressed his assent to the views of Lobatcheffsky only in a private correspondence." Gauss expressed himself as fearing to publish anything on this subject because he dreaded " the outcry of the Boeotians." I think this a lasting reproach to Gauss's character as a man and a scientist, and another link in the chain of evidence that Gauss's ideas on this subject were not fundamentally his own but were due to his old friend of his student period, the Hungarian, Wolfgang Bolyai. But a word of exposition before taking up the Bolyai's. Whatever elementary geometry it was your fortune to study, be assured it was only a more or less exact reproduction of that imperishable model, already in dim antiquity a classic, regarded bb absolutely perfect, valid without restriction, the immortal Elements of Euclid. And this very acceptance of the infallible necessity of Euclid's system may account for the form in which appeared the first precursor of our non-Euclidean systems. - A priest, Saccheri, who died October 5, 1733, published in the year of his death at Milan a book which contains an extended and systematic statement of propositions in Lobatcheffsky's non- Euclidean geometry with their synthetic proof in pure geometric style. Saccheri's book bears the approbation of the Provincial of the Company of Jesus, dated August 16, 1733, and that of the Inquisitor-General and Senate of Milan, July 8, 1733. NON-EUCLIDEAN AND HYPER-SPACES. 9& We quote a few of its propositions. I. In a quadrilateral ÄBCD, right-angled at Ä and at B and with opposite sides AC, BD equal, the angles at C and D are equal. We have then three distinct geometries, according as we take the hypothesis that the angle C is right, is obtuse, is acute. If two straights having crossed never recur,. then these geo- metries are reduced to two, the right Euclid's, and the acute, now called LobatchefFsky's. VIII. — XVI. According as the sum of the three angles of a triangle is equal to, greater than, or less than a straight angle, we have the hypothesis of the right, obtuse, or acute. XVn. In the hypothesis of the acute angle, we can find a per- pendicular and an oblique to the same straight which never meet. [Two procedures given.] Methods for testing which geometry rules the space of our experience. 1. Try if in our original quadrilateral any third perpendicular equals the two equal sides. 2. Try if the angle inscribed in a semicircle is right. 3. Try to inscribe in a semi-circumference a half-hexagon with sides equal to the radius. A historical discussion is given pai*ticularly of Proclus, Borelli, Nassareddin and Wallis. Wallis to prove Euclid's parallel postulate would not have needed two unequal similar figures. Two unequal triangles of the same angle-sum would suffice. This work was noticed in the Acta Eruditorum, 1736. It is marked with an asterisk in the Biblotheca Mathematica of Murhard and spoken of on p. 43 of Vol IV. It has lately been discovered that Lambert developed and wrote upon the non-Euclidean Geometry. Philip Eelland in 1846 began to give exercises to his classes which were virtually propositions in the non-Euclidean geometry, and continued to teach it for more than 17 years. Without any knowledge of his many predecessors. Young of Canada rediscovered and published the non-Euclidean geometry in 1860. Thus we see it arise in Italy, Russia, Hungary, Germany,. Scotland, Canada. All paths lead to it. DIE NEUEREN FORTSCHRITTE IN DER THEORIE DER LINEAREN DIFFERENTIAL- GLEICHUNGEN. t VON L. HEFFTER in GIESSEN. Die moderne Theorie der linearen Differentialgleichungen ver- dankt ihren Ursprung den beiden Abhandlungen von Fuchs im 66. und 68. Band von Grelles Journal. Die formale Eleganz ihrer Entwicklungen und Resultate und das dadurch ermöglichte tiefere Eindringen in die Natur der durch solche Differential- gleichungen definierten Functionen dürften den Grund bilden, der seitdem zahlreiche Mathematiker aller Länder zur eifrigen Arbeit an der weiteren Aus- und Fortbildung dieser Theorie veranlasst hat. Die so entstandene Literatur ist eine derartig umfangreiche und mannigfaltige, dass, wenn es hier auch nur den Anteil Deutschlands an dieser Arbeit in den letzten Jahren zu skizzieren gilt, das folgende Referat bei der vorgeschriebenen Kürze weder in Hinsicht der Aufzählung aller in Frage kommenden Richtungen und ihrer Vertreter, noch auch in der Charakterisierung der einzelnen Probleme und dabei angewandten Methoden auf er- schöpfende Vollständigkeit Anspruch erheben kann und will Es muss sich vielmehr eine gedrängte XJbersicht über die neueren Bestrebungen auf dem Gebiete der linearen Differentialglei- chungen zum Ziel setzen. Zeitlich dürfen wir uns dabei auf die Ergebnisse der aller- letzten Jahre beschränken, da im Jahre 1889 viele fUr die Theorie der linearen Differentialgleichungen grundlegende Abhandlungen nebst zahlreichen auf Spezialfälle gerichteten Untersuchungen in dem Lehrbuch von Th. Craig, A treatise on linear differential equations, Vol. I.: Equations with uniform coefficients, ihrem Hauptinhalt nach zusammengefasst wurden und damit als in weiteren Kreisen bekannt vorausgesetzt werden können. DIE LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 97 Bezeichnen wir als die ursprüngliche, grandlegende allgemeine Theorie die der linearen homogenen Differentialgleichungen mit eindeutigen Coefficienten, so lässt sich das gesamte Wachstum, welches auf diesem gemeinsamen Stamm in dem gedachten Zeitraum entsprosst ist, etwa in die Gruppen sondern : Autbildung der vrepnhnglichen allgemeinen Theorie, — Behandlung spezieller Probleme, — Anwendungen der Theorie, — Ausdehnung der Ursprung- liehen allgemeinen Theorie. Als für DIE Ausbilduno der allgkmeinen Theorie beson- ders verdienstvoll müssen bei der Wichtigkeit der Fundamental- gleichung für die Untersuchung der Integrale bei den singulären Stellen und ihrer Unentbehrlichkeit, felis sich nicht sämtliche In- tegrale bestimmt verhalten, Methoden bezeichnet werden, die eine Berechnung der von den Parametern der Differentialgleichung transcendent abhängigen Coefficienten der Fundamentalgleichung gestatten unter Vermeidung des praktisch umständlichen Ereis- fortsetzungsverfehrens. Dies Ziel verfolgen Arbeiten von Ham- burger und insbesondere des der Wissenschaft allzu früh entris- senen Paul Günther, der solche Methoden durch Benutzung der von Fuchs herrührenden Darstellungsart der Integrale linearer Differentialgleichungen durch iterierte Integration fand« Auf einem ganz anderen Wege gelangte Fuchs selbst zu einem neuen Aufschluss über die Coefficienten der FvmdamentaU euhstitutionen, aus denen ja die Fundamentalgleichung entsteht. In einer älteren Arbeit hatte er Relationen für die zwischen je zwei singulären Punkten erstreckten Integrale der Lösungen linearer Differentialgleichungen abgeleitet, welche eine Verall- gemeinerung der Legendre 'sehen Gleichung zwischen den Perio- dicitätsmoduln der Integrale erster und zweiter Gattung dar- stellen. Mit dieser Untersuchung wird nun eine erfolgreiche Anwendung des schon von Riemann herrührenden Begriffs der Klasse von linearen Differentialgleichungen verknüpft, eines Be- griffs, der in gewissem Sinne eine Übertragung des Eronecker'- schen Gattungsbegriffs algebraischer Functionen auf die Integrale linearer Differentialgleichungen bildet. Da nämlich die eine Seite jener Relationen nur von den Coefficienten der Funda- m^italsubstitutionen abhängt, diese aber fUr die Differential- gleichungen derselben Klasse invariant sind, ergiebt sich zunächst» dasB man an Stelle der vorgelegten Differentialgleichung eine c. P. 7 9S L, HEFFTER. andere derselben Klasse setzen kann, für welche gewisse bei jener eventuell noch nicht bestehende Bedingungen erfUUt sind, die die Au&tellung jener Relationen gestatten. Die letzteren lehren aber weiter, dass die Coefficienten der Fundamentalsubstitutionen algebraisch von den Parametern der Differentialgleichung und jenen bestimmten Integralen abhängen, die man wohl "die zu der Differentialgleichung gehörigen Periodicitätsmoduln" nen- nen könnte, wie man von den zu einer algebraischen Gleichung oder Irrationalität gehörigen Periodicitätsmoduln spricht. Den hier berührten Analogieen mit der Theorie der alge- braischen Gleichungen reiht sich insbesondere der von Frobenius begründete und neuerdings vielfach benutzte Begriff der Eedukti- bilität einer linearen Differentialgleichung an, der einer solchen zukommt, wenn sie mit einer anderen von niedrigerer Ordnung und gleicher CoeflScientenbeschaffenheit Integrale gemein hat. Es sind hier die Namen Fuchs, Königsberger, Hamburger zu nennen, welch letzterer einen wichtigen Satz von Frobenius auf direktem Wege bewies und gleichzeitig die Differential- gleichimgen niedrigerer Ordnung herstellte, mit welchen die re- duktible Integrale gemein hat. Für die Darstellung der Integrale sind bekanntlich die von Poincaré so bezeichneten Fuchs'schsn Functionen von erheblicher Bedeutung. Als eine Bereicherung der allgemeinen Theorie der linearen Differentialgleichungen ist daher auch eine von Lu. Schlesinger auf von den sonst gegebenen verschiedener Grund- lage entwickelte Theorie jener Fimctionen zu bezeichnen. Eine Reihe von Untersuchungen bezieht sich auf die Form der Integrale hei den singulären Stellen, insbesondere bei denen, wo sich sämtliche Integrale bestimmt verhalten, und stellt die Bedin- gungen dafür auf, dass einzelne oder alle der im Allgemeinen vorhandenen Logarithmen ausfallen. Diese Frage hängt aufe Innigste mit der Zerlegung der Integralgruppen in Untergruppen zusammen. Den früheren Behandlimgen dieses Gegenstandes (Fuchs, Frobenius, Thome u. a.) folgen die neueren von Heun und Heffter. Weiter ist hier neben der firanzösischerseits vielfach gepfleg- ten Theorie der Differentialinvarianten der linearen Differen- tialgleichungen (Dietrichkeit, Stäckel) eine Behandlung dieser Differentialgleichungen zu nennen, welche durch die von F. Klein DIE LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 99 angeregte Einführung homogener Variabdn für die unabhängige Veränderliche die Integrale als binäre Formen im Sinne der Invariantentheorie der linearen Transformationen auffasst (Pick, Hirsch, Schellenberg). Gleichzeitig sei der mit geometrischen Hül/smitteln arbeitenden eleganten Methoden (Ereisbogendreiecke u. s. w.) von F. Klein gedacht. Endlich sei erwähnt, dass die namentlich in Ekigland beliebten symbolischen Methoden neuerdings auch eine deutsche Behandlung und strenge Begründung erfahren haben (Tschopp) neben älteren Arbeiten von Frobenius, Thome, Qrünfeld. Unter den speziellen Problemen, welche die Theorie der line- Bren Differentialgleichungen in Angriff nahm, figuriert schon frühzeitig die von Fuchs zuerst unter Benutzung gewisser Primformen behandelte Frage nach Kriterien dafür, dass die Integrale algebraisch sind. Diese Untersuchung hat kürzlich durch Lu. Schlesinger eine Ausdehnung auf solche Differential- gleichungen zweiter Ordnung gefunden, die eine discontinuierliche Gruppe besitzen, wobei namentlich eine interessante Übertragung der Theorie jener Primformen möglich war. Die Analogie mit den algebraisch integrierbaren Differentialgleichungen tritt be- sonders deutlich bei denjenigen Differentialgleichungen mit dis- continuierlicher Gruppe hervor, bei welchen die unabhängige Variable als Function des Integralquotienten aufgefasst von endlicher Vieldeutigheit ist Verwandt mit dem vorerwähnten Ausgangsproblem ist das- jenige, welches nach der Natur der Integrale fragt, wenn die Elemente eines Fv/ndamentalsystems homogene Relationen er- füllen, indem hieraus im Allgemeinen die algebraische Inte- grierbarkeit folgte, während umgekehrt bei algebraisch inte- grierbaren Differentialgleichungen stets solche Relationen be- stehen. An ältere Arbeiten des auch hier vorangehenden Fuchs, der denselben kürzlich noch eine neue Methode hinzufügte, schliessen sich Untersuchungen von Lu. Schlesinger, Rosen- kranz, Wallenberg, LL Schlesinger. Eine grosse Rolle spielt dieses Problem und noch allgemeinere in den Forschungen von Königsberger. S. Lie führte die Frage auf die Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung zurück, die eine bekannte Transformationsgruppe gestattet. Für eine grosse Zahl von Spezialuntersuchungen war Vorbild 7—2 100 L. HEFFTEB. die Differentialgleichung der Oauss'schen Meüie, der ja mannig- fache ausgezeichnete Eigenschaften zukommen, und deren Bedeu- tung sich schon dadurch charakterisiert, dass die Riemann'sche Abhandlung über die ihr genügenden Functionen seinerzeit für Fuchs die Anregung zur Entwicklung seiner Theorie gab. Man suchte Eigenschaften dieser Differentialgleichung wiederzufinden, indem man zu Verallgemeinerungen schritt, teils die Ordnung der Differentialgleichung, teils die Zahl der singulären Punkte erhöhte (letztere auch erniedrigte) oder beides zugleich that oder indem man auf die Forderung verzichtete, dass sich die Integrale allent- halben bestimmt verhalten. Solche Differentialgleichungen fUhrten Pochhammer zu den hypergeometrischen Reihen von höherer Ordnung, welche mehr Parameter enthalten als die Qauss'sche. Es bleibt bei diesen Differentialgleichungen die Eigenschaft bestehen, dass aus einem Integral in Reihenform die sämtlichen andern solchen durch einfache Veränderung der Parameter hervor- gehen und dass den Lösungen auch die Form bestimmter Integrale gegeben werden kann. Die letztere Gestalt erhält durch die Wahl des Integrationsweges noch eine besondere Bedeutung. — Femer sind hier zu nennen Arbeiten von Heun, Schafheitlin, Schrent- zel, Heffter, u. a. Unmittelbar an die Differentialgleichung der Qauss'schen Reihe selbst knüpft eine Untersuchung von F. Klein an, welche nach den reellen NvllsteUen der hypergeometrischen Reihe fragte eine Fragestellung, die abgesehen von den interessanten geometri- schen Hülfsmitteln, deren sich die Lösung bedient, auch für die angewandte Wissenschaft von Bedeutung ist. Das gleiche Pro- blem erfuhr eine andere Behandlung durch Hurwitz, während ganz neuerdings Eneser dasselbe ftlr ganze Klassen von linearen Differentialgleichungen durchftlhrte. Endlich sei noch auf die Differentialgleichungen mit doppelt- periodischen Coefficienten hingewiesen und auf die an die grosse Literatur über Lamë'sche und ähnliche Differentialgleichungen sich anreihenden neueren Arbeiten von F. Klein, Siemon» Bremer, Bôcher, bei welchem letzteren das von F. Klein so bezeichnete Oscillationstheorem eine fruchtbare Verwendung für die Untersuchung der Lamé'schen Differentialgleichung findet. Die Theorie der linearen Differentialgleichungen hat ihre Fruchtbarkeit aber nicht nur durch schöne Resultate innerhalb- DIE LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 101 ihrer eigenen Grenzen erhärtet sondern auch dadurch, dass sie zu mannigfachen Anwendungen in anderen Disciplinen geeignet war. So konnte Gundelfinger die Lehre von den Ûberschidnmgen suMfier binaren Formen auf ganz elementare Betrachtungen aus unserer Theorie stützen, eine Methode, die noch weiterer Ausbeu- tung &hig sein dürfte. Die Differentialgleichung, an die jene Untersuchung anknüpft, besitzt dabei die Eigenschaft, dass ihre Integrale sich überall bestimmt verhalten, und andere bemerkens- werte Eigentümlichkeiten. Auch die ünterewckung cUgebraiacher Functionen, die voll- ständige Darstellung ihrer Zweige in der Umgebung der Verzwei- gnngspunkte, die Fortsetzungsweise der Zweige und die Bestim- mung des Geschlechts ist nach Thome mit Hülfe einer aus der algebraischenGleichungherstellbaren linearen Differentialgleichung möglich, deren Ordnung mit der Anzahl der linear unabhängigen Zweige der algebraischen Function übereinstimmt. Das eigentliche Gebiet für die Anwendungen der Theorie ist jedoch naturgemäss dasjenige der transcendenten Functionen. Wir nennen hier zuerst das von Fuchs angeregte und früher behandelte Problem, welches eine Verallgemeinerung des Problems der Aberschen Functionen darstellt, nämlich die Untersuchung derjenigen Functionen, die durch Umkehrung der Integrale von Lösungen linearer IHfferentialgleickwngen entstehen, und haben als neueren Bearbeiter desselben R. Lohnstein zu erwähnen. Im Anschluss an das soeben berührte Problem ist einer Abhandlung von Burkhardt zu gedenken. Gestützt auf die Eigenschaft der Periodicitätsmoduln von Abel'schen Integralen erster Gattung, einer linearen homogenen Differentialgleichung zu genügen, gelangt derselbe bei den einfachsten Fällen binomischer Integrale zu dem Resultat, dass die zugehörigen Thetareihen -analytische Ausdrücke für gewisse Formen liefern, die von -Halphen aus den an Stelle der unabhängigen Yariabeln der Differentialgleichung eingeführten homogenen Veränderlichen gebildet wurden. Wenn wir sodann an dieser Stelle um der Anwendungen willen, zu denen dieselben schliesslich fUhren, einer Reihe unter einander zusammenhängender Arbeiten von Fuchs gedenken, so ist jedoch von vornherein zu bemerken, dass die Bedeutung derselben in Hinsicht der Resultate und der benutzten Hülfs* 102 L. HEEFTEB mittel weit liber jene speziellen Anwendungen hinausreicht. Dieser Hülfiamittel sind im Wesentlichen drei : die Lehre von der Beduktibilitat, der Begriff von Differentialgleichungen, die in dieselbe Klasse gehören, und die Eigenschaften linearer Differen- tialgleichungen, deren Coefficienten von einem Parameter abhän- gen, während die Fundamentalsubstitutionen oder die Gruppe von diesem unabhängig sind. Das Hauptergebnis aber des allgemeinen Teils der Untersuchung kann man etwa folgender- massen aussprechen: Wenn die CoeßcierUen einer linearen Diffe- rentialgleichung von gerader Ordntmgszahl von einem Parameter ahhängeny die Fundamentalsuhstitutionen aber von diesem unabhän- gig sind, so wird eine Differentialgleichungy der gewisse aus den Elementen eines Fundamentalsystems v/nd ihren Ableitungen gebil- dete Determinanten genügen, reduktibel. Die Anwendung dieses Satzes auf die von Fuchs schon früher aufgestellten Differential- gleichungen für die Periodicitätsmoduln der hyperelliptischen Integrale als Functionen eines Parameters ergiebt als unmittelbare Folge jener Beduktibilität die zwischen den Periodicitätsmoduln bestehenden Belalionen, Diese fiiessen also hier aus der Theorie der linearen Differentialgleichungen, während sie zuerst Weier- strass aus dem Satz von der Vertauschung von Parameter und Argument abgeleitet hatte. Weiter stellt sich hier in der Theorie der hyperelliptischen Integrale vom Rang 2 ein höchst interessantes Analogen zu der bekannten functionalen Beziehung zwischen dem Modul te und dem Quotienten der Periodicitätsmoduln der elliptischen Integrale erster Qattung heraus. Man gelangt zur Betrachtung einer functionalen Beziehung zwischen drei unbestimmt bleibenden Nullstellen des Radicanden der h3rperelliptischen Irrationalität einerseits und drei Determinanten-Quotienten andererseits, welche aus Fundamentalsystemen der beiden derselben Klasse ange- hörigen Differentialgleichungen gebildet sind, denen die Periodici- tätsmoduln der zwei verschiedenen Integrale erster Gattung genügen. Die Untersuchung der drei letzteren Variabein ab Functionen der unbeschränkten ersteren ergiebt eine Begrenzung des Wertvorrates, welche derjenigen in dem Vorbild, dass der Periodenquotient mit seinen Werten nur die eine Halbebene anfüllt, entspricht. Die inveraen Functionen eonstieren also nur innerhalb des so begrenzten Bereichs, erweisen sich aber daselbst als EINDEUTIQB Functionen ihrer drei Variabein, DIE LINEAREN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 103 Aus der Art jener Wertbeschränkung der drei Quotienten ergiebt sich noch, dass der reale Teil der in den Exponenten der ^-Reihe mit zwei Yariabeln auftretenden quadratischen Form eine deftnüe Form mit negativem Wert ist. Wiederum also eine sehr bemerkenswerte Anwendung der Theorie der linearen Diflferential- gleichungen. Eine weitere Arbeit von Fuchs, welche sich an die vorstehend erwähnten noch anreiht, mag uns zu dem letzten Teile dieses Beferates, zu den Ausdehnungen der ursprünglichen Theorie hinüberfuhren. Es hatte sich gezeigt, dass die oben berührte Eigenschaft gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen, deren Coefficienten von einem Parameter abhängen, während die Funda- mentalsubstitutionen von diesem imabhängig sind, mit der Be- friedigung gewisser partieller linearer Differentialgleichungen durch die Integrale der ersteren zusammenfallt. Dies gab die Anregung zu dem Problem, umgekehrt solche Systeme partieller linearer homogener Differentialgleichungen zu kennzeichnen, deren Untersuchung auf diejenige gewöhnlicher linearer Differential- gleichungen zurückgeführt werden kann. Dies gelingt für gewisse partielle Differentialgleichungen, deren Coefficienten eindeutige Functionen einer Reihe von unabhängigen Veränderlichen und einer zweiten mit jener algebraisch verknüpften Reihe von Veränderlichen sind. Hierzu war es nötig, den Begriff der Klasse von Differentialgleichungen und den Satz von der Unab- hängigkeit der Gruppe der Differentialgleichung von einem in den Coefficienten enthaltenen Parameter auf gewöhnliche Differential- gleichungen auszudehnen, deren Coefficienten eindeutige Functio- nen zweier algebraisch mit einander verknüpften Reihen von Variabein sind ; eine von diesen Veränderlichen spielt die Rolle der unabhängigen Variabein der Differentialgleichung, alle anderen derselben Reihe die von Parametern. — Die partiellen Differential- gleichungen, welche eine derartige Behandlung gestatten, erhalten noch ein besonderes Interesse dadurch,, dass zu ihnen als Spezial- fälle Differentialgleichungen gehören, auf welche Appell und Picard bei Verallgemeinerung der Qauss'schen Reihe auf zwei Variabeln geführt wurden, und die auch von Horn untersucht worden sind. Dem zuletzt genannten Autor gebührt nämlich das Verdienst, neben der 'Übertragimg der Fuchs'schen Theorie auf Systeme 104 L. HBFFTEB. gewohnlicher linearer DifferentiaZgleiehungen (Königsberger^ Grünfeld) dieselbe auf partielle lineare Differentiaigleichtmgen aui^edehnt zu haben. Es liegt in der Natur der Sache, dass hierbei die Feststellung der Singularitäten und des VerhaltenB der Integrale daselbst die Hauptschwierigkeit bietet. Unter den Ausdehnungen der Theorie erwähnen wir schliess- lich noch die spedMere ünterewdkung nickt homogener linearer Differentialgleichungen, wie sie unter verschiedenen Gesichts- punkten von Königsberger, Köhler, Thome, Heymann ange- stellt worden ist. Das vorliegende Referat soll nicht geschlossen werden, ohne auf die bisher nur flüchtig gestreifte Theorie der Transformations- gruppen von S. Lie und seiner Schüler und ihre Anwendung in der Theorie der Differentialgleichungen im Allgemeinen und der linearen im Besonderen wenigstens hingewiesen zu haben. Die Fruchtbarkeit derselben für die hier in Rede stehende Theorie tritt namentlich in einer neueren französischen Arbeit von Vessiot zu Tage. GiESSBN, den 18. Juni 189a SUR QUELQUES PROPOSITIONS FONDAMEN- TALES DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. PAR CH. HERMITE i PARIS. SoiT en général, R{a)^Aa^'\'Ba^ + Ca^'\'Dx-k-E, et f = ^(a:), la fonction définie par l'égalité, où je laisse la limite inférieure entièrement arbitraire. Je me propose de montrer comment on peut obtenir le théorème de l'addition des arguments dans cette fonction, sous une forme simple, où n'apparaissent pas explicitement les coefficients du polynôme R{x\ et qui conduit aisément aux formules concernant snor, eux, dn â; et /> (â;). En désignant par a une constante quelconque, je pose a = ^ (a), et je considère l'expression, y = log(f-a), que je diffërentie deux fois par rapport à x. Il vient ainsi : d'y (f-a)iZ-(f)-2ig(g) da? 2(f-a)» et l'on aurait pareillement dhf {tt-Ç)R{a)-iR{a) da* 2(f-a)' Retranchons membre à membre, on obtient dfy «fy (f-«)[jr(f) + J?-(«)]-2[ü(f)-R(a)] da? da* 2(^-0)« 106 CH. HEBMITE. d'où après une réduction facile l'équation suivante, dont je vais écrire l'intégrale. Soit à cet effet, on aura cette expression, où /(x) et /i (x) sont deux fonctions arbitraires : Différentions maintenant par rapport à â; et par rapport à a ; en posant pour simplifier l'écriture, /'(x)^F(x), A'(x) = F,{œ), on parvient à ces relations : = ^(ir-a)-Fi(a: + a)-i^(a). ^(a?)-<^(a) Elles montrent eu permutant x et a, que la fonction F(œ) change de signe avec la variable, et de là découle une conséquence im- portante« Soit pour abréger, ^ 4^(a?)-4^(a) on forme aisément l'égalité 4>(a? + y.a)-4>(a?-y,a) = ^(aî + y-a)-jP(Aî-y-a) + J\(a?-y + a)-jF\(a: + y + a), dont le second membre se trouve d'après cette remarque symé- trique en a: et a ; il en résulte que nous pouvons écrire : 4)(a: + y,a)-4>(a?-y,a) = 4)(a + y,a?)-*(a-y,a?). Changeons maintenant dans la relation, a en a + y, puis en a — y, et ajoutons membre à membre, on trouve ainsi: FONCTIONS ELLIPTIQUES. 107 + F(ar + y-a)-Fi(a?-y + a) Nous aurons encore en remplaçant x successivement par x-^y et X — y, et ajoutant : ^(a? + y,a) + *(a?-y,a) = ^(â: + y-a)-/\(a; + y + a) + ^(a?-y-a)-jF\(a?-y + a) -2^ (a). Ces deux ^[alités conduisent à une troisième où n'entrent plus les fonctions ^ et Fi, à savoir : ^(a? + y,a) + 4>(a?-y,a) = 4>(ar,a + y) + 4>(a?,a-y) + ^(a + y) + '^(a-y) -2t(a). Cest un théorème sur l'addition des arguments dans l'intégrale de seconde espèce qui est représentée par la fonction -^ (y). Éli- minons cette quantité, en supposant x — a, et retranchant les deux égalités membre à membre, nous obtenons ainsi *(a? + y,a) + 4>(Är-y,a) = 4>(a?,a + y) + 4>(a7,a-y) + *(a + y,a) + 4>(a-y,a) Ayant donc déjà l'expression de la différence *(a? + y,a)-*(a?-y, a), nous en concluons la relation que nous nous sommes proposé d'établir, à savoir: 2*(a? + y, a) = (a?, a-y) + 4>(a + y, a?) - 4>(a-y, a?) + *(a + y, a) + 4>(a-y, a) et sous une forme entièrement explicite, i4>'(a) ^ f (a + y) + f (g) ^ f (a-y) + f (a) ^(a: + y)-^(a) ^{a-\-y)-iil>{a) ^(P"'y)-^{a) _ ^'{a-^y)-^'{x) _ f(a~y )-»^(fl?) ^(a4-y)-<^(ar) *(a-y)-^(Ä?) ' Cest l'expression nouvelle que j'ai annoncée du théorème 108 CH. HERMITS. pour Taddition des arguments dans la fonction {x) qui est rinverse de l'intégrale elliptique la plus générale; j'en ferai en premier lieu l'application aux quantités sn X, en X, dn x. Remarquons à cet effet qu'en admettant la condition et prenant a = 0, les deux premiers termes se détruisent, il vient donc 4>'{^)-4>'{y) On a encore la formule suivante, 2f (0) - n . »( x) + »(y) . ^(^) + »(y) mais sans m'y arrêter, je vais supposer successivement ^ , . sn a? sn a? 9 ix) = sn X, , j — , ^^ ^ en a; dn a? quantités pour lesquelles on a les relations, (5iy=(i+^f)(i-*'*f). Cela étant, un calcul facile nous donne , . sn'a? — sn*y sn (a? 4- y) = j j — , ^ ^ snarcnydny-^snycnapdna; sn (a? 4- y ) _ sn^a? — sn*y en (a? + y) ~ sn a? en a? dn y — sn y en y dn a? ' sn {x'\'y) sn'ar -sn' y dn (a; + y) "* sna? dna? cny — sn y dny cna?' et l'on en déduit immédiatement . sn a? en a? dn y — sn V en y dn a? en (x-^y)^ -j—^ =^-j — , ^ snajcnydny — snycnajona? - , . sna?dna:cnv — snydny cna? dn (a? + y) « j— ^ ^-t — . ^ ^' 8na?cnydny — snycnajdnaj FONCTIONS ELLIPTIQUES. 109 Qu'on multiplie ensuite les deux termes de chaque fraction par Bnœeiiy dnj/'^Bnycxïxdnx, on obtiendra les expressions habituelles aprës avoir supprimé dans les numérateurs et le dénominateur commun, le fetcteur sn'a? — sn*y. En passant maintenant à la fonction p(x) de M. Weierstrass, je supposerai le constante a non plus nulle, mais infiniment petite, et je développerai les divers termes qui entrent dans le théorème général d'addition, suivant les puissances croissantes de cette quantité en négligeant les infiniment petits du second ordre. A cet effet j'observe qu'on peut écrire sous la forme suivante, et Ton obtient de même *(a + y,a?) = -2),log[p(a?)-|}(a + y)] ^{x, a + y) = -Dylog[|)(a?)-|}(a + y)] 4>(a, a + y) = -Dylog[i)(a)-i)(a + y)]. Cela étant, nous savons qu'en négligeant le carré et les puis- sances supérieures de a, on a ^ (a) = -^ , il vient par conséquent, *(«, o) = -2)«log -p-^ a ^l-D,log[l-a*p(x)l Prenons seulement le premier terme du développement en série du logarithme et l'on trouve : 2 ^ (a?, a) = - + 2ap (a?). J'emploierai dans les deux équations suivantes le développe- ment borné à ses deux premiers termes de log[p(x)'-p(a + y)l j'aurai ainsi : * (a + y, a?) = - i>« log [p (a;) -p (y)] -aDi,log[p{x)''p(y)l 110 CH. HERMITE. * (a?, a + y) = - Dy log [p (a?) -/) (y)] J'écris pour la troisième, = -i)ylog[l-a>p(a + y)]. et Ton voit qu'en négligeant a*, on obtient *(a, a + y) = 0. Nous avons enfin 1 -,-p(a+y) Changeons maintenant y en —y, et observant qaep(y) est une fonction paire de la variable, on trouve immédiatement ^{a-y, i,log[p{x)-p(y)l ^(x. a-y) = + D„log[p(x)-p(if)] -aD*\og[p(x)-p(if)l *(o, a + y) = 0, 2 4» (o - y, a) = - + 2ap{y). Le théorème d'addition nous donne au moyen de ces résultats, l'égalité suivante, J + 4op (a: + y) = - 2ai)J log [p (x) -p (y)] -2aDi,log[p{x)-p(j,y] 4 + 4ap(y) + -, d'où nous tirons : p(x + y)= - iJy, log [p (x) -p (y)]-il>i, log [p(x) -p (y)] +p(y), puis en permutant x et y, p{x + y) = -^iyjog [p(x) -p(y)] - iZJÎ, log I> (x) -p(y)] +p (x). FONCTIONS ELLIPTIQUES. Ill Ajoutons membre à membre et divisons par 2, on aura la relation, Pix + y) {Di log [p (x) -p(y)]- ^DU log [p (x) -p(y)] - m, log [p(x)-p (y)] + ^p(x) + ^p (y). qu'on peut mettre sous cette forme symbolique : pix+y) = - i(D. + 2),)» log [p (x) - j) (y)] + ^p (x) + ^p (y). Elle se ramène comme ü suit à l'expression qu'a obtenue M. Weierstrass. Nous avons en différentiant, Di log [p (x) -p (y)] + i?» log [p (x) -p(y)] _ [p"(x)-p"m[p(x)-pm-p'H'{a) '{a) ^(ar4-y)-<^(a) ^ (a? - y) - <^ (a) (a + y)^ix) ^(a-y)-^(a?) * ^^W-*(a + y)' où je supposerai ^ (^) = sn œ. Nous avons ainsi en g dn g en g dn g _ ^ , sna? — sn(g — y) sn (a? + y) — sn g 8n(a: — y) — sng"" * ^ sna? — sn(g + y)' et nous en tirons en remplaçant œ par x + iK' jk en g dn g sn (gg + y) fc en g dn g sn (a? — y) 1 — Â; sn g sn (a? + y ) 1 - A: sn g sn (a? — y ) r, , l-Â;sna?sn(g-y) ° 1— fcsnfl?sn(g + y) Changeons g en — g, on aura par suite A; en g dn g sn (a; + y) A? en g dn g sn (g? — y ) 1 + A? sn g sn (a? + y ) 1 + A; sn g sn (« - y ) * *^l + A;sn«sn(g-y)' j'ajoute membre à membre ces deux égalités, et Ton trouvera après avoir divisé par 2, A:* sn g en g dn g sn* (a? + y ) A:* sn g en g dn g sn* {x — y) 1 — A:»sn*g8n*(aî4-y) 1 - A*sn*gsn»(a? — y) __ . ^ , 1— A:'sn*a;sn*(g — y) -ti^^log^^^^,^^^,^^^^^. Cela étant, l'intégration nous donne r«A:*sngcngdngsn*(aj4-y) , „. , x tt/ \ Jo l-A»8n'a80«(x + y) ^ = n(a: + y, a)-n(y. a); puis si Ton observe que FONcrrioNS elliptiques. 118 n(-y,a) = -n(y,a). I 1 — îi— 5 ?7 ^*» = II(a:-y, a)+n(y, a). Nous avoDs done la relation, TT/ X T^ / V «TT/ XII 1— A:*8n'a?sn'(a — v) n (a?+y, a)- n (a?- y, a) - 211 (y, a) «ilog^j — j^ — ^)—rH ; en permutant x et y, on en tire •r» / V TT / V «TT / vil 1— A*sn'vsn'(a — a:) n(* + y.«) + n(«-y.a)-2n(a..a) = èlog3_^J^^,^J. et il suffit d'ajouter membre à membre pour obtenir, après avoir divisé par 2, Fégalitë cherchée n (a? -I- y, a)- n (a?, a)- Il (y, o) _ . , [1 — i" s n* a? sn* (a — y)] [1 — A:* sn* y sn* (g — a?) ] "■* ^* [1 - jfc» sn« a; sn« (a + y)] [1 - A* sn« y râ« (ôTi^] * On remarquera que le second membre se présente sous une forme bien différente de l'expression donnée par Legendre, à savoir, . , 1 + A^ sn a sn a? sn y sn (a; + y + a) * ° 1 — /:* sn a sn a? sn y sn (a? + y — a) ' et de celles qu'a ensuite obtenues Jacobi, dans le § 55 des Funda- menta, .j [l-A:'8n'^(a?-y)8n' \ (a?+y+2a)] [1 - A^sn«Ha?4-y)sn«^(aH-y-2a) ] *^[l-.if8n«i(a:-y)sn«i(a:+y-2a)]"[l-A»8n«i(a:+y)sn«i(a?+y+2a)] et . [1 - jfc» 8n*(a? - a)8n'(y - g)] [1 - ifc» sn' a 8n«(a? •\-y-\'a)\ * **[l-Ä;»sn»(a; + a)8n»(y + a)] [l-Ä;«sn«asn»(a7 + y-a)]' Sans m'arrêter à leur comparaison je reviens à Tégalité, pour en indiquer encore une conséquence. Supposons comme tout-à-l'heure ^(a;) = snâ;, et prenons -^(a?)«/ l(^«D?xdXf J on en conclura» après avoir mis x + iK' au lieu de Xy C. P. 8 114 CH. HERMITS. A; en a dn asm? „, , .,,,. r? / . . 'rrt\ • / \ 1— isnasna? ^ ' ^ / r \ / puis ea changeant a en —a, l+isnasna? ^ ^ ^ / r \ / Retranchons ces deux égalités membre à membre, et posons pour un moment F,(x)^F(x + iK') + F,(x + iK'), on aura cette relation, 2A»snacnadna8n»a? „. . rf/.\ oi/\ OÙ il est aisé de déterminer la fonction ^o(^)- La supposition de â? == 0, nous donne en effet, Fo{-a)^F,(a) = 2it(a); on trouve ensuite en prenant la dérivée par rapport à rr et faisant encore a: = 0, la condition, r,(^a)^Fo{ay Nous avons donc C désignant ime constante, et par conséquent, ce qui conduit à l'égalité, 2A»snacnadnasn*aî ,/ , v ,/ \ of/\ l-Jfc'sD'asn'o: -^(^ + a)-^(^^a)^2.^(a); on en conclut en permutant x et a, si Ton observe que y^ix) change de signe avec x, 2A»sna?cna?dnirsn«a ,. , \.i/ x o,/\ puis en ajoutant membre à membre, et divisant par 2, en a dn a sn â; + sn a en ^ dn â? 2A:'snasnâ?. 1— Âj'sn'asn'a? FONCTIONS ELLIPTIQUES. 115 (y est le théorème pour l'addition des arguments dans la fonction de seconde espèce, qu'on peut écrire plus simplement sous cette forme, t* sn a sn a? sn (a: + a) = '^ (a; + a) — -^ (j?) — '^ (a). Enfin je remarque que la réduction à des fonctions d'un seul alignment de l'intégrale de 3™* espèce, est immédiatement mise en évidence. Qu'on intègre en effet par rapport à œ, depuis la limite c ~ 0, les deux membres de la relation Ji^snacnadnasn»«? ,/ . x ,/ \ «i/x on trouvera en posant X(a?)=/ yfr{x)dx, J 8—2 UEBER DIE THEORIE DER ALGEBRAISCHEN INVARIANTEN. VON DAVID HILBERT in KÖJNIGSBERG in PR. Unter den algebraischen Functionen von mehreren Veränder- lichen nehmen die sogenannten algebraischen Invarianten wegen ihrer merkwürdigen Eigenschaften eine ausgezeichnete Stellung ein. Die Theorie dieser Gebilde erhob sich, von speciellen Auf- gaben ausgehend, rasch zu grosser Allgemeinheit* — dank vor Allem dem Umstände, dass es gelang, eine Reihe von besonderen der Invariantentheorie eigen thümlichen Prozessen zu entdecken, deren Anwendung die Aufstellung und Behandlung invarianter Bildungen beträchtlich erleichterte. Seit dieser Entdeckung ist die mathematische Litteratur reich an Abhandlungen, welche vorzugsweise die technische Vervollkommnung dieser Prozesse und der auf denselben begründeten sogenannten symbolischen Metho- den bezwecken. Ich habe nun in einer Reihe von Abhandlungen "^ die Invariantentheorie nach neuen, von den genannten Methoden wesentlich verschiedenen Principien entwickelt. Das Nach- folgende enthält eine kurze Uebersicht über die hauptsächlichsten Resultate, zu welchen ich mit Hilfe dieser neuen Principien gelangt bin. * Yergl. den umfasBenden von Franz Meyer im Jahreshericht der Deutichen Mathematiker-Vereinigung (Berlin, 1898) veröffentlichten Bericht "Ueber den gegen- wärtigen Stand der Invariantentheorie.'* t Verg). die beiden zusammenfaseenden Arbeiten des Yerfasaers "Ueber die Theorie der algebraischen Formen," Mathematische Ännalen, Bd. 86 and *' Ueber die YoUen Invariantensysteme," Bd. 42, sowie die kürzeren Mittheilnngen **Zar Theorie der algebraischen Gebilde," Nachrichten der kgl, Ges. d. Wise, mu Göttingen^ 1888 (erste Note) und 1889 (zweite und dritte Note), und "Ueber die Theorie der algebnâschen Invarianten," dieselben Nachrichten, 1891 (erste Note), und 1892. (zweite lAd dritte Note). ALGEBRAISCHE INVARIENTENTHBORIE. 117 Obwohl die mitzutheilenden Principien flir Grundformen und Qrundformensysteme mit beliebig vielen Veränderlichen und Yeränderlichenreihen ausreichen, so werde ich doch der Kürze und des leichteren Verständnisses wegen zunächst nur eine einzige binäre Grundform / von der nten Ordnung mit den Veränderlichen x^, x^ und mit den Coefiicienten a zu Grunde legen. In dieser Grundform werde «i = aiiyi + aayi eingesetzt; die Coefficienten h der transformirten Form g sind dann ganze rationale Functionen vom ersten Grade in den a und vom nten Grade in den «u, «u, «n, ««. Unter "Invariante" ohne weiteren Zusatz verstehen wir stets eine solche ganze rationale homogene Function der Coefficienten a der Grundform /, welche sich nur mit einer Potenz der Substitutionsdeterminante S multi- plicirt, wenn man die Coefficienten a durch die entsprechenden Coefficienten h der transformirten Grundform g ersetzt. Die wichtigsten bekannten Eigenschaften der Invarianten sind : 1. Die Invarianten lassen die linearen Transformationen einer gewissen continuirlichen Gruppe zu. 2. Die Invarianten genügeu gewissen partiellen linearen Differentialgleichungen. 3. Jede algebraische und insbesondere jede rationale Function von beliebig vielen Invarianten, welche in den Coefficienten a der Grundformen ganz, rational und homogen wird, ist wiederum eine Invariante. Das System aller Invarianten bildet diesem Satze zufolge einen in sich abgeschlossenen Bereich von ganzen Functionen, welcher durch algebraische Bildungen nicht mehr erweitert werden kann. 4. Wenn das Product zweier ganzen rationalen Functionen der Coefficienten a eine Invariante ist, so ist jeder der beiden Factoren eine Invariante. Dieser Satz sagt aus, dass im Bereiche der Invarianten die gewöhnlichen Theilbarkeitsgesetze gültig sind, d. h. jede Invari- ante lässt sich auf eine und nur auf eine Weise als Product von unzerlegbaren Invarianten darstellen. 118 DAVID HILBBRT. 5. Wenn man auf irgend eine ganze rationale Function der Coefficienten b der transformirten Grundform g den Differen- tiationsprozess ß ^ Ë_ so oft anwendet, bis sich ein von den Substitutionscoefficienten a freier Ausdruck ergiebt, so ist der so entstehende Ausdruck eine Invariante. Von tieferer Bedeutung als diese elementaren Sätze ist der Satz über die Endlichkeit* des Invariantensystems; derselbe lautet : 6. Es giebt eine endliche Anzahl von Invarianten ii, i2,...i imt durch welche sich jede andere Invariante in ganzer rationaler Weise ausdrücken lässt Zum Beweise dieses Satzes bedarf es des folgenden Hilfs- theoremsf : Ist irgend eine nicht abbrechende Reihe von Formen der N Veränderlichen a^, o,,..., a^^ vorgelegt, etwa F^, F^, -F,,..., so giebt es stets eine Zahl m von der Art, dass eine jede Form jener Reihe sich in die Gestalt F^Ä,F, + A,F, + ... + A„,F^ bringen lässt, wo A^, Ai,...Afn geeignete Formen der nämlichen N Veränderlichen sind. Wenden wir dieses Hilfstheorem auf das System aller Invari- anten der Grundform /an, so folgt unmittelbar die Existenz einer endlichen Anzahl m von Invarianten ti, ij,..., 4» von der Beschaf- fenheit, dass eine jede fimdere Invariante % der Grundform /in der Gestalt i = ^lii + iljia + ... +ilm*m * Für binäre Ghnindfonnen mit einer Veranderlichenreihe ist dieser Endlioh* keitssats zuerst von P. Gordan mit Hilfe der symbolischen Methode bewiesen worden, vergl. Vorlesungen über Invariantentheorie, Bd. 2, S. 231. Weitere Beweise vergl. F. Mertens, CrelUi Journal, Bd. 100, S. 228, and die Note des Verfassers, MathenuUi$ehe Annalen, Bd. 88, S. 224.~Der oben skizzirte Beweis des Verfassers ist von allgemeinster Gültigkeit, vergl. Mathematiaehe AnruUen, Bd. 86, S. 521 nnd Nachrichten d. kgl, G. d, W. tu QötHngen, Nov. 18S8 mid 1892. t Neuerdings hat P. Gordan dieses Hilfstheorem einer weiteren Behandlung unterworfen, vergL Mathematische ÄrmaUn, Bd. 42, 8. 182. ALGEBRAISCHE INVARIBNTENTHEORIE. 119 ausgedrückt werdea kann, wo Ai, A^,,,., Am ganze homogene Functionen der Coefficienten a der Grundform /sind« Der zweite Schritt des Beweises besteht nun darin, zu zeigen, dass in dem Ausdrucke rechter Hand die Functionen Ai, A^y..., A^ stets durch Invarianten %i\ h'»--; im ersetzt werden können, ohne dass sich dabei der Werth i jenes Ausdrucks ändert. Dieser Nachweis wird geführt, indem man in jene Relation an Stelle der CoeflScien- ten a die Coefficienten b der transformirten Grundform einträgt und dann den Satz 5 anwendet*. An den Endlichkeitssatz 6 schliessen sich zunächst zwei weitere Endlichkeitssätze an, deren BeweLse ebenfalls auf der Anwendung des obigen Hilfstheorems beruhen. Verstehen wir in der üblichen Ausdruckweise unter einer irreduciblen Syzygie eine solche Relation zwischen den Invarianten i^, i2,...im» deren linke Seite nicht durch lineare Combination von Syzygien niederer Grade erhalten werden kann, so gilt der Satz : 7. Es gieht nur eine endliche AnzaM von irreduciblen St/' zygien. Als Beispiel diene das volle Invariantensystem von 3 binären quadratischen Grundformen, welches bekanntlich aus 7 Invarian- ten und 6 Covarianten besteht. Es lässt sich zeigen, dass es für dieses Invariantensystem 14 irreducible Sjrzygien giebt, aus denen jede andere Syzygie durch lineare Combination erhalten werden kann. Zwischen den Syzygien ihrerseits bestehen gleichfalls im Allge- meinen lineare Relationen, sogenannte Syzygien zweiter Art, deren Coefficienten Invarianten sind und welche wiederum selber durch lineare Relationen, sogenannte Syzygien dritter Art, ver- bunden sind. Von dem hierdurch eingeleiteten Verfahren gilt der Satz: 8. Die Systeme der irreduciblen Syzygien erster Arty zweiter Art, u,s.f. bilden eine Kette, welche stets im Endlichen cMi^ht und zwar giébt es keinenfcUls Syzygien von höherer als der m + Iten Art, wenn m die Zahl der Invarianten bezeichnet * StoTj hat in den Mathematischen ÄnnaUn Bd. 41, S. 469 einen DifferentiationB- procen [ ] angegeben, welcher den Prozess O zu ersetzen im Stande ist ; derselbe entsteht dnroh Verallgemeinerung des in meiner Inauguraldissertation für binare Ponnen aufgestellten Prozesses [ ], vergl. Mathematische Annalen Bd. 80, & 20. 120 DAVID HILBBRT. Der Endlichkeitssatz 6 bildet den Ausgangspunkt und die Grundlage für die weiteren Entwicklungen. Die Invarianten hf H>***> im heissen das volle Invariantensystem. Zunächst erkennt man ohne besondere Schwierigkeit die folgenden Thatsachen : 9. Man kann stets eine gewisse Zahl k van Invarianten /i,..., /, bestimmen, zwischen denen keine algebraische Relation stattfindet und durch welche jede andere Invariante i ganz und algebraisch ausgedrückt werden kann, d h, so dass i einer Glei- chung von der Gestalt genügt, wo Gi,,,., Gu ganze und rationale Functionen vonl^,..., /« sind. Man kann femer zu diesen Invarianten Ii,..., 7« stets eine Invariante I hinzufügen, derart, dass eine jede andere Invariante i der Grundform f sich rational durch die Invarianten I, /i,..., 7« ausdrücken läset. Will man umgekehrt aus den Invarianten 7, 7,,..., I^ wieder das volle Invariantensystem ii,..., it» zurück gewinnen, so hat man nur nöthig, alle Functionen aufzustellen, welche rational durch 7, 7i,..., 7, und ganz und algebraisch durch 7i,..., 7, ausdrückbar sind, und dies ist eine bekannte elementare Aufgabe aus der arithmetischen Theorie der algebraischen Functionen. Für den vorliegenden Fall einer einzigen binären Giiindform hat die Zahl k den Werth n — 2. In Uebereinstimmung mit dem Gesagten besteht das volle Invariantensjrstem einer binären Form 5ter Ordnung aus den 3 geraden Invarianten A, B, C von den Graden bezüglich 4, 8, 12 und der schiefen Invariante R, und da R? eine ganze rationale Function von A, B,C ist, so sind alle Invarianten der Grundform ganz und algebraisch durch A, B, C ausdrückbar. In gleicher Weise erkennt man, dass alle Invarianten einer binären Form 6ter Ordnung durch die 4 geraden Invarianten A, B, C, D von den Graden bezüglich 2, 4, 6, 10 ganz und algebraisch ausdrückbar sind. Die Zahl k, welche den Grad der Gleichung für eine beliebige Invariante i angiebt, lässt sich f\ir den vorliegenden Fall einer binären Form nter Ordnung allgemein bestimmen. Es ist näm- lich, wenn man mit N das Product der Grade der K^n — i Invari- anten 7i,...» 7« bezeichnet ALGEBRAISCHE IN V ABIENTENTHEORIE. 121 i-jè,^<-')'a)(i-r. (•■-»■ 1.« "i^) bezüglich (t = 0,l,2,...,|-l) jenachdem n ungerade oder gerade ist. Diese Formel liefert in der That fÜrn:= 5 und n = 6 den Werth &= 2. Die Zahl k bedeutet zugleich im Allgemeinen die Zahl der durch lineare Transformation niclit auseincmder hervorgehenden Grundformen, deren Invarianten /i,..., /, gleich gegebenen Grös- sen sind. Da eine jede Invariante i einer Gleichung von der Gestalt genügt, so folgt unmittelbar die weitere Thatsache : Wenn man den Coefficienten der Grundform / solche besonderen Werthe ertheilt, dass die tc Invarianten /i,..., /« gleich Null werden, so verschwinden zugleich auch sämmtliche übrige Invarianten der Grundform. Es ist nun von grösster Bedeutung ftir die ganze Theorie, dass die in diesem Satze ausgesprochene Eigenschaft des Invariantensystems /i,..., /, auch umgekehrt die ursprüngliche diese Invarianten definirende Eigenschaft bedingt, wie der fol- gende Satz lehrt: 10. - Wenn irgend fi Invarianten /i,..., /^ die Eigenschaß besitzen, dass das Verschwinden derselben stets noihwendig das Verschwinden aller übrigen Invarianten der Grundform zur Folge hat, so sind alle Invarianten ganze algebraische Functionen jener fi Invarianten /i,-.., /^. Der Beweis dieses Satzes verursacht erhebliche Schwierigkeiten. Die Zahl /i ist nothwendig ^ /c. Um die Fruchtbarkeit des Satzes zu erschöpfen, bedarf es der Eenntniss der Bedingungen, welche erfüllt sein müssen, damit die Invarianten der Grundform sämmt- lich sind. Wir nehmen die Grundform mit bestimmten nume- rischen Coefficienten an. Die Frage, ob diese Grundform eine 112 . CH. HERMITE. Jaoobi a définie dans les Fundamenta, en posant TT/ X r*i*8nacnadnasn'a? , Il (a?, a) = I — = — T2 — i 5 cte. ^ Jo 1— A:"8n*a8n*a? On y parvient comme conséquence de la relation établie plus haut, fW *'(a) où je supposerai ^ (^) = sn x. Nous avons ainsi cnadna cnadna •. , sn«? — 8n(a — y) — 7 î 7 ^ = -Ö» log 7 — --^' , sn(a? + y) — sna 8n(aj — y) — sna ° sna? — sn(a + y) et nous en tirons en remplaçant œ par œ + iK' A?cnadna8n(g-|-y) fccn odn o sn (a? — y) 1 — & sn a sn (« + y ) 1 - i sn a sn (a? — y ) «D j lj2A^nf^(a^ * ^ 1— A:snaf8n(a + y)' Changeons a en — a, on aura par suite A; en a dn a sn (â? + y ) A; en a dn a sn (œ — y) 1 H-Asnasn(« + y) 1 + A;snasn(a? — y) = /) I l + ^8n^8D(g+.y) . * '^ l + Asnarsn (a-y)' j'ajoute membre à membre ces deux égalités, et l'on trouvera après avoir divisé par 2, A^8nacnadnasn'(a;-|-y) Ä:*snacnadna8n'(a; — y) l-Ä;"8n*a8n*(ic + y) 1 - A"sn*a8n»(a? — y) _, ^ , 1— <:'sn*a?sn'(a-y) *^«^^fifl-ifciBn»a.8nna + y)' Cela étant, Tintégration nous donne pÄ:^8nacnadnasn'(aj + v) j r, , v «, —1 — n—i ,/ . x^ puis si l'on observe que FONCTIONS ELLIPTIQUES. 118 n(.-y,a) = -n(y,a), I ^ — f • — : TT ^ cte = Il (a? - y. a) + XI (v, a). Nous avons donc la relation, TTi- V x^ / V «XT/ V 11 1 — A:*sn'a?sn"(a — y) n(«: + y.a)-n(.-y.a)-2n(jr,a) = ilogj-^^^^^^J; en permutant œ et y, on en tire x-» r X TT / V «TT/ X 11 1 — i'sn'ysn'Ca — a?) n(x + y,a) + n(«:-y.a)-2n((a + y)][l-A;'8n«ysn»(a + a?)r On remarquera que le second membre se présente sous une forme bien différente de l'expression donnée par Legendre, à savoir, - . 1 + A:* sn a sn a; sn y sn (a? + y + a) ^ ^ 1 — A* sn a sn a; sn y sn (a? + y — a) ' et de celles qu'a ensuite obtenues Jacobi, dans le § 55 des Funda- menta, . [1 -A:'8n«i(ar-~y)sn« j ( ar+y-H2a)] [1 --A^sn« ^ (ar+y)8n'^(a?+y-2a) ] * ^^[l-.A»sn»i(a:-y)sn«f (a;+y«2a)] [l-A»sn»K^+y)sn»i(a?+y+2a)] et . . [1 — A:" 8n*(ar — a) sn'(y — g)] [1 — A^ sn* g sn*(a? + y + g)] * ^[1 - A^sn*(a? + g)sn>(y + g)] [1 - A:*sn»g 8n»(a? + y- g)] ■ Sans m'arrèter à leur comparaison je reviens à l'égalité, ^^-(a) = ^(--«>-^'(*-^«)-^<«>' pour en indiquer encore une conséquence. Supposons comme tout-à-l'heure ^■(a:) = sna?, et prenons i/o on en conclura» après avoir mis œ + iK' au lieu de x, C. P. 8 124 DAVID HILBBRT. Durch diesen Satz ist man im Stande, auch fUr Grundformen von höherer Ordnimg und mit mehreren Veränderlichen leicht zu entscheiden, ob ein vorgelegtes System von Invarianten /i,..., /^ die Eigenschaft besitzt, dass durch dieselben alle übrigen Invari- anten der Grundform ganz und algebraisch ausdrückbar sind; man hat zu dem Zweck nur nöthig, zu untersuchen, ob das Null- setzen der Invarianten /i,..., Ij^ hinreicht, um die Grundform als Nullform zu charakterisiren. Unter den mannichfachen sich anknüpfenden Folgerungen sei hier nur noch auf einen Satz von principieller Bedeutung hingewiesen, welcher i\ir den Fall einer temären Grundform, wie folgt, lautet: Sämmtliche Invarianten einer temären Grundform wter Ord- nung lassen sich als ganze algebraische Functionen derjenigen Invarianten ausdrücken, deren Gewicht < 9w (3n + 1)" ist. Auf Grund dieses Satzes findet die ftindamentale Aufgabe der Invariantentheorie ihre Erledigung, nämlich die Au&tellung des vollen' Invariantensystems, vermöge einer endlichen Rechnimg; ich spreche diese Thatsache in folgendem Satze aus: 13. Die AufstdluJtg des vollen Irwartantensystems ii,..., im erfordert lediglich rationale Operationen, deren Anzahl endlich ist und unterhalb einer vor der Rechnung angébharen Orenze liegt. In der Geschichte einer mathematischen Theorie lassen sich meist 3 Entwickelungsperioden leicht und deutlich unterscheiden: Die naive, die formale und die kritische. Was die Theorie der algebraischen Invarifimten anbetrifft so sind die ersten Begründer derselben, Cayley und Sylvester, zugleich auch als die Vertreter der naiven Periode anzusehen: an der Aufstellung der einfachsten Invariantenbildungen und an den eleganten Anwendungen auf die Auflösung der Gleichungen der ersten 4 Grade hatten sie die unmittelbare Freude der ersten Entdeckung. Die Erfinder und Vervollkommner der symbolischen Rechnung Clebsch und Gordan sind die Vertreter der zweiten Periode, während die kritische Periode in den oben genannten Sätzen 6 — 13 ihren Ausdruck findet. OsTBEEBAD Cranz, 9 Jufii, 1893. ÜBER DIE REDUCTION DER BINAREN QUAD- RATISCHEN FORMEN. VON A, HURWITZ IN ZÜRICH. Die Methode, durch welche ich in den folgenden Zeilen die Theorie der Reduction der quadratischen Formen mit zwei Unbestimmten begründe, beruht auf dem Princip, die " ausgear- teten" Formen, d. h. die Formen mit verschwindender Deter- minante zu untersuchen und von diesen einen Rückschluss auf die "allgemeinen" Formen, d. h. die Formen mit nicht verschwindender Determinante zu machen. Dieses Princip erweist sich von grosser Fruchtbarkeit : es filhrt nicht nur in dem hier betrachteten Falle der binären Formen mit reellen Coefficienten mit grosser Leich- tigkeit zum Ziele, sondern es ist auch auf Formen von beliebig vielen Unbestimmten anwendbar, sei es dass die Coefficienten reell oder complex vorausgesetzt werden. Um den Kern der Untersuchung klar hervortreten zu lassen, und zugleich eine möglichst grosse Anschaulichkeit zu erzielen,, kleide ich die anzustellenden Betrachtungen in eine specielle geometrische Form. Es bietet keine Schwierigkeit, die geome- trische Darstellung allgemeiner zu halten (indem man projective Verallgemeinerung eintreten lässt) oder auch die geometrische Darstellung durch eine rein analytische zu ersetzen. Es sei ABC ein gleichseitiges Dreieck, K der einbeschriebene KreÎH, welcher die Seiten des Dreiecks in den Punkten M, N, L berührt*. Durch diese Punkte wird die Kreisperipherie in drei gleiche Bogen MN, NL, LM zerlegt, die ich die "Theübogen" nennen will. Ich wähle nun CNM als Coordinatendreieck und L * Siebe Fignr 1. 126 A. HURWITZ. als Einheitspunkt. Dann beschreibt der Punkt x:y:z=l:\: X* (1) den Kreis K, wenn der Parameter \ alle reellen Zahlen durchläuft. Im Anschluss an diese Thatsache werde ich weiterhin jeden Punkt von K durch den entsprechenden Werth des Parameters bezeichnen, so dass z. B. die Punkte M, If, L die Bezeichnung oo , 0, 1 bez. erhalten. Es bedeute femer T diejenige Drehung der Ebene um den Mittelpunkt des Kreises K, bei welcher der Punkt in 1, 1 in 00 , 00 in Übergeht, T^ diejenige Drehung, bei welcher in oo , 00 in 1, 1 in übergeht. Bezeichnen dann Xi, X«, Xs entsprechend gelegene Punkte auf den drei Theilbogen JVX, LM, MN, so geht bei der Drehung T \ in X,, Xj in X,, X, in Xi über. Da bei der Drehung T das Doppel- verhältniss von vier Punkten des Kreises sich nicht ändert, so findet man leicht, dass ^=r:^' ^=1-^ <2) ist. — In der Folge werden nun in's besondere die Punkte mit rationalen Parametern eine wichtige Rolle spielen. Auf diese Punkte beziehen sich die nachstehenden Sätze und Definitionen. Eine Sehne a^pq des Kreises K heisse eine Ulementarsehne, BINÄRE QUADRATISCHE FORMEN. 127 ß i wenn 0=-, 0=- rationale Zahlen sind, für welche die Glei- ^ a ^ 7 chung a8 - ^87 = + 1 gilt. Auf Grund der Gleichungen (2) beweist man leicht, dass eine Elementarsehne durch die Drehung T (und ebenso durch die Drehung 7*) wieder in eine Elementarsehne übergeht. Von hervorragender Wichtigkeit ist aber der folgende Satz : (I) Die Endpunkte p und q einer Elementarsehne s liegen stets auf demselben Theühogen. Ich zeige, dass die Annahme, p und q lägen auf verschiedenen Theilbogen, auf einen Widerspruch ftlhrt. Wenn man diese Annahme macht, so sind eigentlich — den drei Combinationen der Theilbogen zu je zweien entsprechend — drei Fälle zu unter- scheiden. Man darf sich indessen auf den Fall beschränken, in welchem man p auf dem Bogen MN, also die Zahl |> ^ 0, und q auf dem Bogen LM, also die Zahl 9»!, annimmt. Denn jeder der beiden anderen Fälle lässt sich durch eine der Drehungen T und IT" auf jenen Fall zurückführen. Ist nun j> ^ 0, ç ^ 1, so folgt 1 ^ Ç — p < 00 . Die einzige Combination p = 0, j' = 1 , flir welche Ç— p = 1 wird, ist aber auszuschliessen, weil illr dieselbe p und q auf demselben Theilbogen, nämlich auf dem Bogen LN, liegen. Ebenso wenig kann 9 — p »= x , d. h. eine der beiden Zahlen p und q gleich ao sein, weil sonst p und q beide auf dem Bogen ML oder beide auf dem Bogen MN liegen würden. Folglich liegt q — jj rs f — zwischen 1 und 00 , also ± «7 zwischen und 1. Dies ist aber widersinnig, da a und 7 ganze 2Iahlen sind. Ich werde nun femer ein dem Ejreise K einbeschriebenes Dreieck, dessen Seiten Elementarsehnen sind, ein '* Elementar- dreieck" nennen. Nach dieser Definition ist beispielsweise das Dreieck Olx ein Elementardreieck. Jede Elementarsehne s=pq ist Seite von zwei Elementardreiecken. Denn sei p « — , ç = - und r = - irgend eine dritte rationale Zahl Bestimmt man dann x und y aus den Gleichungen e-œa + yyy so erkennt man, dass p, q, r dann und nur dann ein Elementar- 128 A. HURWITZ. dreieck bilden, wenn œ^ ±1, y=±l wird Die Sehne « ist also Seite der beiden Elementardreiecke Da die Punkte p, q durch die Punkte r, r harmonisch getrennt werden, so kann man das Dreieck pqr' durch eine sehr einfache Construction erhalten, wenn das Dreieck pçr gezeichnet vorliegt*. Überdies geht aus derselben Thatsache hervor, dass die beiden Elementardreiecke, welche sich über einer Elementarsehne 8=^pq construiren lassen, auf verschiedenen Seiten dieser Sehne 8 liegen. Nach dem Satze (I) befinden sich die Ecken eines von dem Dreieck Oloo verschiedenen Elementardreiecks noth wendig auf demselben Theilbogen. Daher kann das Dreieck Oloo mit keinem anderen Elementardreieck ein Stück gemein haben. E§ besteht also der Satz: (II) Kein Punkt, der im Innern des Dreiecks Olx liegt, zugleich im Innern eines anderen Elementardreiecks. 2. Es möge nun jeder quadratischen Form f:=au^ + 2buv + ct^ (3) derjenige Punkt zugeordnet werden, dessen Coordinaten X :y : z^a : h : c (4) \ Figur 2. sind. Einer Form /entspricht dann ein Punkt im Innern, auf der * Vergleiche Figur 2. BINÄBE QUADRATISCHE FORMEN. 129 Peripherie oder ausserhalb des Kreises K, je nachdem i) = 6>-ac |0 (5) ist. Umgekehrt entsprechen jedem Punkte a\h \c unendlich viele Formen/, nämlich die Formen /=p(ait»+26Mt; + ct;») (6), wo p jeden reellen Werth erhalten kann. Um nun die Beziehung zwischen den Punkten der Ebene und den Formen / zu einer eindeutigen zu machen, werde ich zwei Formen, deren Coefficienten zu einander proportional sind, als nicht verschieden ansehen. Man bemerke noch, dass dem Punkte \ des Kreises K die Form /=/[)(w» + 2Xttt; + W) = /[)(w + \t;)« (7) entspricht. Ich betrachte jetzt irgend eine ganzzahlige lineare Transforma- tion r.^xzi^^'-'-^-' w Durch dieselbe geht die Form (6) über in / = /[>(aV« + 26Vt;' + cV») (9), wo a' = aa» + 26^7 + CT*, V^aaß-\-b{ah-\-ßi) + c^h, (10). Der Transformation S entspricht also eine (durch die Formeln (10) definirte) Collineation der Ebene, die ebenfiälls mit 8 be- zeichnet werde. Der Kreis K geht bei der Collineation S in sich über. Denn dem Punkte X des Kreises K entspricht die Form (7), welche bei u' + i/ ) übergeht, so dass der Punkt \ durch die Collineation 8 in den Punkt X' = ^ (11) 7\+a V / übergeführt wird. Da hiemach die Punkte 0, oo, 1 i*esp. in jP=3^, 2 = -, r = übergehen, so entsprechen den Punkten, Ä 7 7 + a die im Innern des Dreiecks Oloo liegen, die Punkte im Innern des Elementardreiecks pqr. Nennt man also eine Form / von nega- c. P. 9 130 A. HUBWITZ, tiver Determinante " reducirt" wenn der ihr entsprechende Punkt im Innern des Dreiecks Oloo liegt, so folgt aus dem Satze II. in No. 1: "Eine reducirte Form kann durch die Transformation S nur dann wieder in eine reducirte Form übergehen, wenn die Punkte 0, 1, 00 durch die entsprechende Collineation 8 (oder durch die Transformation (11)) sich nur untereinander vertauschen." Offenbar giebt es, abgesehen von der identischen, zwei solche Trajisformationen S, nämlich diejenigen, deren entsprechende Col- lineationen die Drehungen T und T* sind. Man hat also den Satz : Zwei reducirte Formen, denen die Punkte P und Q entsprechen, sind dann und nur dann aequivcUent, wenn der Punkt P durch eine der Drehungen T und T* in den Punkt Q übergeht. Abgesehen vom Mittelpunkt des Kreises K, gruppiren sich die Punkte des Dreiecks Oloo, und dem entsprechend die reducirten Formen, vermöge der Drehungen fund T^ zu je dreien, so dass die drei Formen einer Gruppe zu einander aequivalent, dagegen je zwei Formen aus verschiedenen Gruppen inaequivalent sind. Stellt man die Bedingungen dafür auf, dass der Punkt 0, a-6>0, c-6>0 erfüllt sind*. Was die Formen angeht, die durch Punkte auf den Seiten des Dreiecks Oloo repräsentirt werden, so sollen dieselben fortan ebenfisdls zu den reducirten gezählt werden. Man zeigt leicht, dass diese Formen sich in Gruppen von je sechs anordnen, so dass jede Form den Formen derselben Gruppe aber keiner andern reducirten Form aequivalent ist. * Die Definition der redncirten Formen, sn welcher die Untezsaofaung geführt hat, Btimmt hiernach mit der von E. Selling (CreUe's Journal, Bd. 77) gegebenen ûbeiein. BINÄRE QUADRATISCHE FORMEN. 131 Ich bringe jetzt die Theorie der Reduction quadratischer Formen mit negativer Determinante zum Abschluss, indem ich zeige, dass jede Form von negativer Determinante einer reducirten Form aequivalent ist, oder — was offenbar dasselbe ist — dass jeder beliebig im Innern des Kreises K angenommene Punkt P auf einer Seite oder im Innern eines Elementardreiecks liegt. Dabei werde ich zur Abkürzung von einem Punkte P sagen "er liege über der Seite pq des Dreiecks pçr," wenn die Punkte P und r auf verschiedenen Seiten von pq liegen. Es sei jetzt «o diejenige Seite des Dreiecks Ao»01œ, über welcher P liegt. Man con- struire dann über «o das von A« verschiedene Elementardreieck Ai. Liegt nun P ausserhalb des Dreiecks A^, so sei 8i diejenige Seite von A,, über welcher P liegt. Man construire dann über 8^ das von A| verschiedene Elementardreieck Ag u. s. f. Diese G>nstruction muss nothwendig zu einem Abschluss führen, d. h. man gelangt schliesslich nothwendig zu einem Elementardreieck An, auf dessen Begrenzung oder in dessen Innerem der Punkt P liegt. Denn andemialls würde den Endpunkten der Seiten «,, «i,...«n>--* 6^116 unbegrenzte Reihe von rationalen Werthen ^0» ^o', »"ij ^i'>---^n» ^n'»««- entsprechen (so dass die Seite «» die Verbindungslinie r^Vn ist). oft 1 Ist nun etwa r» = - , r/ = - , so wiid r^ —r^^t — und diese Differenz sinkt mit wachsendem n unter alle Grenzen, da die Nenner der Zahlen ro, r^, r^, r/,... beständig zunehmen. Die Länge der Sehne Sn^^rnVn würde also mit wachsendem n unter alle Grenzen sinken, was unmöglich ist, da der Punkt P immer zwischen Sn und dem Kreise K liegt und von dem Kreise eine endliche Entfernung besitzt. 4. An die vorstehenden Betrachtungen knüpfe ich noch einige Bemerkungen. Da jeder Punkt, der im Kreise K liegt, in's Innere oder auf eine Seite eines Elementardreiecks &llt und da kein Elementardreieck mit dem Dreieck Oloo und folglich auch keine 9—2 132 A. HURWITZ. zwei Elementardreiecke mit einander ein Stück gemein haben, so folgt: " Die Elementardreiecke erfüllen in ihrer Gesammtheit gerade das Innere des Kreises Ky welches sie einfach und lückenlos bedecken." Denkt man sich alle Elementardreiecke construirt, so hat man dieselbe Figur vor sich, welche Herr Klein gelegentlich aus der bekannten Eintheilung der complexen Zahlenebene, die der Theorie der Modulfunctionen zu Grunde liegt, hergeleitet hat*. Aus den oben entwickelten Resultaten lassen sich offenbar umgekehrt die wesentlichen Eigenschaften jener Eintheilung der complexen 2iahlenebene ableiten. Was die Reduktion der Formen von positiver Determinante angeht, so lässt sich dieselbe nach einer von Herrn Hermite herrührenden Idee auf die der Formen mit negativer Determinante zurückführen. Man gelangt dabei zu dieser Definition : " Eine Form mit positiver Determinante heisst reducirt, wenn die Polare des der Form entsprechenden Punktes in das Innere des Dreiecks Oloo eintritt." Im Anschluss an diese Definition kann man dann, wie ich hier jedoch nicht weiter ausführen will, die Theorie der Formen mit positiver Determinante (Pell'sche Gleichung etc.) vollständig entwickeln. Dabei tritt dann auch die grundlegende Bedeutung der Farey'schen Reihen hervor, von deren Betrachtung ich bei dieser ganzen Untersuchimg ursprünglich ausgegangen bin. * Elein-Frtcke, *' Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunc- tionen" (Leipzig, 1890) Bd. 1, pag. 239-242. ZÜRICH, im Mai 1893. THE PRESENT STATE OF MATHEMATICS». BY FELIX KLEIN op GÖTTINGEN. The German Government has commissioned me to communicate to this Congress the assurances of its good will, and to participate in your transactions. In this official capacity, allow me to repeat here the invitation given already in the general session, to visit at some convenient time the German University exhibit in the Liberal Arts Building. I have also the honour to lay before you a considerable number of mathematical papers, which give collectively a fairly complete account of contemporaneous mathematical activity in Germany. Beserving for the mathematical section a detailed summary of these papers, I mention here only certain points of more general interests When we contemplate the development of mathematics in this nineteenth centuiy, we find something similar to what has taken place in other sciences. The famous investigators of the preceding period, Lagrange, Laplace, Gauss, were each great enough to embrace all branches of mathematics and its applications. In particular, astronomy and mathematics were in their time regarded as inseparable. With the succeeding generation, however, the tendency to specialisation manifests itself. Not unworthy are the names of its early representatives : Abel, Jacobi, Galois and the great geometers from Fencelet on, and not inconsiderable are their individual achievements. But the developing science departs at the same time more and more from its original scope and purpose and threatens to sacrifice its earlier unity and to split into diverse branches. In the same proportion the attention bestowed upon it by the general scientific public diminishes. It became almost the custom to regard modem mathematical speculation as something * BemarkB made at the opening of the Ck>ngre88 on MathematicB and Astronomy. 134 FELIX KLEIN. having no general interest or importance, and the proposal has often been made that, at least for purpose of instruction, all results be formulated from the same standpoints as in the earlier period. Such conditions were imquestionably to be regretted. This is a picture of the past. I wish on the present occasion to state and to emphasise that in the last two decades a marked improvement from within has asserted itself in our science, with constantly increasing success. The matter has been found simpler than was at first believed. It appears indeed that the different branches of mathematics have actually developed not in opposite, but in parallel directions, that it is possible to combine their results into certain general concep- tions. Such a general conception is that of the fwnctUm, in par- ticular that of the analytical function of the complex variable. Another conception of perhaps the same range is that of the Onmp, which just now stands in the foreground of mathematical progress. Proceeding from this idea of groups, we learn more and more to coordinate different mathematical sciences. So, for ex- ample, geometry and the theory of numbers, which long seemed to represent antagonistic tendencies, no longer form an antithesis, but have come in many ways to appear as different aspects of one and the same theory. This unifying tendency, originally purely theoretical, comes inevitably to extend to the applications of mathematics in other sciences, and on the other hand is sustained and reinforced in the development and extension of these latter. I assume that detailed examples of this interchange of influence maybe not without various interest for the members of this general session, and on this account have selected for brief preliminary mention two of the papers which I have later to present to the mathematical section. The first of these papers (from Dr. Schönflies) presents a review of the progress of mathematical crystallography. Sohncke, about 1877, treated crystals as aggregates of congruent molecules of any shape whatever, regularly arranged in space. In 1884 Fedorow made further progress by admitting the hypothesis that the molecules might be in part inversely instead of directly congruent In the light of our modem mathematical developments this pro- blem is one of the theory of groups, and we have thus a convenient starting-point for the solution of the entire questioiL It is simply PRESENT STATE OF MATHEMATICS. 135 necessary to enumerate all discontinuous groups which are con- tained in the so-called chief group of space-transformations. Dr. Schönflies has thus treated the subject in a text-book (1891) while in the present paper he discusses the details of the historical development. In the second place, I will mention a paper which has more immediate interest for astronomers, namely, a resume by Dr. Burkhardt of "The Relations between Astronomical Problems and the Theory of Linear Differential Equations." This deals with those new methods of computing perturbations, which were brought out first in your country by Newcomb and Hill; in Europe, by Gylden and others. Here the mathematician can be of use, since he is already £eimiliar with linear differential equations and is trained in the deduction of strict proofs; but even the professional mathematician finds here much to be learned. HilFs researches involve indeed, — a fact not yet sufficiently recognised, — a distinct advance upon the current theory of linear differential equations. To be more precise, the interest centres iu the repre- sentation of the integrals of a differential equation in the vicinity of an essentially singular point. Hill furnishes a practical solution of this problem by the aid of an instrument new to mathematical analysis, — the admissibility of which is, however, confirmed by subsequent writers, — the infinitely extended, but still convergent, determinant. Speaking, as I do, under the influence of our Göttingen tradi- tions, and dominated somewhat, perhaps, by the great name of Oauss, I may be pardoned if I characterise the tendency that has been outlined in these remarks as a return to the general Gaussian programme, A distinction between the present and the earlier period lies evidently in this : that what was formerly begun by a single master-mind, we now must seek to accomplish by united efforts and cooperation. A movement in this direction was started in France some time since by the powerful influence of Poincarë. For similar purposes we three years ago founded in Germany a mathematical society, and I greet the young society in New York and its Bulletin as being in harmony with our aspirations. But our mathematicians must go further still. They must form international unions, and I trust that this present World's Con- gress at Chicago will be a step in that direction. ÜBER DIE ENTWICKLUNG DER GRUPPEN- THEORIE WÄHREND DER LETZTEN ZWANZIG JAHRE. VON FELIX KLEIN in GÖTTINGEN. Referat. B£DNER gab in der Hauptsache ein Referat über die von ihm im vergangenen Sommer in Göttingen gehaltene Vorlesung ; diese Vorlesung wird in derselben Weise, wie in firüheren Fällen geschehen, in autographirter Form publicirt werden. Des Fer- neren schilderte derselbe mit einigen Worten das in Göttingen angenommene System des mathematischen Unterrichta Soweit die Ausbildung der künftigen Lehrer in Betracht kommt, wird aller Nachdruck auf die physikalischen und astronomischen Anwendungen der Mathematik gelegt. Es besteht die Absicht, im gleichen Sinne späterhin auch noch die technischen Anwend- ungen herauzuziehen. Aus allgemeinen Gründen würde Redner eine Vereinigung der Polytechnika mit den Universitäten wün- schen. Da aber die Durchfuhrung einer solchen Massregel wegen praktischer Schwierigkeiten kaum zu erhoffen ist, so sollte man zum Mindesten Einrichtungen treffen, vermöge deren der gelernte Techniker seine mathematisch-physikalische Bildung vervoll- ständigen kann, während gleichzeitig der Mathematiker oder Physiker Anleitung erhält, in die technischen Probleme einzu- dringen. Denn es ist keine Frage, dass bei der fortschreitenden Entwicklung unserer Cultur immer mehr solche Männer gebraucht werden, welche gleichzeitig nach technischer Seite wie nach mathematisch-physikalischer Seite im Vollbesitz der wissen- schaftlichen Prämissen sind. ZUR TRANSFORMATION FÜNFTEN GRADES DER HYPERELLIPTISCHEN FUNCTIONEN ERSTER ORDNUNG. VON M. KRAUSE IN DRESDEN. Das Problem Transformationsgleichungen aufzustellen hat im Falle der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung bisher nur in wenigen Fällen gelöst werden können. Im folgenden soll gezeigt werden, wie auf Grund von Additionstheoremen von der Art, wie sie in § 50 meines Lehrbuchs über die Transformation der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung (Leipzig, 1886) sich finden, mit leichter Mühe Transformationsgleichungen in irrationaler Form aufgestellt werden können und zwar beschrän- ken wir uns hierbei auf den Fall des Grades n = 5. Setzt man : = €g^g^.^a(Vi + gir^i+ g^Ti^, ^2 -l-fl^iTia+flraTsa, /lTu,nT,a,nT2a) ^9x9% ^ > r — A, Ä 80 ergiebt die Verbindung von Gleichung (5) pag. 233 und Gleichung (14) pag. 235 im citierten Werke das Theorem: 2«- n%.((t;<*),m.T)) = 2 n%. p2-*] {{w^^Kn.T)) ... (1), wobei die Beziehungen stattfinden : ^^«•> = a,, . 1»!. 'Sy^^ +««, m, . iS^<« + ..• a^». m,». iSr<*> mod 2n,. Die Grössen S sind willkürliche ganze Zahlen, die Grössen a können die Werte und 1 annehmen, die Grössen a sind ganze Zahlen, die den Gleichungen Genüge leisten: 138 M. KBAUSE. m, . a« . a«i + m, . a« .a« + ... w«. a^. a.^ = 0, e^ «. € = 1, 2, ... m, K = 1, 2, ... m. Es genügt hiernach zur Aufstellung des Additionstheoremes die Kenntnis der Grössen m«, n« und der Zahlen a. In der Bestimmung der letzteren liegt die Schwierigkeit des Problems. Können wir dieselben so bestimmen, dass die Grössen tn« und n, entweder gleich 1 oder gleich n sind, so erhalten wir durch Nullsetzen der Argumente unmittelbar Transformationsgleichun- gen. Wir können aber noch weiter gehen. Die Transformation 2ten, 4ten allgemein 2'1}eQ Grades kann im wesentlichen als gelöst angenommen werden, da hier ein bekannter Algorithmus zum Ziele flihrt. Unter solchen Umständen werden wir auch dann durch Nullsetzen der Argumente zu Transformationsglei* chungen gelangen, wenn die Grössen m, und n, die Werte 2^ und if'n besitzen. Gerade hierfür sollen einige Beispiele angegeben wer- den und zwar beschränken wir uns auf Modulargleichungen. Die Formen, welche diese Gleichungen annehmen, sind, völlig ausgeführt, teilweise umständlicher Natur. Es lassen sich aus ihnen, vor allem mit Hülfe von Substitution halber Perioden, elegantere Darstellungen von Modulargleichungen finden. Es soll das an anderem Orte durchgeführt werden, nur an einem Beispiel soll gezeigt werden, wie die Untersuchung anzustellen ist Die Theoreme lauten nun : 2« . m, ((«w, m.T)) = -Zm, [Ç j ((«»<•>. n.T)) (2). wobei die Grössen m und n die Werte besitzen : und die Grössen w und g aus dem Schema der Grössen a bestimmt sind: 111 3 1-1 5 -5 1. 2V n&. ((«<•', m.T)) - Sm, rÇl ((«;., n.T)) (3), n»! = 1, T», = 5, rn, "s 10 ; n, « 4, n, = 10, n, = 20. HTPERELLIFTISCHE FUNCTIONEN. 139 Das Schema der Gröesen a lautet : 111 5 1-1 5 -8 1. 2» . n^, ((«w, m.T)) = 2IIÄ. [Ç] ({w„ n.T)) (4), m, = l, »n, = 2, TO» = 5, »»4 = 10; rii = 2, n, = 4, n, = 10, n« = 20. Das Schema der Grössen a lautet : 1110 2-1 0-1 6 0-1 1 0-5 2 1. 4«. n&,((»w,»n.T)) = 2n&. [Ç] ((«'„n.T» (5). mi = ?ii2=s7n, — ni4=l, mj = me = 1 ; ni = n,= 2, 7i, = n4 = 4, WB = n5 = 20. Das Schema der Grössen a lautet : 1 1 1 1 -1 1 -1 1 3 1 1 -1 3 1 -1 -1 5 -5 -5 1 5 -5 5 1. Mit diesem Additionstheorem hängt aufs engste das folgende zusammen : 4- . n&, ((»<•', m.T)) = im. [Ç] ((«;<", n.T)) (6). wi| « Ulf = wij = T7I4 = 5, wig = rn^ = 1, tH =s n, = 10, n, = n4 8= 20, n, = n, = 4. Das Schema der Grössen a lautet : 1 ] 5 1 ] — 1 5 3 ] -6 3 ] — 1 -5 1 -] — 1 1 1 -1 1. 140 M. KBAÜSE. 4«. n^. ((»<•>, 7».T)) = 2n^. pÇ"] ((«'<".n.T)) (7). 7ii = n, = 2, n,s=W4 = 4, n8 = Ti, = 10, n7 = n, = 20. Die Zahlen a sind aus dem Schema bekannt : 1 1 1 1 1 1 -1 1 2 -1 -1 — 1 — 1 2 -1 1 — 1 5 -1 — 1 5 -1 -5 -6 2 -5 5 2 1 So könnten wir weiter gehen, indessen mögen diese Beispiele genügen, um die Fruchtbarkeit der Methode klar zu legen. Setzen wir in den Theoremen die Argumente gleich Null, so erhalten wir Modulargleichungen, aus denen nach bekannten Prinzipien neue Gleichungen abgeleitet werden können. Es soll nun an dem ersten Additionstheorem gezeigt werden, wie mit Hülfe der Substitution halber Perioden wesentlich einfiachere Formen erhalten werden können. In der That ausfuhrlicher geschrieben lautet das Additions- theorem : 2« . na. ((!;<•), m.T)) = Sna. [Ç] ((t(;<^ n.T)), Wi « 1, m, » 2, w, = 5 ; ni = 2, n, == 4, ti, = 20, 2W,.« = SVr^» + Vr^ - Vr^ + SOrW + 0^« - OLr^, 2m;,.« = hVr^^ - OVr« + Vr^ + SOr«*» - ÖOr« + OLr^, gr,.w = «,.w + isr^ + 5«,.« mod 4, gr^ = 3«r^» + a?,.« - 5«,.« mod 8, gr^ = 5«r^* - 10«,*** + 5«r^* mod 40. Aus den letzten Congruenzen folgt : flrr^> =Ç mod 4, (^^.w =?^ mod 6, (7,.« =0mod5. HTPKRELLIFTISCHE FUNCTIONEN. 141 Setzen wir an Stelle von : t»,«, t»,» reap. 80 erhalten wir : 2».aa((t»'»,T))Ä,((»»,2T))^„((»«,5T))=2,_/.'"n^.[C]((w"»,».T)). Genau so wird : 2».^„((t;«.T))V(''«.2T))^„((t;»,5T))=2,_ü''.'"nä,pJ]((«;">.n.T)). 2'.&,((t»«,T))^,((«».2T))Ä.((«»,5T)) Setzen wir daher : /i = &. ((»«, 2t)) 2^. ((»<», t)) S^<. ((t;», 5t)). a = 5. 12, 34. 0. SO WIPQ ! 2^/,-2^a.[9<')]((t(;(^n.T)) (8), wobei die Grössen g« ganze Zahlen sind, die den Congruenzen Genüge leisten: 9^« = 8^ mod 2, gr^** + ^ = mod 4, g^^ = mod 5. o o Diese Form ist schon bedeutend einfacher, wie die ursprüng- liche, wir können aber noch einen Schritt weiter gehen. Wir setzen an Stelle von: Vi^, Vi^, Vi», Vi^\ Vi^^\ Vi^ resp. so ändern sich Wi^\ w,^*» resp. um 2tu, 2T,a. Unter solchen Umständen erhalten wir : 2^/,-2(>«-.'^+-t^*+-«^ ns^.[9<')] ((«;<•), n.T)) (9), wobei gesetzt ist : /, - a«((t;«, 2t)) 2 ± a». {(v^K 0)^0, ((t;«, 5t)), o, = Ol, 02, 2, 1, und das negative Zeichen fUr Oi = 02, 1, das positive fur Oi = Ol, 2 zu wählen ist 142 M. KRAUSE. Genau so wird : 2*./, = 2(-x)-"^+-^+-^ nS^.[8^'^]((«'<^n.T)) ... (10), wobei gesetzt ist : /. = ^4 ((««, 2t)) 2 ± ^o. ((«w, t)) »o. ((t;«, 5t)), o, = 4, 03, 3, 04, und das negative Zeichen für o, = 3, 04, das positive für o, => 4, 03 zu setzen ist. Ebenso folgt : 2^/4 = 2,-,)-»'^+-^+->^+-*'^+-^+-*'* na. [y^'O {(wi^K n.T))... (11), wobei gesetzt ist : A = a» ((««. 2t)) 2 ± a«, ((t;^^ t)) a«. ((t;«, 5t)), o, = 23, 13, 24, 14, und das negative Zeichen für o,— 13, 24, das positive für O) SS 23, 14 zu nehmen ist. Aus den erhaltenen Gleichungen folgt : 4(/i-/.-/.+/4) = 2'na.[srW]((t(;W,n.T)) (12), wobei der Strich an der Summe bedeutet, dass nur über diejeni- gen a zu summieren ist, für welche sowohl : ai^ï+axW + ai«, als auch : ungerade Zahlen sind. Es ist dieses die Schlussform, die wir erhalten wollten. Setzen wir die Argumente gleich Null, so erhalten wir eine Modulargleichung, welche das Analogon zu der bekannten Modulargleichung der elliptischen Functionen ist : a,(0,2TX&,(0,T)a,(0,5T)+ao(0,T)ao(0,5T))-.a,(0,2T)a,(0,T)a.(0,5T) = 2ao(0,2T)ao(0,4T) V0,20r). Dresden, Juli^ 1893. CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LA MESURE DE LA SIMPLICITÉ DANS LES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET APPLICATION À L'ÉVALUATION THÉORIQUE DE LA SIMPLICITÉ DES TRACÉS GÉOMÉTRIQUES, OU GÊOMÉTROGRAPHIE. PAR EMILE LEMOINE k PARIS. I. Une vérité mathématique n'est ni simple ni compliquée en soi, elle est. Ce qui nous fait la regarder comme simple ou comme compliquée, c'est le chemin court ou long que notre esprit, en partant de vérités expérimentales, de notions élémentaires ou d'axiomes admis — dénominations qui, au fond, à mon avis, repré- sentent exactement la même chose — a dû parcourir pour y arriver. Il me semble qu'il serait fort intéressant d'étudier ces voies et d'évaluer la longueur de celle qui est nécessaire, à un moment du développement scientifique de l'esprit humain, pour arriver à la connaissance d'une vérité mathématique quelconque. Le moyen que nous allons indiquer pour cela, est (àcile à employer, mais l'œuvre exigerait un travail considérable, si l'on voulait qu'elle soit achevée; nous nous proposons, dans ce travail, d'appliquer ridée théorique qui nous guide à un petit domaine de la con- naissance: Vitvde des tracés géométriques et de montrer l'importance et ïinaUendu des résultats pratiques qui sortiront d'une étude toute spéculative. Avant d'aborder notre sujet nous voulons cependant exposer brièvement quelques considérations généralea Soient Ä, B, C, etc. les vérités expérimentales ou notions élémen- taires admises comme base d'une science mathématique déterminée, laquelle doit s'en déduire ensuite par raisonnements. Tous les théorèmes qui constituent cette science se déduiront de Ä,B,C, ,,. par voie syllogistique, voie qui, débarrassée de l'appareil de la logique scolastique du moyen âge, est la seule admise da^s une science m^aihémcUiqiis. 144 EMILE LEMOINE. Les théorèmes qui dépendent imfnédiatement de Ä, B, C ... seront dits du premier ordre; ceux qui ne dépendent que de A,B,C ... et de ceux du premier ordre seront dits du second ordre etc. Ceux qui ne dépendent que de ^, £, (7 ... et de ceux d'ordre n et d'ordre plus petit que n, seront dits du {n + 1)™® ordre. Dans le tableau général d'une science maMnujJtique, nous dirons que la simplicité absolue d'une proposition ne dépend que de son ordre, et que la simplicité relative ne dépend, quel que soit son ordre, que du nombre d'éléments syllogistiques — éléments que nous définirons plus loin — qu'il a fallu pour l'établir, en comptant alors tout théorème précédemment démontré comme s'il était une iwtion élémentaire. Il est évident que l'on peut déduire de là un moyen d'apprécier la valeur didactique des méthodes employées pour l'exposition d'une science mathématique et, jusqu'à un cer- tain point, une sorte d'échelle d'avancement de cette science. Tout cela est, comme l'on voit, fort simple en théorie, mais se complique singulièrement dès qu'on veut l'appliquer. Il faut d'abord réduire la démonstration de chaque théorème à une déduction n'employant que des syllogismes simples, des sorites, des poly syllogismes et ce n'est pas ainsi, du moins dans la forme, que procède le langage mathématique. Prenons pour exemple le premier théorème de la Géométrie, (ordre d'exposition adopté par Legendre). Voici la démonstration textuelle que nous trouvons dans le Traité de géométrie élémentaire de MM. Rouché et de Combe- rousse (6"® édition, 1891, page 7), traité très universellement suivi en France. " Par un point A, pris sur une droite DC, on peut toujours élever une perpendiculaire AB sur cette droite et on ne peut en élever qu'une. A Fig. 1. En effet supposons qu'une droite AE fig. (1) d'abord appliquée sur AC, tourne autour du point A dans le sens de la flèche. GÉOMÉTROGBAPHIE. 145 L'angle EAC, nul au début, croîtra constamment, tandis que l'angle adjacent EAD diminuera sans cesse et finira par s'annuler lorsque la droite viendra s'appliquer sur AD. Donc Tangle EACy d'abord inférieur à l'angle EAD, diflfôrera de moins en moins de cet angle, lui deviendra égal, puis le surpassera de plus en plus. D'après cela, parmi les positions successives de la droite AE, il y en aura une, et une seule, AB, pour laquelle les angles adja- cents BAC, BAD seront égaux, c'est-à-dire pour laquelle cette droite sera pei'pendiculaire sur DC" Voici maintenant cette démonstration mise sous forme syllogis- tique. J'imagine une droite AE d'abord appliquée sur AC et je suppose que cette droite tourne autour du point A dans le sens de la fièche; je considère à chaque instant du mouvement les deux angles EAC, EAD. l^ Prémisse. Lorsque deux quantités ou grandeurs qui varient en meine temps d! une façon continue, sont telles que la première, partant de zéro, croît constamment, tandis que la seconde décroit constam- ment et arrive à zéro, il y a toujours une valeur et une seule pour laquelle les deux quantités sont égales. 2™« Prémisse. Les angles EAC, EAD sont deux grandeurs remplissant ces conditions. Conclusion. Donc : Il y a toujours une position AB de AE pour laquelle les deux angles sont égaux et cette position est unique. C. q. f. d. La démonstration précédente comprend, comme toutes les démonstrations géométriques mises sous la forme syllogistique, deux parties bien distinctes, que j'appelle P et P\ Dans P, on constate ou l'on vérifie que les données se trouvent dans certaines conditions, après avoir fait certaines hypothèses ou certaines constructions auxiliaires. Dans P*, ces conditions constatées, l'on se sert de prémisses desquelles on conclut le théorème cherché, soit par un syllogisme simple, soit par une suite de syllogismes. En ramenant ainsi les démonstrations à la forme syllogis- C. P. 10 146 EMILE LEMOIXE. tique» on voit d'une façon très claire quels sont les objets mathé- matiques dont il faut avoir les définitions et quelles sont les notions élémentaires que Ton admet, définitions et notions qui forment la base de la science. Dans l'exemple que nous venons de traiter, la partie P montre que l'on admet une définition du point, de la ligne droite^ de l'angle et que l'on accepte comme notion élémentaire l'idée de mouvement et celle de continuité. La partie P" est un simple syllogisme dont le premier terme est la notion élémentaire : ** Lorsque deux quantités ou grandeurs etc." La simplicité absolue ou Vordre de la proposition démontrée est évidemment 1; cherchons sa simplicité relative. Nous avons dit que la simplicité relative d'une proposition dépend du nombre d'éléments syllogistiques qu'il a fallu pour l'établir, mais nous n'avons pas défini ce que nous appelons un élément syUogistique. J'appelle élément syUogistique une quelconque des parties con- stitutives d'un syllogisme simple ou composé et aussi chaque constatation nécessaire pour ramener les données à entrer dans le syllogisme. Dans l'exemple que nous venons de donner la partie P: "J'imagine une droite ÄE d'abord appliquée etc." comptera pour un élément syUogistique puisque c'est une simple constatation. La partie P", qui est un syllogisme simple, comptera pour 3, puisque le syllogisme simple comprend trois éléments savoir: deux prémisses et une conclusion. La simplicité relative de la proposition démontrée est donc 4. Ce qui précède est fort simple mais, quoique le développement de ridée que nous avons émise complique rapidement les choses, cela suffit pour montrer clairement la marche à suivre et c'est tout ce que nous voulons faire ici. OéoMÉTROQRAPHIE OU ART DES CONSTRUCTIONS QÉOMÉTRIQUES. II. Une idée analogue à celle que nous venons de résumer pour l'étude des raisonnements dans les sciences mathématiques, donne lieu à un moyen très simple de comparer entre eux, à un point de vue spéculatif, les tracés géométriques, et conduit à une OEOMirrBOGRAPHIE. 147 sorte d'ëvaluation de leur simplicité et de la probabilité de leur exactitude dont la pratique peut profiter d'une façon certainement inattendue, puisque nous allons montrer par son intermédiaire que les traces donnés séculairement dans toutes les geometries élémen- taires depuis les Grecs, sont trop compliqués et que nous en donnerons de plus simples, même pour mener par un point une parallèle à une droite. Pour établir notre théorie nous nous plaçons à un point de vue tout à fait spéculatif; nous n'avons nullement la pensée — que nous croyons du reste impossible à réaliser — de suivre la pratique manuelle du tracé, nous faisons des conventions particulières, nous admettons des hypothèses avec lesquelles nous édifions la Oéomé- trographie. De même que des conventions et des hypothèses ont permis de créer la Mécanique rationnelle qui, quoique toute spécu- lative par rapport à Tart de l'ingénieur, vient cependant souvent guider le praticien, de même — si parva licet componere magnis — la Oiomitrographie spéculative guidera utilement celui qui trace une épure. Jusqu'ici en Géométrie on ne s'est occupé que de la simplicité de Vénoncé d'une construction ; au point de vue de l'exposition de la Géométrie c'est ce qu'il faut évidemment continuer à faire; nous n'avons point d'autre idéal à proposer, et si par exemple, étant donné une figure dans laquelle il existe deux points A et B (déterminés théoriquement quand la figure à laquelle ils appar- tiennent est donnée, mais qui soient compliqués à fixer le compas à la main), l'on cherche un certain point inconnu N nous dirons bien que la solution est simple didactiquement si le géomètre nous démontre que N est au milieu de AB, mais la fixation de ce point N en partant des données, peut être fort compliquée s'il ûiut d'abord laborieusement placer les points A et B considérés comme donnés parce que l'on sait qu'il est possible de les déterminer. L'on s'est toujours occupé de ce genre de simplicité, jamais de celle du tracé réel et c'est elle que nous envisageons exclusivement ici Nous la considérons, d'ailleurs, avons-nous dit, à un point de vue tout spéculatif puisque nous supposons tous les tracés de droites et de cercles également faciles, c'est notre hypothèse fondamentale et elle implique que les instruments sont aussi petits ou aussi grands qu'il est nécessaire, que la feuille d 'épure a aussi toujours les dimensions qui sont utiles, que les points 10—2 148 EMILE LEMOINE. déterminés par Tintersection de deux lignes sont aussi bien déterminés lorsque Tangle de ces deux lignes est très aigu que lorsqu'il est droit ; nous ne compterons pas différemment une très petite portion tracée de droite ou une très grande, un petit arc ou le cercle tout entier. Donnons maintenant le très court exposé de notre théorie. Avec une règle, au point de vue du tracé, on ne peut faire que deux opérations élémentaires: 1^ Faire passer le bord de la règle par un point; c'est une opération que je désignerai par Ri] faire passer le bord de la règle par deux points donnés sera alors: 2i2i. 2® Tracer la droite, ce sera l'opération : R^. De même avec un compas on ne peut faire que trois opérations élémentaires: 1^ Mettre une pointe en un point donné, opération que nous appelons Ci, 2® Mettre une pointe en un point indéterminé d'une ligne tracée, opération : C,. 3® Tracer le cercle, opération : 0,. Il suit de là que toute construction de la Géométrie canonique des Grecs, c'est-à-dire de la droite et du cercle ou de la règle et du compas se résumera par le symbole : op. (kRi + lA + lA + lA + IA\ op. désignant, pour abréger, le mot opération. Les opérations Ri, Ci, C, sont les opérations de préparation, R^, C, les opérations de tracé. Cela posé : le nombre ii + îj + /j + ^ + ht ou le nombre total dopéraUons élémentaires, sera ce que nous appelons le coefficient de simplicité, ou pour abréger: la simplicité. Nous appuyons encore sur ce point, qu'il ne s'agit que d'une appréciation particulière et spéculative, car les opérations Ri, R^, Cl, Cj, Oj sont des unités différentes et irréductibles entre elles, non susceptibles d'être évaluées en fonction d'une d'entre elles ; et il est inutile, à notre point de vue, de savoir si jK, est praJtiquement plus simple ou moins simple que C^ : cela, au fond, n'a même pas de sens, car la chose dépend, le compas et la règle à la main, des conditions particulières de chaque tracé. Le nombre ^ + (,4-/4 sera dit : coefficient cCexactitude, ou pour abréger: exax^ude, car on GÉOMÉTROGRAPHIB. 149 voit &cilement, en y rëfléchissant un peu, que l'exactitude du trace ne dépend en réalité que des opérations de préparation -ßi. Cl, C,. ij, 2s seront respectivement le nombre de droites et le nombre de cercles tracés. Il serait peut être plus logique de dire que ii + /j + 4 + ^4 + ^s et il + i, + Z4 sont les coefficients de complication et d'inexactitude: mais comme il ne s'agit que de mots, que d'ailleurs les résultats cherchés sont la simplicité et l'exactitude, nous avons préféré le rappeler par les dénominations. Pour appliquer facilement et rapidement ces considérations à l'analyse d'une construction, on étudie, une fois pour toutes, les quelques constructions fondamentales de la Géométrie qui se répètent constamment dans les constructions, et l'on détermine leur symbole. Ce sont ces symboles, simplifiés fréquemment par l'emploi de lignes déjà tracées sur l'épure, qui servent à déterminer le symbole total d'une construction donnée. La pratique de la Géomârographie m'a fait reconnaître avec la plus grande surprise que les constructions fondamentales univer- sellement adoptées depuis les Grecs dans tous les ouvrages didac- tiques étaient trop compliquées. Je les ai reprises et j'en ai trouvé de plus simples, quelques-unes de peu, d'autres de plus de moitié. Je ne pourrais, sans augmenter d'une façon démesurée l'étendue de ce mémoire, faire ici l'étude complète de la question, mais je vais donner quelques exemples qui permettront au lecteur de fixer son opinion. I. Tmcer une droite quelconque op. (Ai). II. Tra^cer une droite par un point donné. op. (Ai -h 12,). III. Tracer une droite par deux points donnés. . .op. (2-Bi -h R^). IV. Tracer un cercle quelconque op. (Ci). V. Tracer un cercle quelconque de centre donné op. ((7,-1- C,). VI. Prendre avec le compas une longueur donnée AB op. (2(7i) puisque c'est mettre une pointe en A, l'autre en B ; nous ferons remarquer à ce propos que ce n'est pas la même chose pratique- ment de mettre une pointe en A et l'autre pointe en B lorsque la première est maintenue en A, mais à notre point de vue spéctUatif c'est toujours dans les deux cas l'opération qui consiste à mettre 150 EMILE LEMOINE. une pointe sur un point donné, nous ne nous occupons pas de la réalisation manuelle. VII. Porter sur une droite donnée à paHir d!un point in- déterminé de cette droite ou à partir â!un point déterminé de cette droite la longueur comprise entre les branches du compas op. (C^+C;) ou op. (Cl + C,). VIII. Porter une longueur donnée (qu'il faut prendre avec le compas) sur une droite donnée à partir d'un point indéterminé de cette droite ou à partir d'un point déterminé de cette droite^..l., op. (2Ci + C; + Ci) ou op. (3Ci + C). IX. D'un point donné comme centre décrire un cercle de rayon donné op. (SCi + C,). Donnons maintenant deux exemples d'une étude de construc- tions fondamentales et de leur simplification possible. 1®. Mener par tm point Ä pris hors d'une droite BC une parallèle à cette droite*. MÉTHODE CLASSIQUE. a. Je décris le cercle Ä (R) qui coupe BC en (7... op. (Ci + C,); je décris le cercle C(R) qui coupe BC en B op. (Ci + Ci); je prends BÄ op. (2Ci); je décris C(jBil)qui coupe A (R) en D du même coté de BC que A op. (Ci + C^)] je trace AD qui est la pai^Uèle cherchée op. (2i2i + 12,). En tout : op. (2Äi + jR, + 5Ci + 30,). Simplicité 11 ; exactitude 7 ; 1 droite, 3 cercles. AUTRE MÉTHODE PLUS SIMPLE. b. Posant une pointe du compas, en n'importe quel point du plan, l'autre en A, je trace 0{0A) op. (Ci + C,); 0(0 A) coupe BC en B et en 0, je prends BA ...op. (2Ci); je trace C(BA) qui coupe (OA) en D du même coté de BC que A op. (Ci + C,); je trace AD qui est la parallèle cherchée op. (2Äi-|- jR,). En tout : op. (222i + JS, + 4Ci + 20,). * Le lecteur est prié de faire, suivant le texte, les figures très simples d'ailleurs que nous considérons. Pour abréger l'écriture nous désignerons par A{R) ou A {BC) la circonférence de centre A et de rayon JR ou de rayon BC, GÉOMÉTKOGRAPHIE. 151 Simplicitë 9 ; exactitude 6 ; 1 droite, 2 cercles : et ce n'est pas, pour ce problème, la seule construction qui existe et qui soit plus simple que la construction classique. 2^ ConstTuire la moyenne proportionnelle entre deux droites données M et N. MÉTHODE CLASSIQUE. €L II y en a plusieurs, mais je choisis la plus simple qui est fondée sur cette proposition : Dans im triangle rectangle la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur Vhypoténuse est moyenne proportionnelle entre les deux segments de l'hypoténuse. Je trace une ligne AB sur laquelle je prends AB = M, BC=N les points A, B, C se succédant dans l'ordre A,B,C op. (Ä, + 5(7i+C, + 2C,); je décris un cercle sur AC diamètre en utilisant, pour prendre le milieu de ^C, la circonférence A (M) tracée pour fixer le point B, Cela fait sur la construction générale une économie de Cl + (7, op. (2Äi + Ä, + 3(71 + 2(7,). Au point B j'élève une perpendiculaire sur AC qui coupe (OC) en D: pour élever cette perpendiculaire économiquement j'ai eu soin en traçant B (N) pour placer (7 de marquer le second point C où B(N) coupe AC; la perpendiculaire est alors obtenue par le symbole op. (2jRi + jB,+ 2(7i + 2(7,); et la moyenne proportionnelle cherchée BD est obtenue, en tout par le symbole : op. (4jRi + 3i2j + 10(7i + (7, + 6(7,). Simplicité 24 ; exactitude 15 ; 3 droites, 6 cercles. Il y a de nombreuses constructions plus simples que la con- struction classique ; nous donnons seulement ici la plus simple de celles que nous connaissons. AUTRE MÉTHODE BEAUCOUP PLUS SIMPLE. & Soit M la plus grande des deux lignes M et N. Je trace une droite quelconque AB op. (A,); A étant un point quelconque sur AB, je trace A (M) qui coupe ^jB en B op. (2(7i + (7, + C,); je trace B(N) qui coupe BA en C entre jB et ^ op. (3(7i + (7,); je trace C{N) qui coupe B(N)enP et Q...op. ((7» + (7,); je trace PQ qui coupe A (M) en H op. (2jRi + iî,); 152 EMILE LEMOINE. BH, qu'il n'y a pas besoin de tracer, est, comme on le voit facilement, la longueur cherchée ; Elle est obtenue par le symbole : op. (2Äi + 2R^ + 6Ci + C, + 30,). Simplicité 14 ; exactitude 9 ; 2 droites, 3 cercles. Il y a encore, comme je l'ai dit, une foule d'autres constructions beaucoup plus simples que les constructions classiques. Elles n'a- vaient pas été remarquées parce qu'elles ne sont pas plus simples à exposer, que les géomètres n'avaient jamais pensé à s'occuper de la simplicité réelle des tracés, et qu'il n'y avait d'ailleurs aucun critérium pour l'apprécier. Nous ne citerons plus qu'un exemple; mais constatons que tow les tracés des constructions fondamentales de la Géométrie ont été simplifiés par notre méthode. Si l'on veut diviser une droite en moyenne et extrême raison, il faut en employant la méthode classique (encore je la suppose conduite économiquement suivant les principes de la Géométro- graphie) il faut, dis-je, pour obtenir les deux solutions, une construction dont le symbole a pour simplicité : 27, et qui exige le tracé de 3 droites et de 8 cercles; nous en avons un grand nombre de plus simples que la construction classique; la plus simple de celles-ci a un symbole dont la simplicité est 13 et qui n'exige que le tracé d'une droite et de 4 cercles ! Ces considérations m'ont conduit à la création d'un art véritable des constructions géométriques qui a ses règles, son élégance propre, et présente un grand intérêt pratique ; c'est son étude qui forme en réalité la Oéométrographie, mais le développe- ment de la question serait trop long à exposer ici. Pour bien montrer la diflTérence essentielle qu'il y a entre la simplicité de l'exposition et la simplicité du tracé, nous citerons encore le fait suivant. Nous avons étudié, à ce nouveau point de vue, quelques solutions du célèbre problème d'Apollonius: Construire une circonférence tangente à trois circonférences données. Parmi elles il y a une magnifique solution due à Bobillier et Oergonne, partout citée avec raison pour son extrême élégance et son ingéniosité; il y en a une autre — c'est la première, je crois, qui fut donnée de ce problème par F. Viète, mais elle est évidemment beaucoup moins belle que celle de Bobillier et Gergonne. Eh bien! au point de vue du tracé, c'est celle de Viète qui, de beaucoup, d'une façon générale, est la 6ÉOMÉTBOQRAPHIE. 153 plus simple et par conséquent la plus exacte quand on a le compas à la main. Je les ai comparées d'abord dans le journal Mathesis 1888, pages 217 — 222; 241 — 244. J'étais alors au commencement de mes études sur ce sujet, et je ne me doutais pas que toutes les constructions fondamentales de la Géométrie étaient largement à simplifier, je n'avais pas, non plus, encore posé les règles de l'art des constructions ; voici les chiffres que j'avais trouvés. Solution de Bobillier et Gergonne : simplicité^ ou nombre de constructions élémentaires: 500; 85 droites, 112 cercles à tracer. Solution de Vie te: simplicité, 335; 55 droites, 84 cercles à tracer. Je suis revenu depuis sur le sujet dans les Nouvelles Annales de Mathématiques 1892, pages 453 et suivantes, et j'ai obtenu Solution de Bobillier et Gergonne: simplicité, 356; 60 droites, 72 cercles à tracer. Solution de Y iète : simplicité, 234 ; 26 droites, 58 cercles à tracer : nombres diminués tous deux par l'application raisonnée de la Géométrographie, mais tous deux restant à peu près dans le même rapport que les deux premiers, La théorie des nombres s'introduit à chaque instant dans la Géométrographie; et, comme la chose peut paraître assez singulière, à priori, je vais en donner un exemple, que l'on rencontre tout au commencement. Si, n étant un nombre quelconque déterminé, 37 par exemple, l'on se propose de tracer une longueur qui soit 37 fois une longueur donnée, on voit immédiatement une solution et l'on trouvera facilement des simplifications à la méthode générale lesquelles amèneront à trouver cette longueur le pltis simplement possible dans le cas de 37, mais qui ne conviendront nullement à résoudre le même problème le pltis simplement possible si n n'est plus 37. Ainsi nous ne connaissons pas de solution générale du problème suivant : Étant donné une longueur ÄB, trouver le plus simplem^ent possible une longueur qui soit n fois AB. Ce problème revient à un problème sur les nombres du même genre, mais plus compliqué que le suivant posé par M. Dellac et qui n'est pas résolu. Quel est le nombre minimum de mtdtipHca- tiens nécessaires pour élever le nombre A à la puissance n ? Nous avons supposé que l'emploi de l'équerre n'était pas 154 EMILE LEMOINE. admis ; si on veut remployer c'est une nouvelle étude à faire, qui, outre les opérations élémentaires de la règle et du compas Rit i2„ Cl, C2, C,, exigera 2 nouveaux symboles, savoir: 2Ri mettre, pour Vuaage de Péquerre, un bord en coïncidence avec une droite ; E faire glisser Téquerre sur la règle jusqu'à ce qu'un de ses côtés passe par un point donné. La Géométrographie comprendra dans son ensemble les divisions suivantes, qui permettront de l'utiliser dans toutes les branches de l'art graphique. 1. Celle de la règle et du compas qui correspond à la géomé- trie canonique des Grecs. 2. Celle où l'on ajoute l'emploi de l'équerre, elle servira surtout à la Géométrie descriptive. 3. Celle de la règle seule. 4. Celle du compas seul. 5. Celle enfin où l'on se permettra l'usage des règles divisées (pour éviter l'introduction de questions de nombres) indispensables dans les questions de statique graphique, par exemple. Refebt : Association française pour V avancement des sciences, 1888, Congrès d*Oran, page 7Ö — 95. Mathesis, 1888, pages 217—222; 241—244. Comptes-rendus des séances de P Académie des sciences^ 16 Juillet, 1888. Journal de Mathématiques élémentaires, rédigé par M. G. de Long- champs, 1889, pages 10—14 ; 33—38. Bulletin de la Société mathématique de France, T. xvi. 1888, pages 162—172; T. xx. 1892, pages 132—150. Nouvelles Annales de AfathefncUiques, 1892, pages 453 — 474. Depuis que cette communication a été faite, il a paru divers mémoires sur le sujet, parmi lesquels je citerai : A Tassociation française pour Tavancement des sciences, ou chez Gauthier-Villars libraire éditeur à Paris: 1892. Congrès de Pau : la Géométrographie. 1893. Congrès de Besançon: Compléments de Géométrographie. 1894. Congrès de Caen : Le rapport anharmonique étudié au point de vue de la Géométrographie et application de la Géométrographie à la Géométrie descriptive. Enfin, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Etude sur le triangle et sur certains points de Géométrographie. RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE ET TRANSFORMATION CONTINUE. PAK EMILE LEMOINE À PARIS. Tous les géomètres ont pu remarquer que, dans un très grand nombre de ca^ un théorème, une formule, se rapportant au triangle, étant donnés, il y avait des théorèmes, des formules analogues paraissant se relier aux premières; il me semble donc étonnant que l'on n'ait jamais songé à chercher si des lois permettaient de déduire ces théorèmes ou ces formules les uns des autres. C'est une de ces lois fort simple, la seule qui nous ait paru avoir vraiment de l'importance, que nous allons donner ici sous le nom de règle des analogies ou de transfomuition continue. Expliquons d'abord les notations dont nous ferons usage. A, B, C; a, b, c désigneront les angles et les côtés d'un triangle ABC; r, r«, r^, r« les rayons des quatre cercles tangents aux trois côtés; 2p, 8^ R, le périmètre, la surface, le rayon du cercle circonscrit ; œ Tangle de Brocard ; S, Sa, S^, Se les quantités 412 + r, 4Ä-ra, 4iR-n, 4jR -rc. Théorème. Si Von a démontré une formule entre les éléments du triangle, par exemple, f{a,b,c,A,B,C,r,ra,ri,,rc, 2p,S,R,S,Sa,St,Sc, û)...) = 0...(1), la formule suivante /(a,-6,-c, -ul, ir-JB, ir-C, r«, r,-rc, -r^, -2(jî-a), -S.-Ä,-Sa,-S,-S„-S,...) = 0...(2) sera également vraie. C'est la formule (2) que nous appellerons la transformée continue en A de la formule (1). Il est évident qu'il y a aussi des transformées continues en B et en C. 156 EMILE LEMOINE. Démonstration, Toute formule (1) entre les éléments d'un triangle revient évidemment à une identité ^(^,jB, C) = entre les trois angles de ce triangle, car si Ton exprime tous les éléments du triangle que contient (1) en fonction de a et des angles A,B,G, puis que Ton remplace dans (1) chaque élément par sa valeur ainsi exprimée, a disparaîtra à cause de l'homogénéité et il restera une formule d'identité ^ {A, B,C)==0 ne contenant que A, B, G. Cela posé il est clair que ^(-4, jB, (7) = restera une identité si l'on remplace A, B, C par trois angles quelconques A\ B^ (7, pourvu que l'on ait -4' +5' + (7 = 7r. Si l'on suppose que A\B , G sont des fonctions de -4, jB, (7 on peut en tirer et en remplaçant dans l'expression des éléments du triangle qui entrent dans (1) A,B,C par ces valeurs, ils deviendront d'autres éléments d'un triangle dont les angles seront A', B\ G\ (1) se transformera donc en une formule où entreront les éléments d'un triangle général dont les angles seront A\ R, C ; ou aura ainsi une nouvelle formule entre les éléments d'un triangle quelconque. Il est clair que cette méthode donne lieu à une variété infinie de transformations, mais nous n'en avons trouvé jusqu'ici qu'une qui soit pratiquement féconde, simple et utile, c'est celle que nous obtenons en posant A^-A' B = ir^E et c'est elle que nous appelons la transformation continue en A, Si l'on posait B^^B' on aurait la transformation continue en B, etc. Il reste à établir que les éléments a,b,c, r^ra^rf^r^y 2p, 2(p-a),2(p-6),2(p-c), S, R, S,««,«^,«^ «, etc. de ABC deviennent alors respectivement a, —6, — c, r«, r, — r«, — r^, — 2(p— a), -22),2(p-c), 2(;>-6), -S, -B, -S«, -S, -«c, -S*, -«, etc. RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 157 La chose est aisée ; en effet, en désignant par x ce que devient œ après transformation, la formule -; — j = 2R (puisque a est la quantité linéaii-e invariable qui disparait) devient . / a^ = 2*^; 6 c donc II devient —12; les formules -. — h= - — Pi=2i2 deviennent sm B sm C h c donc ^r— 7 7ïv=-:— 7 7^= — 2i2: donc 6 et c deviennent sm (tt — B) sm(7r-(7) — 6 et — c. S = ^bc8mÄ donne § = J(— 6).(— c)sin(— ^); donc S de- vient — Ä ; les formules ä =pr = (p — a) ra = (p — 6) r^ = (p — c) r<. montrent que r, ra, r^, Vc deviennent r^, r, — r^, — r^, puisque Ptp — a^p-^b^p — c deviennent évidemment --(p'-a), — p, p — c, J5 — 6. On a cotg û> =5 cotg A + cotg jB + cotg C d'où cofg ü> = cotg (— ^) + cotg (tt — -B) + cotg (tt — (7); donc û> devient — œ etc., etc. Notre théorème se trouve ainsi établi. On peut arriver à la transformation continue par voie géomé- trique, c'est même ainsi que nous y sommes parvenus et c'est aussi de là que nous avons tiré son nom de transformation con- tinue. Nous allons indiquer la méthode. Fig. (1). Fig. (2). Considérons un triangle ABC fig. (1) et une propriété générale quelconque de ce triangle ; elle aura évidemment lieu quelle que soit la position de A sur BA en supposant B, C fixes ainsi que la droite sur laquelle est le point A. Si la droite CA se meut dans le sens CBA en tournant autour du point C, après que CA sera 158 EMILE LEMOIXE. devenue parallèle à BÄ, A se trouvera au-dessous de CB comme dans la figure (2) et la propriété générale du triangle ABC fig. (1) appartiendra certainement aussi au triangle ABG fig. (2). Seulement les noms des éléments considérés par rapport à la figure (1) ipQfwrTfmt être changés dans la figure (2). Cela devient évident par continuité. Ainsi, par exemple, ce qui est l'angle G du triangle de la figure (1) sera par continuité vr — (7 du triangle de la figure (2), ce qui est l'angle B du triangle de la figure (1) sera TT — £ du triangle de la figure (2), le rayon r du cercle inscrit du triangle de la figure (1) deviendra par continuité le rayon r« du cercle exînscrit tangent au côté BO et au prolongement des deux autres, du triangle de la figure (2) etc., etc. Il suit de là qu'une propriété générale de la figure (1) qui est également une propriété générale de la figure (2), puisque c'est une propriété générale du triangle, pourra avoir un autre énoncé dans le cas de la figure (1) que dans le cas de la figure (2). Il serait très facile d'établir que la loi de dérivation ainsi obtenue est précisément celle que nous venons d'établir analyti- quement sous le nom de iTan8f(yrm(üi(m contintie. Nous n'avons parlé d'abord que de transformation de formules, mais il est évident par tout ce qui précède, que les énoncés des théorèmes non réduits en formules peuvent subir une transformation iden- tique. Il n'y a pas à insister là-dessus. Nous allons donner quelques exemples qui montreront l'usage et la fécondité de notre transformation: nous ferons remarquer aussi qu'une formule à laquelle on fait subir la transformation continue se reproduit quelquefois identiquement; ainsi: a = bcosC + ccosB: — — t^"-- — ï5= -v— 7s=2iî etc., etc. sm A sm ß sinC Les formules ci-dessous donnent par transformation continue en A respectivement les formules: {h-c){C''à){a-h)^'^{ri,^rc){r^-ra){ra-ri) (b-c)(c + a)(a+b) = -pf-{n-rc)(n + r)(rc+r) ara + tr^ + crc= 2p (2i2- r) ar-h tr^ -h cr^ = 2 (p- a)(2i2 + r«) artre + brera + cran-^SS anr« -h ^rr^ -h erre = 2^8« REGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 159 -ar«» + 6re* + cr6» = 2 (p-a) [2RSa-(p - af] aW + fcVfc» + cVe« « 8p« [8i? - 2Rr + 3r« - ^] -a*r«» + 6Vc« + cV6»«8(|)-a)»[8i? + 2i2ra + 3ra"-0>-a)»] »•a' + r6« + rc»=S»-12i2p^ -r» + V + n» = S««-12iî(|)-a)» Tjr, r^r« ror> o r^r» rr^ rrc a o» + i» + c» = 2p ly + 6i2r - 3rS] - a' + 6» + c* = 2 0> - o) [(j> - a)« - 6Är„ + 3ra«a] 2o(j>-a)=2rS op + 6(j)-c) + cO>-6) = 2rA 2o»(p-o)' = 2r»(S»-i)') ay + 6» (p - c)» + c« (|) - 6)« = 2r«' [S.» - 0> - a)«] COS-4+C08 5+COsC=l+-p COSil — cos5 — COSCssl — ^ 2(i)-6)(i>-c)cosil=J(p«-i28) (p-b)(jp-c)cosA+p(p-b)co8B'\'C(p-c)cosC^^[RBa-{p-ay]. Ces formules, prises au hasard parmi un très grand nombre d'autres que nous avons données dans de précédents mémoires, suffisent pour montrer la facilité avec laquelle notre transforma- tion donne de nouveaux résultats dont beaucoup auraient été, sans elle, bien difficiles à prévoir. Ce que nous avons dit suppose implicitement que les éléments de la formule que l'on traite par transformation continue, sont déterminés sans ambiguité possible, c'est-à-dire qu'ils ne contien- nent point de radicaux, car ces radicaux entraînent analytique- ment un double signe; s'il y a des radicaux dans l'expression considérée il faut discuter le cas particulier qui se présente ; ainsi, la formule sin — = W^^- ^A£ 1 semble donner par trans- formation continue en A: — sin -^ = a/ ^ j^ -, ce qui serait inexact, mais le radical comportant implicitement le double signe. 160 EMILE LEMOINE, la transfcTTnation continue en A correspond ici au signe — et Ton a eflFecti vement sin f — y j = — a/ \£J!_Za£J!L_/ . Par rapport à la transformation continue les points remar- quables, droites, courbes, formules, théorèmes relatifs au triangle se divisent en quatre catégories : 1^ La transformation continue faite en il, en 5 et en C les reproduit sans modification, comme nous l'avons déjà remarqué. Exemples: le point de Lemoine*, la formule a^icosC + ccosjB, etc. 2^. La transformation faite en il, en £ ou en C donne des résultats diflFérents entre eux et diflFérents du premier. Exemples : le point dont les coordonnées normales sont 6 + c, C'\'ata-\-h donne ainsi que nous le verrons plus loin respective- ment les points dont les coordonnées normales sont & + c, a^c, a — 6;6 — c, a+c, 6 — a;c — ft, c— a, a-h6. Ce sont les trans- formés continus en -4, en jB et en C du point donné 6-h c, c + a, a + ft. ara + 6^6 + cr« = 2p {2R — r), qui donne respectivement : ar + 6re -h CTft = 2 (p - a) (2Ä + r«) ar« + 6r -h CTa = 2 (p - 1) (2r -t- r^) an + tn-h cr = 2 (p - c){2R + n). Les 13 formules citées plus haut comme exemples donnent aussi chacune trois autres formules par transformation continue. 3^ La transformation continue faite soit en A^ soit en B, soit en C reproduit une fois sans modification le point, la formule etc. Les deux autres donnent toutes deux un résultat pareil, mais différent du point, de la formule etc. sur lesquels on opère la transformation. Exemple: la formule (6 — c)rftrc = S(re,— n) se reproduit par transformation continue en A et, par transformation continus soit en B, soit en C, elle donne : (b + c)rra-S(r'\'ra). * On appeUe point de Le moine le point dont les distances aux trois oôtës d'an triangle sont proportionnelles à ces côtés. RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 161 4^ La transfomuUûm continue faite soit en Ä, soit en B, soit en C donne un même résultat mais différent de celui que Ton transforme. Exemple: le point dont les coordonnées normales sont sin (J. + 60), sin (jB + 60), sin ((7+60) devient par les trois tra/ns- Jbrmaiûms continues en A^ en B, en (71e point dont les coordonnées normales sont sin (il -60), sin (5 -60), sin ((7 -60). (Voir plus loin la définition du point traneforrni continu d'un point donné.) Je n'ai point rencontré de cas où la tranaformatùm continue donne des combinaisons autres de résultats, comme serait celle-ci par exemple : La formule se reproduit par une des transformations et par les deux autres donne des résultats différents et différents entre eux. Nouvelle transformation analytique déduite de la transformation continue. Supposons que les coordonnées normales absolues d'un point M soient exprimées par les fonctions ^i, ^, ^, ABC étant le triangle de référence. On aura : a^i + ft^ + c^s'^S/S (8). Appelons ^a> ^aa* 0sa ce que deviennent respectivement ^, ^, ^ par transformation continue en A. Appliquons maintenant la transformation continua en il à l'égalité précédente (3), on aura: aia - bM - c^ = - 2Ä Cette égalité prouve qu'il y a un point dont les coordonnées normales absolues sont — ^ui, ^ao» ^- Ce point Ma est ce que nous appelons le point transformé continu en A de M. On déduit de ce qui précède : Si l'on a une équation en coordonnées normales : ^(a?,y,-?, a,i,c,...) = 0, sa transformée continue en A sera : ^(-ic,y,-r, a, -J,-c, ...) = 0. Si des calculs opérés avec diverses équations ont conduit à un certain théorème, les diverses équations de ce calcul transformées C. p. 11 162 EMILE LEMOIXK en A conduiront directement à la démonstration de ce théorème transformé en A. Il est clair qu'il n*est nullement besoin de passer par ces transformations successives et qu'il suffit d'opérer la transformation sur le résultat final. Si Ton emploie les coordonnées barycentriques on verra facile- ment que Ma, transformé continu en A du point M, qui a pour coordonnées barycentriques -^i, -^j, -^j, aura pour coordonnées '^lat '^M* V^sa en désignant par -^la. '^m» '^aa ce que deviennent "^ij "^j» "^8 par transformatiœi continue en A et aussi que l'équa- tion -f (a,Ä7, a,6,c, ...) = aura pour transformée continue en A -^ (cl, ß, % a, - 6, - c, ...) = 0. En coordonnées cartésiennes (CB axe des x, CA axe des y) le point transformé continu Ma du point M dont les coor- données sont X, Y aura pour coordonnées Xa, — Ta en désignant par Xa, Y a ce que deviennent les fonctions X, F en y faisant la transformation continue en A, L'équation jP(Z, F,a,6,c,...) = devient i^'CZ,- F, a,- 6,-c)=0. Remarquons encore qu'un point M simplement marqué sur le plan n'a pas de transformé continu, cela n'a pas de sens, il faut que l'on donne ses coordonnées en fonction des éléments du triangle ; il ne peut donc y avoir de construction générale pour déduire Ma de if ; la construction dépend, dans chaque cas, exclusivement des fonctions qui définissent les coordonnées de M, Voici les principales propriétés générales, faciles à démontrer, de la transformation continue \ quelques-unes rentrent l'une dans l'autre. 1. La droite de l'infini a pour transformée la droite de l'infini. 2. Les ombilics du plan se transforment l'un dans l'autre. 3. Le degré d'une courbe ainsi que sa classe se conservent. 4. Un cercle, une parabole ont pour transformés un cercle, une parabole. 5. Les transformées des tangentes à une courbe sont les tangentes à la courbe transformée au point transformé du point de contact ; d'où les droites qui enveloppent une courbe se trans- forment en droites qui enveloppent la transformée de la courbe. RÈGLE DES ANALOGIES DANS LE TRIANGLE. 163 6. Si n droites concourent en V leurs transformées concourent en Va transformé de V. 7. Si n points sont sur une droite L les transformés de ces n points sont sur La transformée de L. 8. Si les longueurs de deux droites ou les valeurs des tangentes de deux angles sont dans un rapport numérique in- dépendant des éléments du triangle de référence, ce rapport se conservera dans la transformation. 9. Les divisions harmoniques, l'homographie, Thomologie, Tinvolution, Torthologie se conservent. 10. Des droites parallèles ou perpendiculaires se trans- forment en droites parallèles ou perpendiculaires. 11. Les foyers ou les sommets d'une courbe se transforment en les foyers ou en les sommets de la transformée. 12. Les valeurs des rapports anharmoniqucs des divisions transformées se déduisent par transformation continue des valeurs des rapports anharmoniques des divisions données. 13. La polaire d'un point par rapport à une conique se trans- forme en la polaire du point transformé par rapport à la conique transformée. 14. La distance de deux points transformés, la distance d'un point transformé à une droite transformée se déduisent par trans- formation continue de la distance des deux points donnés ou de la distance du point donné à la droite donnée, etc. Nous concluons de ce qui précède que toutes les fois qu'un géomètre fera un travail sur le triangle et qu'il aura trouvé un résultat, il devra y appliquer la transformation continue car il y trouvera souvent l'avantage d'arriver, sans aucune peine, à de nouvelles propriétés, quelquefois assez difficiles à prévoir. Exemples : 1"^. M. Fuhrmann a donné dans le journal Mathesis 1890, p. 105 un très intéressant travail sur un cercle associé à un triangle où il énonce de nombreuses propriétés fort curieuses de ce nouveau cercle ; la transformation continue montre immédiate- ment qu'il y a trois autres cercles qui jouissent de propriétés analogues et auxquels le mémoire en entier peut être appliqué avec les modifications indiquées par la transformation continue. 2**. Par un point du plan d'un triangle ABC je mène les antiparallèles à BC, CA, AB qui coupent respectivement BC, CA, AB en 3 points et les autres côtés en 6 points. On a ce théorème: 11—2 164 EMILE LEMOINE. 8% est le point dont les coordonnées normales sont ara (2i2 - r«), ftr^ (2i2 - n), cr« {2R - r^ les 6 points considérés forment un hexagone dont les côtés sont tangents au cercle inscrit de ABC. (Voir Bulletin de la Société mathématique de France, Tome xiv., page 122, Problème VüL) Par transformation continue en A on voit immédia;tement que : Si est le point dont les coordonnées normales sont - ar {2R + r), 6r, (2Ä - r^), cr^ (2R - n), Ze9 6 points forment un hexagone dont les côtés sont ta/ngents au cercle ex-inscrit de ABC qui est tangent à BC et au prolongement des deux autres côtés. 3^ Si Ton suppose démontrée la formule p (2a -p) = rarft + rare- rjre, on en tire immédiatement par transformation continue en A la formule jp> — a' = rr^ + rr^ + r^Tc etc., eta La transformation continue s'applique au tétraèdre, nous n'indiquerons que la transformation fondamentale dont tout dérive. Si dans une formule quelconque représentant une propriété générale d'un tétraèdre dont nmts appellerons a, a' ; 6, b' ; c, c les trois couples cCarétes opposées, on laisse a, b, c, arêtes d!une même face, invariables, et que Von change a', b', c' respectivement en — a', — V, — c', la nouvelle formule sera encore exacte. Refebt : É. Lemoîne, Congrès de Marseille, association française pour ravancement des sciences, 1891, pages 118 — 130. Congrès de Besançon, association française etc, 1893, Äpplicationau tétraèdre de la transformation continus. „ Mathesis, 1892, pages ö8— 64, 81—92. „ Nouvelles Annales de Mathématiques, pages 20 — 36, 1893. „ Journal de Mathématiques élémentaires, publié par M. de Longchamps, 1892, pages 62, 91, 103. A. Poulain, Journal de Mathématiques élémentaires, publié par M. de Longchamps, 1892, pages 110, 136, 151. Ch. Michel, Journal de Mathématiques élémentaires, publié par M. de Longchamps, 1893, pages 29—33. SUR UNE INTÉGRALE DÉFINIE QUI REPRÉ- SENTE LA FONCTION { («) DE RIEMANN. PAR M. LERCH À PRAOÜE-VINOHRADY. La. sërie infinie r(»)=i+^.+|+^.+ convergente lorsque la partie réelle de s est supérieure à un, est l'élément d'une fonction uniforme ^(s) qui existe dans tout le plan de la variable s. Pour l'obtenir sous la forme d'une intégrale toujours convergente observons d'abord que l'on a r(*)=x(.)+\<:^^-H^g+^+ ou bien (a) f(*) = j^X(«), OÙ l'on a posé, pour abréger, (6) x(,) = l+I + l + l + ^. + Cela étant, il suffit évidemment d'exprimer la fonction X(«) sous la forme voulue pour parvenir à notre but ; on y parvient à l'aide de la formule que nous avons donnée dans un mémoire tchèque publié dans les Mémoires de l'académie tchèque 1892. En y prenant a? = et w = J, le premier membre devient 2*X(ä) et l'on a, par consé- quent. (c) X(^) = -e-*-V.2^. {z-'^ydz 1+16-' La convergence de l'intégrale exige que la partie réelle de s soit supérieure à un, mais il est aisé d'en tirer une intégrale 166 M. LERCH. toujours convergente. Décomposons en eflTet l'intervalle de Tintë- gration (—00.. .00) en deux autres (— 00...O) et (O...00) et observons que l'on a rO ('-tI dz .ssC*^ l + ie-' 1 + tV ' 1— • (-t)" {'{'-tT^ 8—1 Jo 1 — te* En substituant la somme de ces deux integrales dans la formule (c) il vient «-1 27riJo ^ Thm? 1-iV / (22: zir ou en changeant -? en -^ : Or rintëgrale 1 qui figure au second membre pouvant s'écrire J /: o—isan I • / aimretffz ^- _ g . r* (^f' + l) ^ (sin (ggrc^^:) — ^'* cos (sarctgz)) , OU de même, après la substitution z « tg, w ^. r* sin «A -e*'^* COS«* ^_« . j. l'équation (d) deviendra V ce qui est la formule à laquelle nous voulions parvenir. ON THE DEFINITIONS OF THE TRIGONO- METRIC FUNCTIONS. THE PRINCIPLES OF THE ELLIPTIC AND HYPERBOLIC ANALYSIS. BY ALEXANDER MACFARLANE op AUSTIN. [These two papers have since been published as separate pamphlets by the author. No abstracts have been furnished for publication here. Editors.] ON FIFTH-POWER NUMBERS WHOSE SUM IS A FIFTH POWER. BY ARTEMAS MARTIN op WASHINGTON. It is known that the sum of two fifth-power numbers cannot be a rational fifth power, but, so far as the present writer knows, it has not been proved that the sum of three, of four, and of five fifth-power numbers cannot be a fifth power. The writer, however, has not been able to discover fewer than six fifth-power numbers whose sum is a fifth power, and thus far has succeeded in finding only two such sets, although probably many exist. In the present state of algebraic science, fifth-power numbers whose sum is a fifth power can be most easily found by resorting to some artifice or some tentative process, two of which methods it is the object of this paper to present. 1. Take any two numbers p and q and put jj^-^^^d; then, by transposition ^ + d^I^ (A). Now if d can in any way be separated into fifth-power numbers, all different and p^ not among them, we shall obviously have g* + (these fifth-power numbers) = p^ (B). Examples, 1. In (A), take p = 12, g = ll; then we have d = 87781=:9» + 7» + 6»+5» + 4»; therefore by (B), 4» + 5» -h 6» + 7» + 9» + 11» = 12», six fifth-power numbers whose sum is a fifth power. 2. Take ;> = 30, g = 29 ; then d = 3788851 = 19» -h 16» + 11» + 10» + 5» ; therefore 5» + 10» + 11» + 16» -h 19» + 29» = 30», another set of six fifth-power numbers whose sum is a fifth power. ON FIFTH-POWER NUMBERS. 169 3. Take ;> = 32, g = 31 . then d = 4925281 = 18» + 16» + 15» + 14» + 13» + 11' + 10» + 8» + 7» + 6»+ 3»; therefore 3» + 6» + 7» + 8» + 10» + ll» + 13» + 14»+15» + 16» + 18» + 31» = 32», twelve fifth-power numbers whose sum is a fifth power. 4. Take jp = 20, g = 19 ; then d = 723901 =13» + 12» + 9» + 8»+ 6» + 5»+ 4» + 2»+ 1»+1»; therefore 1» + 1» + 2» + 4» + 5» + 6» + 8» + 9» + 1 2» + 1 3» + 1 9» = 20», in which 1» appears twice, a remarkable set. 5. Take ;> = 22, g = 21 ; then d= 1069531 = 16» + 7» + 5» + 4» - 1»; therefore 4» + 5» + 7» + 16» + 21» = 1» + 22». 6. Take jp = 36, g = 33 ; then d = 21330783 = 27» + 21» + 18» + 15» +11» + 9»+ 7»+ 6» + 5»+ 4»; therefore 4» + 5» + 6» + 7» + 9» + 11»+ 15» + 18» + 21» + 27» + 33»= 36». 7. Take p= 40, g = 39 ; then d= 12175801 =25» + 17» + 13» + 12»+ 11» + 10» + 9» + 8»+7» + 3» + 3» + 2» + l»; therefore 1» + 2» + 3» + 3» + 7»+ 8» + 9» + 10» + 11» + 12» + 13» + 17» + 25» + 39» = 40», in which 3» appears twice. 8. Take p = 51, g = 50 ; then (i = 32525251 = 30»+23» + 16» + 13» + 12» + 10» + 7» + 5» + S» + 2»; . • . 2» + 3» + 5» + 7» + 1 0» + 1 2» + 1 3» + 1 6» + 23» + 30» + 50» = 5 1». Also, 32525251 = 30» + 20»+19» + l7» + 15»+ll»+10» + 9» + 8» + 7» + 3» + 3»+l» + l»; .-. l» + l» + 3» + 7» + 8» + 9» + 10» + ll»+15»+17» + 19» + 20» + 30»+50»=51», another set in which 1» appears twice. 170 ARTEMAS MARTIN. IL F\itS{a*) = 1« + 2» + 3» + 4» + 5» + ... +a;», =^r^a^(x + iy(2x' + 2x'-l) (C). Assume b" less than S(a^) and put r for their difference, and we have or by transposition of 6' and r, S(a;»)-r = t» (D). If r can be separated into fifth-power numbers, all different and none of them greater than ^, we shall evidently have S (a^) — (these fifth-power numbers) = 6* (E). I devised this formula in 1887, and have used it in finding square numbers whose sum is a square ; cube numbers whose sum is a cube ; biquadrate numbers whose sum is a biquadrate ; fifth- power numbers whose sum is a fifth power, and sixth-power numbers whose sum is a sixth power. See the Mathematical Magazine, Vol. ii., No. 6, pp. 89 — 96; Quarterly Journal of Mathematics, No. 103, pp. 225—227. Examples, 9. In (D), take a? = 1 1 ; then 8 {of') =^ 381876. Take 6 = 12, then r = 133044 = 10» + 8» + 3»4- 2» 4- 1*; therefore, by (E), P^.2»-|-3» + ... + lP-(P4-2» + 3*-l-8» + 10») = 12», or 4» + 5» + 6» + 7* + 9»+ 11» = 12*, the same as found in Ex. 1 by the first method. 10. Take œ = 22, then S{a^) = 2157103. Take h = 24, then r = 13608409 = 2P + 20» -h 19» -h 17» + 16» + 15» + 13» + 12» + 3» + 2» + l»; therefore, by (E), 4» + 5» + 6» + 7» + 8» 4- 9» + 10» + 11» + 14» + 18» + 22» = 24». 11. Take a? = 35, then Ä (a;») = 333263700. Take 6 = 50, then r = 20763700 = 26» + 24» + 14» + ll»+10»-h9»-f ... + 1»; .-. 12»+ 13» + 15» + 16» + 17» + ... + 23» + 25» + 27» + 28» + 29»+. ..+35»= 50». ON FIFTH-POWER NUMBERS. 171 Also, 20763700 = 26» + 24* + 14» + 12» + 10» + 8» + 3» + 2» + 1» ; .-. 4» + 5»+ 6»+ 7»+ 9» + 11» + 13» + 15» + 16»+ 17» +... + 23» + 25» + 27» + 28» + 29»+ ... + 35» = 50». Again, 20763700 = 26» + 22» + 1 9» + 16»+ 10» + 9» + 8»+ 6»+ 5»+ 4»+ 3»+ 2»; . • . 1» + 7» + 1 1» + 1 2» + 13» + 1 4» + 1 5» + 1 7» + 1 8» + 20» + 21» + 23» + 24» + 25» + 27» + 28» + 29»+ ... + 35» = 50». 12. Take a? = 46, then Ä(a;»)= 1683896401. Take 6 = 70, then r = 3196401 = 17» + 15» + 14»+ 13» + 10» + 6» + 3»+ 2» + 1»; ... 4» + 5» + 7» + 8» + 9»+ll» + 12»+16» + 18» + 19» + 20» + ...+46» = 70». It may be well to remind those who would object to these methods on the ground that they are tentative and not rigorous because d and r have to be separated into ftfth-power numbers by trial, that all inverse methods in arithmetic and the higher branches of mathematics are tentative and depend upon trial — division, extraction of the square and cube roots are tentative processes and depend upon trial. "The process of Integration is of a tentative nature, de- pending on a previous knowledge of differentiation, as explained in Chapter I.; just as Division in Arithmetic is a tentative process, depending on a knowledge of Multiplication and the Multiplication Table." Greenhill*s Differential and Integral Calculus, Second Edition, page 84. In finding these sets of fifbh-power numbers whose sum is a fifth power I have used Barlow's Tables, edition of 1814, which contains on pp. 170-173 a table of the first ten powers of all numbers from 1 to 100, and on pp. 176-194 a table of the fourth and fifth powers of all numbers from 100 to 1000. The use of these tables very materially facilitates the work. To further facilitate the work I have formed the appended table of the values of S (a?») for all values of x from 1 to 60 by means of the formula S[(a?+l)»]=Ä(a:») + (a? + l)», checking the work at intervals by the formula Ä(«*) = Vja^(a? + l)»(ar» + 2a:-l). 172 ARTEMAS MABTIK. X «{*•) X S(««| X S(«^ 1 1 21 16417401 41 850789401 2 33 22 21571033 42 981480633 3 276 23 28007376 43 1128489076 4 1300 24 35970000 44 1293405300 5 4425 25 45735625 45 1477933425 6 12201 26 57617001 46 1683896401 7 29008 27 71965908 47 1913241408 8 61776 28 89176276 48 2168045376 9 120825 29 109687425 49 2450520625 10 220825 30 133987425 50 2763020625 11 381876 31 162616576 51 3108045876 12 630708 32 196171008 52 3488249908 13 1002001 33 235306401 53 3906445401 14 1539825 34 280741825 64 4365610425 15 2299200 35 333263700 55 4868894800 16 3347776 36 393729876 56 5419626576 17 4767633 37 463073833 67 6021318633 18 6657201 38 642309001 58 6677675401 19 9133300 39 632533200 59 7392599700 20 12333300 40 734933200 60 8170199700 III. When we have found on« set of numbers the sum of whose fifth powers is a fifth power other sets may be deduced from it. If 6» +/» + (/» + &• + =w» (F), we have obviously (7ne)» + (m/)» + (m5r)» + (7wA)»+ =^(mwf (G). Now if m be so taken that v) = me, m/, mg, mh, or some other one of the numbers in (G), we can substitute e* +/■ + gr* + Ä' + ... for the fifth power of that number and thus obtain another set of fifth powers whose sum is a fifth power, if all the numbers in the left-hand member of (F) are different from those in the left-hand member of (G) — except the one substituted for. Examples. 13. Multiply the set in Ex. 1 by 2', and substitute the value of 12', and we have 4» + 5« + 6» + 7» + 8» + 9» + 10« -h 11» + 14» + 18» -f 22» = 24», which is the set found in Ex. 10. ON FIFTH-POWER NUMBERS. 173 14 In Ex. 1, take m ^5 and substitute the value of 30^ from Ex. 2, and we have 55 + 10» + 115 + 16» + 19»+20»-f 25* + 29» + 35» + 45»-f55»=60». 15. In Ex. 3, take m = 4 and substitute the vahie of 12' from Ex. 1 and we have 4» + 5» 4. 6» + 7» + 9» + 1 1» + 24» + 28» + 32» + 40» + 44» + 52» + 06» + 60» + 64» + 72» + 124» = 128». 16. In Ex. 1, take m = 5, and in Ex. 3, take m^4s; substitute the value of 60» thus obtained from Ex. 1, in the set obtained from Ex. 3 and we have 12» + 20» + 24» + 25»+28» + 30»-f 32» + 35»-f 40»-f 44» ■f 45» + 52» + 55» + 56» -f 64» + 72» + 124» = 128». 17. In Ex. 16, substitute the value of 30» from Ex. 2, and we have 55 + 10» 4. IP + 12» -f 16» + 19» + 20» + 24» + 25» + 28» + 29» + 32» + 35» -f 40»+ 44» + 45» -f 52» + 55» + 56» + 64» + 72» + 124» = 128». 18. In Ex. 10, take m = 2 and substitute the value of 12» from Ex. 1 and we have 45 + 55 + 6» + 7» + 8»+ 9» + 10» + 11»+ 14» + 18»+ 20» + 22» + 28» + 36» + 44» = 48». 19. In Ex. 10, take m ^3 and substitute the value of 30» from Ex. 2 and we have 5» + 10» +11» + 12» + 15» +16» + 18» +19» + 21» + 24» + 27» + 29» + 83» + 42» + 54» + 66» = 72». 20. In the second set of Ex. 11, take m » 2, and substitute the value of 12» frt>m Ex. 1 and we have 45+ 55 + 6»+ 7» + 8» + 9»+ 10» + 11» + 14»+ 18»+ 22» + 26» + 30» + 32» + 34»+36» + 38» + 40» + 42» + 44» + 46» + 50» + 54» + 56» + 58» + 60» + 62»+ 64» + 66» + 68» + 70» = 100». In this way may be found an infinite number of sets of fifth- power numbers whose sum is a fifth power. I am not aware that any other person than myself has ever 174 ARTEMAS MARTIN. discovered any sets of fifth-power numbers whose sum is a fifth power. In my search for fifth-power numbers whose sum is a fifth power. I have discovered the following equalities : 1» + 6» + 9» + 11' + 22» = 12» + 16» + 2P, P + 5» + 10» + 13» + 14» = 8» + 9»+ 11» + 15», 10»-*- 11» + 12»+ 13» + 17»+ 25» = 1» + 5» + 7» + 21»+ 24», 9»+ 11» + 12»+ 13» + 16» + 18» = 1»+ 6» + 8» + 14» + 20», 10» + 22» + 32» + 38» + 58» = 25» + 30» + 35» + 45» + 55», 26 + 4» + 5» + 6» + 14» + 20» + 24» = 3» + 7» + 10» + 11» + 12» + 17» + 25». THE INVARIANTS OF A GROUP OF 2168 LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONS. BY HEINRICH MASCHKE op CHICAGO. In the theory of Jacobian modular equations of the 8th degree there is of paramount interest a group of 2*168 linear quaternary substitutions which is isomorphic with the Qalois-group of. the modular equation. This group occurs again as a subgroup of a group derived by Prof. Klein from line-geometry* and consisting of 7 ! linear quaternary substitutions. The paper which I have the honor to present to the Congress is devoted to the investigation of the invariants of this quaternary group 0. Throughout the following pages an " invariant of a group " is always understood to be an integral function which remains absolutely unchanged when operated upon by the substitutions of the group. We have to deal with only homogeneous integral functions. The word "function" without any further attribute will therefore always denote a homogeneous integral function of the variables. § 1. The group 0. The group is defined by the three following substitutions S, T, Q which, in all possible combinations, generate the 2*168 substitutions of 0, * Klein: "Ueber Gleichungen 6. and 7. Grades." Math» Annalen^ vol. 28, pag. 499. 176 H. MASCHKE. 8 Q: f\/^.e,'= t, +^ +u +t,, /■...(l). 7 = c^ . where 7 = c^ (2). The determinant of each of these substitutions is unity. The above substitutions become identical with Prof. Klein's formulas given in Math, Ann. vol. XV. p. 269, by taking: It is one of the most essential features of the group &, as Prof Klein has shown*, that the 3 quadratic expressions: y, = 2^^-V, y2 = 2^<,-V, y, = 2W,-V (3), yield the well-known group of 168 ternary linear substitutions, if the 4 quantities t are substituted by the 2*168 formulae of 0. For further investigation we have to direct our attention especially to two subgroups of 0. The first — let us call it Oi — consists of 21 substitutions and is generated by S and T (see formulae 1). This group leaves ^ abso- lutely unchanged and is therefore a ternary group. The second subgroup, Ga, is generated by T and Q (1) only, and can be resolved as we shall see in § 3 into a binary group. The plan of investigation is now based upon the idea that every invariant of must also be an invariant with regard to Ol and Öj. Combining then the properties of the invariants of 0^ with those of the invariants of 0^ we obtain the invariants of the main-group 0. * Cf. Math. Annalen, vol. 15, pag. 271. A LINEAR QUATERNARY 8UBSTITUTI0NGR0ÜP. 177 § 2. Invariants of 0^. The following functions remain evidently unchanged by S and T (1) and therefore by all the 21 substitutions of 0^ : t.V+^V + ^4V = %h (4). W + V-^U'^eJ But moreover: These 5 quantvties (4) oon^^t^ the complete system of invariants of the ternary group 0^, i.e. every invariant of &i is an integral function of a, ß, y,S,€*. As to the proof I roust refer to a paper which will appear very soon in the American Journal of Math, concerning ternary groups which leave the product ^4 unchanged f. I shall give there a complete investi- gation of the invariants of the groups in question. There exist two relations between the 5 quantities (4) viz. : /3» + S» + 3a»8-5ai87-7€ + 9flt* = 0,J ^ ^' § 3. The subgroup Ö,. In order to reduce the substitutions of this group to a simpler form we put : y, = V7.^, y,= fi + <,+ tt+ t,, y,= ^+e^ + €»«4, ^4= t«4-€%+€«4,> (6), where and accordingly twi (7). «1 = 1 1 8^ = - -^7 yi + y. + e»y, + ey«. •% = - -T^ yi + y, + «y, + e»y«, .(8). * There wiU be no oonfasion, I think, if y and e are nsed for different nptationB in (2), (7) and (4). t Am. Joum. of Math. Vol. 17, No. 2. c. P. 12 178 H. MASCHKE. The eflfect of T and Q (1) on the 4 quantities y is now this Q:- where i • yi'=y«> vy/ = €y4, = V — 1 and yi =~»y«.\ y/--*yi (9), .(10). There is i;,» = -7(8€» + l), ,,,»«-7(3€ + l), i7ii;, = + 7...(ll). Tand Q (9) have therefore the peculiar feature that yi, y» as well as y„ ^4 are substituted hinarily. Owing to this there is no difficulty in finding the invariants of &,. These invariants contain either only y, and y4, or only y^ and y„ or they contain yi, y, and ysi y4> ill which case they are homogeneous in either set of the two variables. Let us denote them for shortness by U{y^,y,)=UA F(y„y,)=r. ■ (12). ^(yi»y«; y«. yO^ W", For our purpose it is only necessary to determine the invariants TJ in full, that is, the invariants of that group whose generating substitutions are yl and -7-y/ = i?iy«.| - 7 . y/ = i;,y„ I (13). This is a dihedron-group for tt ^ 3 and its complete system of invariants is given by the three functions /i = (3£+l)y,--(3e»+l)y4«, (14) »' = y«y4[(36+ 1) y,« + (36» + 1) y4«], ' with the relation ,;» = X(/i» + 28X») (16). Every invariant TJ (12) is therefore an integral function of X, /A, V, With regard to J7, F, TF it may be remarked that either function must be of an even degree in the variables y and therefore A LIXEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONOROUP. 179 alflo in the variables t (8). This follows immediately from the &ct that the second power of the substitution Q (9) is simply : yi' = -yi, yt^-j/7, y/^-y«, y/=-y4. § 4 Brioschia formulas. Before trying to derive conclusions about the nature of the invariants of the principal group from the results of §§ 2 and 3 it will be advantageous to avail ourselves of some results bearing on the connection between our group and the theory of Jacobian equations. A Jacobian equation of degree n + 1 taken in the general sense, that is, independent of the theory of elliptic functions, is an equation the square roots of the tz + I roots of which are ex- ti+ 1 pressible linearly in terms of - ^— quantities ^> ^, ... ^»+1 and co- efficients which are merely numerical irrational numbers, viz., in essence, nth roots of unity*. Let us denote in the case n = 7 the 8 roots of the Jacobian equation by x^, x^, x^, x^, ... x^, and the square roots of these quantities by P«, Po, Pi,...P, respectively. We have then in this case the formulae Pr= ^ + 7S^ + y'<. + 7*'«4, (i/ = 0, l,...6)^•'^^''^• where 7 is again defined by (2). The following theorem due to Prof. Klein+ is of fundamental importance in the theory of Jacobian equations : '' Those permvtations of the quantitiea P =^ \/x which constitute the OcUois group of the Jacobian equation are produced by a group w 4- 1 of linear substitutions of the — 0— quantities ^, t«, ... ^»+i-'* ^ ~ä~ This group of linear substitutions is now in the case n — 7 precisely our group given by formul» (1). Thus we see that the 8 quantities P — or more exactly ± P — are only permuted * Jaoobi, Gei, Werke, vol. i., pag. 261. t Klein, " Ueber das Icosaëder." Math. Annalen, vol. 12, pag. 519. 12—2 180 H. HA8CHKE. among themselves if the t's are operated upon by the substitutions of 0. The formulse corresponding to 8,T, Qia (1) are these :* S: T: Q: j-* 00 "- ■* 0» J-*0 ^^■~-* OP» •(17). for I»«!, 2,... 6. It follows at once that every symmetrical combination of the 8 quantities P* (16) is certainly an invariant of our group 0. Also the product of the first powers of the 8 P's is an in- variant as can be seen directly from formulse (17). The product Pg,'PtPi...F,', when Q is applied, contains 4 negative signs, viz. : Pf = — Pa>, "t — ~ "at P* —~ Pu P* — ~ Pi- Let us denote this invariant of the 8th degree by V — 7 'ri, so that we have 1 r,. V^ .P.P»P,...P.. .(18). As to Bymmetrical combinations of the P* we see that they are determined completely by the coefficients of the Jacobian equation, the roots being just our quantities P. These coefficients have been calculated in full length by Brioschit in terms of ^i and the following functions of f,, t,, t^ : W + W + W + a = d W + t^^+tJ+7ab^e^ Taking up the notation (4) of § 2 we have a = a, 6 = Ä c = 7, d = a + 8, e = 7o^/8 + €...(20), .(19). * Cf. Math, Annalen, vol. 15, pag. 269. t BrioBchi, "Jaoobische Gleichungen achten Grades." Math. Annalen^ vol. 15, pag. 241. A LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONGROUP. 181 -7a^ = o} <21>- and the 2 relations (5) are now transformed into c« - d* - a'd - 6* - 2abc We see that Brioschi's result agrees precisely with our state- ment laid down in § 2 that every invariant of must be an integral function of ^, a, ß, 7, 8, €. Brioschi writes the Jacobian equation in this form : + (49V^-JEr«)^-7fi»JEr« = (22), and he finds for the coefficients the following expressions : il = 2V + 6a^ + 6, "^ 5 = «1« - 20a^« - 106^1» - lOcti - 14a* - d, C = 30«i« - 252aV + l^ht,' + 140c^' + 42 (2a« + d) ^> + 2 ( 1 4a6 + e) *i 4- 7 (8ac - 6»), i) = le^i" - 184a^^ + 846^« + 28ce,» + 14 (22a* - 7d) ^* -4(14a6 + 3e)^i»+14(6>-12ac)^« + 14(6c-3ad)^ + 76d - 14c» - 2aö, [. (23). ^ = 20^^« - I72a^* + IdObti^ - 360c^^ + 28 (38a« - d) ^« - 4 (126a6 - 19e) ^» + 14 (96« - 32ac) ^* - 28 (56c - 19ad) V - 2 (496d - 70c« - 26a«) „ == ^ [7 (5» + il(7+ 35il») - 27^ =: 26«x« + 202a^* - 336f i« + 1200^^^ + 14 (13a" + d) ^« + (878a6 - 23c) ^» + 7 (35ac - 26») f^* + 14 (49a» - lOad + 66c) t^^ + 2a(10c + 49a6){ (25) have the following values for fi » : 4>;»> = -(14a« + d) = -(15a» + 8) = -A, ^10^ = a« » a (7a/9 + e), 4>„w = c6=7(7o^/8 + €), CD,/) ^ = -(7a^ + e)«, Now it is obvious that the quantities (26) are expressible as integral functions of a\ b, A, ac, ae, ce, ^ (28), and conversely, where A stands for 14a> + d = 15a« + 8. Thus we may say : The leading tem% of any invariant ^ — that is that term of f which does not contain ^ — is am, integral function of the quantities (28). If we write the 2 relations (5) or (21) in a, 6, c, A, e, we find : 189a* + 6» + 26ac-cö + A«-27a»A = 0j ^ '' Since now the leading terms (27) of our invariants 4>{ are given exactly by the quantities (28) except a\ it will be possible to make any combination of b, A, ac, ae, ce, e^ a, leading term of some in- variant ^ which will be given by a proper integral combination of the invariants 4>{. Combining this result with what was stated at the beginning of this paragraph, we may say : Every integral function of 6, A, ac, as, ce, e^ is a function of U, We have now to find the condition under which an integral function of the preceding quantities b, A, as, ae, ce, ^ and of a* can be a function of J7, Fo, W^. But according to (29) a* can be reduced to a* and the other quantities and therefore any integral function of the quantities (28) can be reduced to a*f{b, A, ac, ae, ce, e^) + g (6, A, ac, ae, ce, c*), where the second part g not containing a' is a function of U, Fo, W^ owing to the above given theorem. 184 H. MASCHKE. The problem is now reduced to the examination of the equation : a»./(6, A, ac, ae, ce, ^)^F(U, Fo. W^) (30). Let us expand / according to powers of ^. We notice that all those terms which contain 0" and its higher powers are functions of 6, A, ac, de, ce, c* only, since a* . e*^ « (aeY . («"/"*. Hence all these terms are functions of Ü, Fo, Wo, and we have now an equation aKtl>(b, X ac, ce, ae)^ 0{U, Fo, Wo) (31). In this function we may suppose that de, ce, as occur only in the first power because all the higher powers of c and those powers of a which are higher than a* can be reduced by formula (29). Equa- tion (31) can then be written a> [tfH (b, A) + ac<^ (6, A) + ce^ (6, A) + asMb. A)] = G(ir, Fo, Wo) (32). But a* . c« = (ac) (ae) and firom (29) we find 27a'6 = 6* + 26«ac -bce-h 6A» - 27 (ac)» (33). The 3rd and 4th term of the left side of (32) are therefore again expressible in terms of U, Fo, Wo, and we obtain a»[^(6, A) + ac<^(6, ^)]^H(U, F«, Fo) (34). In this equation let us put now ys «= ; that is, we have to put in a, b, c, A, which are given as functions of ^, t,, ^4: 3t, = y, + y4, 3^ = e«y3 + 6y4, 3^4 = ^y» + f^4y according to (8). Thus we find that, save a non-vanishing nu- merical factor, the values of a, 6, A for y, = are given by ao=^yf' + y4", bo^X, Ao = /A, (ac)o = X*-i'. where X, fi, v are the quantities defined by (14) and (15). In the term H {U, Fo, Wo) in (34) F» and Wo vanish for y, = since they are homogeneous in y^ and y, as shown in § 3, while U is not affected at all. But Ü is itself an integral function of X, fi, Vy and so we obtain the equation : W + V) [^ (X, h) + (V - 1;) ^(X, ,*)] = V' (X, ^. ,;)...(85). A LINEAR QUATERNARY SUBSTITUTIONGROUP. 185 The left side of this equation cannot vanish identically except when ^ and ^ are both zero, because the only relation between \, /a, v is given by (15) i;» = \ (aa« + 28\»). It should be noticed that in order to make this conclusion it was necessary to dispose of the quantity e in equation (30) and the following equations on account of c = for y, = 0. Now it can be shown at once that equation (35) cannot subsist, for, appl3ring the substitution all terms remain unchanged except the factor y,' + y«'. By this the following theorem has been proved: The leading term of any invariant "9 of ofwr group is an integral function of the quantities 6, A, ac, ce, as, ^. § 6. The complete system of invariants of 0. Let us denote by any integral function of the 6 expressions 4>< (25) ; let <^o be that value of which is obtained by putting ^ = 0. Then we know that ^ will be some function of 6, A, a>c, a^, ce, ^. Let now any invariant '*' of Ö be There will exist some function whose term 0o will be pre- cisely "^0 since, owing to the result of § 5 ^o, as the leading term of the invariant ^, is also expressible in terms of 6, A, ac, ae, ce, e^. We have then = ^0 + ^.0. Hence -«^-«^«^(F- ff). But the appearance of ^ as a factor of an invariant involves at once the appearance of the whole function F, (24) as a factor, this function being the product of all those terms into which ^ is trans- formed by the substitutions of 0. Thus it follows and in this equation ^ must again be an invariant of 0. Apply- 186 H. MASCHKE. ing the same method again to '9', etc., we obtain a set of equations ^iT' = 4>" + r«^", etc., and finally ^ = + r,<^' + Fay + rsy + ..., where (f>, (f/, 4>'\ ^"' are integral functions of the 6 invariants ^i (25). So we have reached the following result : Every invariant of is an integral function of Fg, 4>4, *«, 4>8, ^io> *M, *i4i defined by (24) awd (25). These 7 functions constitute therefore the complete system of invariants of 0. § 7. Relatione between the forms of the complete system. There must exist 3 relations between the 7 invariants of the system, the number of independent variables being 4. These relations are of the 20th, 22nd and 24th degrees in the 4 variables t ; they are given by these 3 equations : (1) 7*,'(*,« + 4>.»-„) + 27,o(4*a + ^,o) + ,4>8 + 274>„) + (13*4» - 294*8 - *•" + ^it) Te - 2i4 + 7 (*,« 8 + *4io) r, - ,r^ = 0, (3) „« + 74>44>,o' - i4 (io + 4*6) - (6e*io - 64>,*,, + 7*8' + 210*4" *8 + 7*4 4>6" + 7*4*) r8 + (22*8 -i3*4*)r8« + r8» = o. University op Chicago. TABELLEN VON ENDLICHEN CONTINUIR- LICHEN TRANSFORMATIONSGRUPPEN. VON FRANZ MEYER in CLAUSTHAL. I. Die PROJEcnvEN Gruppen der Ebene*. Die erste Tabelle enthält die Typen von projectiven Gruppen der Ebene. Jede existirende projective Gruppe der Ebene lässt sich durch projective Transformation in einen und nur einen der auf- gestellten Tjrpen tiberftihren. Diese Typen werden in der zweiten Tabelle unter Benützung der bei ihnen invariant bleibenden geometrischen Gebilde einzeln characterisirt. Die dritte Tabelle giebt fur jeden T3rpus eine characteristische invariante DiiFerentialgleichung an, in dem Sinne, dass der jeweils vorliegende Typus die umfassendste projective Gruppe der Ebene darstellt, welche die zugehörige Differentialgleichung invariant lässt. * In dem in Bälde ersoheinenden — unter Mitwirkung von Herrn Engel von Herrn Lie bearbeiteten— dritten Bande der ** Transformationigrappen'* finden sich die infinitesimalen Traiuformationen fUr die Gruppen der ersten und vierten Tabelle aufgezählt. Der Verfasser hat dieselben hier ** integrirt/* theils direct» theils mittels geometrischer Überlegungen. Die infinitesimalen Transformationen der ersten Tabelle finden sich auch in dem, ebenfalls demnächst erscheinenden — unter Mitwirkung von Herrn Scheffers ▼on Herrn Lie bearbeiteten — zweiten Bande über Anwendungen der Transfor- mationsgruppen ; daselbst wird auch die geometrische Charaoterisirung det Theiles A. unserer zweiten TabeUe hinzugefügt. Endlich enthält "Lie- Scheffers" auch bereits einige der Differential- gleichungen unserer dritten Tabelle, so vor Allem (1) und (3 a). Die Bedeutung der hier in endlicher Form geschriebenen Gruppen erhellt unter Anderem gerade aus der dritten Tabelle, die aus der ersten durch alleinige Znhiilfe- nahme von Differentiationen und Eliminationen abgeleitet wurde. 188 FRANZ MEYER. Mit einigen Ausnahmen ist fUr die Differentialgleichungen mit Absicht nicht die einfachste Form gewählt, sondern eine solche, dass sich aus ihr unmittelbar die beiden unabhängigen Differentialinvarianten der Qruppe ablesen lassen. In unmittelbarem Anschluss an die erste Tabelle sind endlich in einer vierten die Typen für die homogenen, projectiven Gruppen in drei Veränderlichen vereinigt Im Übrigen sei auf die, einer jeden Tabelle folgenden Einzel- bemerkungen erwiesen, I. Die Typen der projectiven Gruppen der Ebene. A. Achtgliedrig. ^ ^ ex-^fy + g ' ^ ex-^fy + g' B. Sechsgliedrig. !(2a) x^ax-¥by + k, y'^cx + dy + L ^^^^ "^-«rr-h/y+r y^ex-^fy^V C. Ftinfgliedrig. ((3a) ™ (2a) ., , , , (4) x'^ax-hk, y'^ex + dy + L D. Viergliedrig. [(5 a) af = a'^x + k, y'==ay -\- cx-\-L 1(5 6) x^a^-^x-^k, y=ay'\'Cx-^L a ist eine, von | verschiedene, willkürliche Constante. (6) x' — ax + k, y'^ah/-{-cx + l. (7) x'^ax-^k, y' = y + ca? + /. (8) a/^ax-^-by, y' ^cx-^-dy. f(9a) a?' = CMJ + Är, y*==dy + l. 1(96) x'^dx, y'^^cx-^dy-hl. œNTINUIRLICHE TRANSFORMATIONSGRÜPPEN. 189 E. Dreigliedrig. (10) x=^x + k, j/^y + cx + l. (11) a?' = ûur + A:, y' = a^ + akx + L ({12 a) x'^x + k, y' ^^y-^cx-^-l. 1(126) x'^éx + k, y = 6*(y + to) + Z. (13) x'^ax + by, y—cx + dy. mit ad — 6c = 1. 1^ ^ ^ ' ^ ^ ' a ist eine willkür- ^ + fj 1(146) x'^ax, y'^W^y-^-cx liehe Constante. (15) x'^ax, j/^dy-\-L {(16 a) x'^ax-bk, y'^ay + L (166) a?' = a?, y = ca? + dy + t (17) 0^ : y' : 1 = a«a: + 2a6y + 6» : aca? + (ad + 6c)y + 6d : c'a? + 2cdy + d\ F. Zweigliedrig. (18) x'^x-^k, j/^y + kx-^L j(19a) a?' = a? + A:, y'^ef^y + l. 1(196) a?' = c'a?, y'=y + ca:+i f(20a) x'^ax, y' = a*y + ca?. 1(206) x'^a*x, y' = ay + cx. a ist eine, von und 1 verschiedene, willkürliche Constante. (21) af^ax, j/-^y + l. f(22a) x'^x-^k, j/--y + L 1(226) 0^=4?, y' = y + ca? + t (23) af = ax, j/^dy. f(24a) x' = ax, y'^ay-hl, 1(246) a/:^x, y'^dy + L (25) x'^ax-^k, y=ah/ + akx + ö • Q. Eingliedrig. (26) a<=saa?, y'^ay. a ist eine, von und 1 verschiedene, willkürliche Constante. 190 FRANZ KEYER. (27) a/sx + ifc, y'=«»y. (28) af=x + k. ^^y+kx + '^. (29) x' = ax. y'^ay. (30) x'^x. y=y + l. Unter einem m-gliedrigen Typus ist ein, von genau m unab- hängigen Parametern a, 6, c,... abhängender zu verstehen. Nur in zwei Fällen, (1) und (17), treten die Parameter in homogener Form auf. Trägt ein und dieselbe Nummer die Indices a und 6, so sind das stets zwei zu einander dualistische Typen, die übrigen sind zu sich selbst dualistisch. In (5), (14), (20), und (26) tritt noch eine willkürliche (konstante a auf, so dass jede dieser Nummern eigentlich unendlich viele Typen repräsentirt, im Allgemeinen* sind zwei Einzeltjrpen mit verschiedenem a projectivisch nicht in einander überführen. Endlich sei noch bemerkt, dass die Typen der Tabelle in eine, leicht erkennbare, canonische Form gebracht sind; wo z. B. (wenigstens) eine Gerade invariant bleibt, ist eine solche in's Unendlich-Ferne verlegt worden u. s. f. IL Geometrische Characterisirung der Typen. A. Das invariant bleibende Gebilde definirt allein schon den Typus. * Bei (5a) führt 1-a stets zum daaUstisohen Typus (56), bei (14) gehören immer a und - za zwei aequivalenten Einzeltypen ; bei (20 a) liefert - wiederum CI a den jeweiligen dualistischen Typus (206),endlioh gehören bei (26) die sechs Werthe a, - , 1 - o, = , , — =• zu jeweils aequivalenten Typen. a 1 — o a tt— 1 Die Fälle (7), (16), und (24) lassen sich auch als SpecialfSlle von resp. (5), (14), und (20) auflassen, sobald man bei letzteren die willkürliche Constante a homogeni- fiirt, also schreibt : (6) x' = a"« + *, y'=a^y + caî + Z. (14) x'=o*j; + *. y'=:a^y^L (20) x' = a*x, y*^tfiy^ ex. Dann geht aus (5) für /3sO, a=:l (7) hervor, aus (14) für a=/3=l (16 a), für a=0, /3=1 (166), endUoh aus (20) für a=/3=l (24a), und für a=rO, ß^l (245). CONTINÜIRLICHB TRANSFORMATIONSGRUPPEN. 191 (1) Weder ein Punkt, noch eine Gerade, noch ein Kegel- schnitt bleiben invariant (2 a) Invariante Gerade (d. i. eine Gerade und ein auf ihr liegender Punkt). (3 a) Invariante Gerade und invariante Flächeninhalte. (4) Invariantes Linienelement. (8) Invarianter Punkt und invariante Gerade getrennt. (9 a) Invariante Gerade und zwei invariante Punkte auf ihr. (13) Wie bei (8), nebst invarianten Flächeninhalten. (15) Zwei invariante Punkte und, ausser ihrer invarianten verbindenden, noch eine invariante Gerade durch einen der Punkte. (16 a) Invariante Punkte einer Geraden. (17) Invarianter Kegelschnitt. (23) Invariantes Dreieck. (24 a) Invariante Punkte einer Geraden und noch eine invariante Gerade. (25) Invarianter Kegelschnitt und ein invarianter Punkt auf ihm. (26) Invariantes Dreieck und ^ invariante, von Geraden verschiedene Curven. (27) Zu (15) noch « * invariante Curven. (28) Ein invariantes Linienelement und x ^ Kegelschnitte, die dieses gemein haben. (29) Invariante Punkte einer Geraden und invariante Strahlen eines nicht auf der Geraden liegenden Büschels. (30) Invariante Punkte einer Geraden und invariante Strahlen eines auf der Geraden liegenden Büschels. B. Das invariante Gebilde im Verein mit der Anzahl der Parameter characterisirt den Typus. (14 a) Wie (9 a), aber dreigliedrig. (18) Wie (4), aber zweigliedrig. (19 a) Wie (9 a), aber zweigliedrig. 192 FRANZ MEYER. (20 tt) und (21). Wie (15), aber zweigliedrig. Dabei ist (21) zu sich selbst dualistisch, (20 a) nicht. (22 a) Wie (16 a), aber zweigliedrig. r. Das invariante Gebilde — ein Linienelement — , im Verein mit der Anzahl der Parameter und der Angabe eines Untertjrpus characterisirt den Tjrpus. (5 a) Viergliedrig, enthält (20 a) als Untertypus. (6) „ „ (25) (7) „ „ (21) (10) Dreigliedrig, enthält (22 6) als Untertypus. (11) „ „ (25) (12 a) „ „ (19 a) Die dualistischen Characterisirungen sind der Kürze halber unterdrückt worden. Die Fälle (3 a) und (13) lassen sich auch, unter Weglassung der invarianten Flächeninhalte, unter B. einordnen (mit Angabe der 5 resp. 3 Parameter). Die bei F. gegebenen Definitionen könnten noch mannigfach modificirt werden. IIL Characteristische invariante Differentialgleichungen für die Typen der prcjectiven Oruppen der Ebene. A. Achtgliedrig. (1) y.=o. B. Sechsgliedrig. r(2a) 5y^4-3y,» = 0. 1(2 6) kü s 0, wo ko unter (3 6) erklärt ist. C. Fünfgliedrig. ((^a\ iL^ff^Mm^] k^3y,(Sy^5-7y^4) 1^36^ f^(yi^-yy ^f(y^''\ *a=(^i-y)'(3y^4-4y,-) + 9a;«y,*. (4) -^'' =/ ( ^*~) . Einfachste Form : y, = 0. y%!/4 -^ Ky^J ^' CONTINUIBLICHB TRANSFORMATIONSGRUPPEN. D. Viergliedrig. 193 yi , 1(1-«)— 1 »Ê m— «I— 1 y« (6) |'=/(y.). y« (7) ^!=/(M4-y.'). y» ^^^ — y.'(«^.-y) -^V y." r it wie unter (3). [(9o) y,y4-yi*=/(yiy»-yi*)- |(9 6) y^«-y.*=/(^*)- K Dreigliedrig. (10) y,=/(y,). (11) y,(y.-^)=/(y.)- V yt .,ox 3ay«*-y»('" l(l4o) y^r,"- «/(y.y,-*). (13) y.y.-y.»=/(^^*). ■(i6o) f\=/(yO. y« (166) ^-ar. \ y» (17) «y,» + yyi + l=0. c. p. 13 194 FBANZ METER. Zweigliedrig. (18) y,=f{3i^-x). ((22a) y^^f{y,). f(19a) ^'-/Ê). ^^'"^^ ^*"-^^"^- 1(196) ai>y,=/(xy^-y + lx). "^^"^^ y, ^\y ) (20a) y^=/(^y). p«) ^.-/(y.)- (206) y^ .=/(^ J j. ^^^^ (^^ (21) «^,=/(ary.). y-2 (25) iZi^=/(y,). O. Eingliedrig. (27) f=/(|). (30) yx =/(*). (28) y,-*-/(y-f). Hier bedeuten y^y y,,... die successiven Ableitungen von y nach Ä,/eine willkürliche Function, der man z. B. auch einen beliebigen — im Allgemeinen von Null verschiedenen — Zahlwerth beilegen kann. Mit Ausnahme von (1), (2 a\ und (2 h\ sowie (17), sind die Differentialgleichungen so geschrieben, dass links und rechts die beiden Differentialinvarianten niedrigster Ordnung, welche die Gruppe ihrerseits auch characterisiren, unmittelbar hervortreten. Jeder Tjrpus ist definirbar als die allgemeinste Gruppe von Punkttransformationen, welche die zugehörige Differentialglei- chung der Tabelle invariant lassen. Mit Hülfe von Zählen und Nenner der Differentialinvarianten lassen sich leicht noch einfachere invariante Differentialgleichungen bilden. CONTINUIRLICHE TBANSFORMATIONSGRUPPEN. 195 B. C. IV. Die Typen der linearen homogenen Gruppen in 3 Vei^änderlichen. (1) fl?' = aa?+ 6y + fez, y'r^cx + dy + lz, 2^^ex+Jy+gg) (2) Desgleichen mit der Determinante Eins. j (1). (3) a?' = ^+1 (ax + by+kz), 3^=^+^ (ca!+dy+ lz\ af = t^z\ ad-6c = l. [(2a). (4) af = ax + by + kz, y' ^ ex + dy + Iz, z* ^ gz J (5) x'=scuc + kzt y' = cx'^dy'\-lz, z' = ex'\-gz "j (6) x' = t^{ax + kz\ j/^t^-^^ (y+cx + Iz), s! ^t" {ex^gzyt (26). ajf — 6Ä; = 1 (wie bei (6)). ' (3 a). (36). }(4). D. (7) X ^ax'^hy'\-kzy i/ ^cx-^dy-^-lz, z'^z \ ad — bc^l. (8) x' =it(ax + by + kz), y ^ticx-^dy + lz), z'^tz ad'-bc=^l. (9) x'^dx + kzy y' =scx + y + lz, z' ^ex + gz ' dg— ek=l. (10) a^ = ^(aaj + A:z), y' = «(ca? + y + i-^). y = «(ea?+5r^) ajf — öA: = 1. [(11) af^dx-k-ky, y^cx + dy + lz, z^gz 1(12) a;' = ^*+Vaî + ibr, y' = ^u^+^y + ca? + k, /^t^uPz. f(13) «'««-ar + A:^, y' = <^y + ca?H-i-e, / = ^»^ | 1(14) af — i^ax-^kzy y' ==^lPay + cx + lz, / = az) j(15) a?'=i*+^e»(a?+Jfc^),y'=:««+»e*(aa?+y+i^),y=e*e»^U5a) ^^ ((16) a?'=«*e»(a?+a2r),y'=«-'*-^e»(ca;+y+iz), ^=^6*2: )(56) •'^• f(17) af=^i^-^'{ax + by), y ^ t^-^^ (ex + dy), / = e*z| ad-6c = l. 1(8). (18) x'^ax + by, y^^cx-^dy, 2f^gz ] <(19) af^ax^-kz, y=dy + lz, z'^gz ) ((20) a^ = a*+^6^(a; + ifc^), y' = a*6^+Hy + i-^), / = a«6^zP ^^' j(21) af^a^-^^Vx, y'^a^V^^^icx + y+lz), z' = a^b^z) <(22) x' = ax, y'=^cx + dy-^lz, s! ^gz \ 13—2 (96). 196 E. FRANZ MEYER- '(23) af = é'{x + kz), i/ = é^ + cx + lz, z'^é'y (24) a!' = ^a; + far, y' = gy + ae + lz, ^=gs (25) a/=x + kz, y'=y + ca! + lz, /^z }- (IQ^ (26) »' = c^*(« + A«X y' = e»^-*(y + car) + i«, / = 6«+*z ,(27) x' = &>(x + kz), i/ = rlez), 1/ = g (y + kx ■{■ Iz), /=gz (48) «' = e»(x + ib), ^'«ef'Qf+kat + lz), / = «»« l (18). (49) af^é^(x + kz).i^^é^fy+ka! + zl^-^, f(50) af=g(x + kz), i/=g^+lz, /=Mgz 1 1(51) a^ = e^(x + kz). 1^ ^ €>"'+» y + lz. / = c*««J ^ ^^ f(32) x'^gtl'x, ^='gef{y+cx) + lz, z'=gz \ nah) 1(63) «' = fl<'<«+««, y'=^'-+«(y + car) + Z«, / = e»J^ ^ j(54) a^^gfx, y'^^gfiy + lz, '^='9'\.oq\ 1(55) «• = «•«, y'^D'y + lz, £ = Pz )^ '' (36) «' = aa;, y^'^gy + lz, s^^gz ■ (57) «' = ««+'0;. y' = «-y + Iz, z' =^t^z ■ (21). ,(58) af=t^+^éx, y' = ^é{y-\-lz), sl^i^éz, (59) af = x-\-kz, i/=y + lz, z ^z \ (60) «' =gx + Ä;z, y' «^py ■\-lz,z'^gz \ (22 o). (61) a!^éx->rhz, y'^é(^y + lz), z'^éz) (62) a/ = x, ^'ay+cx + lz, z'^z (63) af=gx, j/=gy + cx + lz, /^gz (226). (64) a/ = ef>x, y' = ef> (y + ex) + Iz, / = e««, 1(65) «' = a«, y' = rfy, / = «7z | 1(66) «' = «•+V«, y' = «^+»y, 5' » fu/fy) ^ ^ (67) a!' = <)r (« + **), /»^^(y + fcr + l^), z' = ^z (68) «' = «•(« + &«). y' = <•+' (y + fer + ^«), / = <•-«* (69) a;' = «•+'«, y' = <-+»y, *' = o«ir (70) a/=^, y'=srt'y, y = <)r« (26). i 08 + O.1) j ((71) af = t^ix + kz). y' = 6»'«+« y, '^^^A.^.. (02) x'=gix + kz),j/=ge^y,z'^gz r ^' (25). 196 E. FRANZ MEYER* (24) ai^gx^rhzy y' ^ gy -¥ ex + Iz, z'^gz (25) x' — x + kz, y' = y + cx + lz, s!^z 1(26) a!^^^{xA^kz\ y'==e^'*-*(y + Cir) + k, / = e^+*^ 1(27) a?' = e^(a? + A^), y' = e*'(y + Cir) + iz, ^ = e*z f(28) x'^a^(x-\-hz\ y'^^a^+'iy '^kx) + lz, z^a^z 1(29) Ä?'=5f(a? + Az), y = 5rd(y + Ä^) + «^, -a^^f « (lOX (11). f(30) a?' = 6*«(a?H-Ä:^), y' = 6*<«+^>y + ca? + Z2r, ^r^«^^^ 1(31) a?' = 5r(a? + fc^), 1/ ^ge^y + cx + lz, z' = gz P ^^' f(32) a?'=:e^t*+i)a: + Ä:2r, ^ = e*<*-*-^>(y + ca;) + iz, / = e^Ä 1(33) x^^gef'x + kz, y'-g€!'(y'^cx) + lz, z ^gz (34) â/ = ow? + 6y, y =^cx-{-dy, z'^z ad — 6c = l. |(126). (35) x'^g(cuc + by\ y'^^gicx + dy), z'^gz ad — 6c =ï 1. (13). ((36) «'=5*'« + ^:«, y'=g1f>y + lz. ^' = 9'), . 1(37) «' = ««a; + ifc^, y' = 1/>!/ + h, z' = «r« J ^ * '*^- (38) a! = c^+>a! + &?, y' = e^ (y + te), /=e^^ (14a) fllr a= 1. 1(40) a/ = 5rf«, i^=gfiy + cx-¥lz, ^=^gz] ^ ^' (41) ci ^t^'^^tCx, i/=f+^el'{y+cx)+lz, /=«•««« (146) für a = 1. ((42) a^ = (M:, y' = dy + lz, i^=gz l 1(43) M^«:, ^ = t^+^y + fo, / = «-««»äJ ^ ^^' '(44) a;'=a;(l + 6c) + 6y + z(c+6^) ^ = ^^^ + 0«!+ ^«j, / = ^{6«! + 2r(l+6c)} (45) definirte Körper Kp stellt dann, sowie p^\ ist, einen nirgends concaven Körper vor; für das Volumen Ip dieses Körpers findet man: es zeigt sich femer, dass für einen Körper Kp, wenn p endlich ist, in (5) niemals das Gleichheitszeichen in Betracht kommt. Man gewinnt so den Satz : 206 H. MINKOWSKI. Ist p^l, 80 gifht es immer ganze Zahlen x, y, z, die nicht sämmtlich NtUl sind tmdßlr welche num (!ii^±k!î±m!)' geht Kp in das Paral- TT lelepipedum — l^f^l, — l^i/^l, — l^^^l oder den ellipti- schen Cylinder — l^f^l, if + f"èl über ; K^ hingegen stellt ein Octaeder oder einen Doppelkegel vor. Endlich wird aus der Function links in (6) für p = das geometrische Mittel v^| fiyf |, so dass man den Satz hinzufügen kann : Es giebt immer ganze Zahlen x, y, z, die nicht sämmtlich Null sind und für welche man | ^t;*! < Xf | JD|, um so mehr also < | JD |, hat. Diese Sätze und die analogen flir n lineare Formen mit n Yariabeln lassen insbesondere fundamentale Anwendungen in der Theorie der algebraischen Zahlen zu, beim Beweise der Dirichlet- sehen Sätze über die complexen Einheiten, der Endlichkeit der Anzahl der Idealclassen, und sie haben zuerst den wichtigen Nachweis ermöglicht, dass in der Discriminante eines jeden algebraischen Zahlkörpers immer mindestens eine Primzahl auf- geht. V. Es seien a und h irgend zwei reelle Grössen und t eine beliebige Grösse > 1. Die Anwendung der Sätze in III. auf das Parallelepipedum -\^x-az^\,-l^y-hz^\,-\^\^\ fuhrt dazu, dass es immer ganze Zahlen x, y, z giebt, für welche EIGENSCHAFTEN GANZER ZAHLEN. 207 ist Dieses Resultat, jedoch nur für den Fall ganzzahliger Werthe von t, hat bereits Kronecker (Berichte d. Berl. Akad. 1884, S. 1073) mittelst des scheinbar trivialen, dessen ungeachtet aber äusserst erfolgreichen Princips (s. Dirichlet, Verallgemeine- rung eines Satzes aus der Lehre von den Eettenbrüchen, Werke Bd. I. S. 636) bewiesen, dass, wenn eine Anzahl von . Grössen- systemen in eine kleinere Anzahl von Bereichen fallen, mindestens zwei SjTsteme darunter in einen und denselben Bereich zu liegen kommen müssen ; es ist dies einer der wenigen Fälle, wo bereits dieses einfachere Princip wesentlich gleiche Folgerungen ermöglicht wie das arithmetische Theorem in III. Die Betrachtung des Octaeders I I . 1-^ ^1, |y-6^|+|| ^1 X — a z ^3^' ^-6 z (< ^ 3 vorausgesetzt), zeigt die EIxistenz von ganzen Zahlen x, y, z, für welche die Ausdrücke hier links beide < (-r) ausfeilen und zugleich ^ > ist, und für solche Zahlen findet man dann noch : 2 Diese Sätze weisen auf einen Weg, auf dem mit Erfolg die Ergebnisse der Lehre von den Eettenbrüchen zu verallgemeinem sind. VI. Betrachtet man beliebige einhellige und wechselseitige S(ab\ so erscheint 2* als kleinste obere Grenze für if*/. Be- schränkt man sich auf solche S (ab), deren Aichkörper aus einem gegebenen Körper durch alle möglichen linearen Transforma- tionen hervorgehen, so findet man auch in dieser beschränkten Classe von Functionen bereits immer solche, für welche ist. Der Nachweis dieses Satzes erfordert eine arithmetische Theorie der continuirlichen Gruppe aus allen linearen Transfor- mationen. Endlich ist zu erwähnen, dass die Ungleichung M^I ^ 2* fUr die nirgends concaven Körper mit Mittelpunkt noch eine wesent- liche Verallgemeinerung zulässt, auf die ich indess hier nicht mehr eingehen will. Bonn, im Juni 1893. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. BY ELIAKIM HASTINGS MOORE op CHICAGO«. §1- List of œ'ders of systems of simple groups. The following is, so far as I know, a complete list of the orders of systems of simple groups which have as yet been determined (q = prime, w = positive integer). (1) ?• (2) Jn!. (n>4). (3) iq{Ç^-l). (?>3); the group of the modular equation for the transformation of elliptic functions of order q. (SO i?» (3~ - 1), (? > 2. (q. n) + (3. 1)). î«(î«-l), (g = 2,n>l). This system of simple groups is a generalization of the system (3) which will be explained in this paper. (g» - 1) g"-' (g»-' - 1) g»-* ... (g' - 1) g W g » ((g.n) + (2.2).(3.2)). in which 8 = [n, ç — 1], the greatest common divisor of n and 3-1. * Note : This paper was the subject of an address to the Ck>ngTe88 August 25, 1S93. In preparing it for publication the list of § 1 has been revised, the last paragraph of § 1 added, and the details of the proof of the theorem of § 3 inserted. The term field (§ 8) and Weber ' s term endlicher Korper are synonyms. We ber. Die allgemeinen Grundlagen der Oalois*ichen Oleichungstheorie {Mathem2) (g«-l)9»^->(ir-'-l)g^'...(?"-l)î, (ç = 2,n>2). (6) (Pn- 1)2«-*(P^,-1)2«*-*... (P.- 1)2», (n> 2), in which P« = 2«-^ + 2«-\ The systems* (4), (5), (6) either are given by Jordan or are derived from Jordan's decompositions of certain linear groups by the principle that the quotient-group t of any two consecutive groups in the series of composition of any group is a simple group +. The systems (1), (2), (3), (6) are simply iufinite; the systems (3'), (4), (5) are doubly infinite. It is clear that of the three doubly-infinite systems the new system (3^ is the densest, that is, its orders increase least rapidly as q and n increase. Professor Cole discovered last spring a new simple group of order 504 not contained in the six systems (1), (2), (3), (4), (5), (6). The facts (a) that in the system (3') the group having (?» w) = (3, 2), order 360, had previously been identified as holoedrically isomorphic with the alternating group in six letters (a simple group), and (b) that the group having (q, n) •> (2, 3) had the order 504 of Cole's new simple group, led to the present investigation. The simple groups of composite order < 660 have been completely enumerated by Holder (Mathematische Annalen, vol 40) and Cole (American Journal of Mathematics, vol. 14; Bulletin of the New York Mathematical Society, vol. 2, p. 254, foot- note). They are one group each for the orders 60, 168, 360 and 504. These are all included in the new system (3'), being the groups having, respectively, (q, n) = (5, 1) or (2, 2), (7, 1), (3, 2), and (2, 3). * See Jordan, Traité des Substitutions, (4) p. 106, (5) pp. 176, 178, (6) pp. 205, 213. These references were gi?en by Professor Cole in the paper, On a certain »impie group, presented by him to the Congress. t See Holder, Mathematieche Annalen, vol. 84. X Two systems of order (6) are given. C. p. 14 210 ELIAKIM HASTINGS MOORE. §2. The simply-infinüe system (3) of simple groups of order i3(9*-l). (9>n The formula ® T s 7©+ o (mod. qX where ah- ßy = l (mod. q) and where a, /8, 7, S are integers taken modulo ç, and 1», «' run through the series of q + 1 values 0, 1, 2,... g - 1, 00 , may be considered an analytic expression of a certain substitution on the q + l symbols or marks 0, 1, .2,...ç-l, x. The totality of all such distinct substitutions constitutes a group of order ^(9'— 1), a particular form of the (abstract) group in question. The group is for every q>3 simple. For an admirable exposition of the properties of this group, together with further references, see Klein-Fricke, Modvi/unctionen, vol. 1, pp. 419-491. The existence and properties of the abstract group as studied under this form depend above all things upon (a) The existence of the system of q marks, 0, 1, 2,...ç — 1, which may be combined by the four fundamental operations of algebra, and in which the ç— 1 marks (0 excluded) are given as the successive powers of one of them (a primitive congruence- root, modulo q) ; (b) The introduction of the mark 00 (due to Galois). §3. The Qalois'fiM of order « = ç^ OF [a]. Suppose that we have a system of s distinct symbols or marks*, /il, /ia, M» (« being some finite positive integer), and suppose that these marks may be combined by the four fundamental operations of algebra — ^addition, subtraction, multiplication, and division — these operations being subject to the ordinary abstract operational identities of algebra /^♦+Mi = M/ + /*<; fiiM'j^tijfJii', (fH + H'j) M'k^ M^H'k+ t^jß^k\ etc. * It is neoessaiy that aU quantitative ideas should be excluded from the concept marks. Kote that the signs > , < do not occur in the theory. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 211 and that when the marks are so combined the results of these operations are in every case uniquely determined and belong to the system of marka Such a system of marks we shall call Skfidd of order s, using the notation F[s]. We are led at once to seek To determine aU swoh fielda of order 8, F [a]. This determination is the subject of this section, § 3. The most familiar instance of such a field of order « s g = a prime is the system of q incongruous classes (modulo q) of rational integral numbers a. Oalois discovered an important generalization of the preceding field. Let Fn {X), a rational integral function of the indeterminate X of degree n with integral coefficients c<, c» = + 1, Fn{X)^ lciX\ be irreducible, modulo q. Then the Oalois-field of order « = ç**, OF [}"], consists of the system of j** incongruous classes (modulis Ç, Fn{X)) of rational integral functions of X with integral co- efficients. In this OF[q^^ there QxvAt primitive roots \ the g» — 1 successive powers of a primitive root are the ç** — 1 marks of the field (0 excluded). The QaloiS'fidd OF [q^] is uniquely defined for every q ^ prime, n = positive integer ; that is : Fn (X) whixih are irreducible (mod. q) do exist ; The OFlq^"] is independent of the particular irreducible Fn{X) used in its construction. For the details of this Galois theory, see Galois: Sur la théorie des nombres (Btdletin des Sciences mathématiques de M. Férussac, vol. 13, p. 428, 1830; reprinted, Journal de Mathématiques pures et appliquées, vol. 11, pp. 398-407, 1846); Serret: Algèbre supérieure, fifth edition, vol. 2, pp. 122-189; and Jordan : Substitutions, pp. 14-18. Assuming now (nothing but) the existence of afield of order s . F [s], I proceed to establish its fundamental properties, and prove in particular (40°) that : Every existent fi^d F[s] is the abstract form of a Oalois-field GFlq""]; 5 = 5». This interesting result I have not seen stated elsewhere. 14--2 212 ELIAKIM HASTINGS MOORE. The purely abstract form here given to the theory would seem to fit it best for immediate use wherever it can with advantage be introduced. Naturally in many details my deduction of the properties of the Fis] runs parallel to the work of Galois, Serret and Jordan in investigating the OF[q'^]. I forbear to give closer references. For tdtiTnate eadstence-proofs I fell back (22°, 38®, 39°) on the Oalois theory. This sharp separation of the necessary properties of the field F [a] if existent fix>m the details of the various existence-proofs I consider highly desirable. Def. Any rational function of any number of indeterminates Xi, X^..,Xisy is said to belong to the field or tobe of the fi^dd, if it has as coefficients marks of the field. An equation between two such functions is said likewise to belong to the field or to be of the field. A rational integral function of any number of indeterminates belonging to the field is called irreducible in the fi^ld when it is not identically* the product of two or more such functions belonging to the field. (1°) The theorems of ordinary algebra concerning rational functions of indeterminates hold foï* functions of our field ; in particular, the algorithm for determination of the highest common factor of two rational integral functions of the indeterminate X. (2**) The 8 marks fh — fh» M2 — A^2, •••/**-/*# are equal; tins mark is written /i(o) or 0. (3®) In division the mark /i^^) » may never be the divisor. (4**) The 8—1 marks — (/ii4=M(o)) are equal; this mark is written /id) or 1. (6^) , fii + /X(o) = /4< for every fn- (fi**) /X(o) f^ = fiif^m = /*{o) for every /i<. (7°) /*(!) /^ = Mi/*(i) = Mi for every fn. (8^) fjLifjj = /X(o) = only if /*< = fHo) = or fij = /X(o) = 0. * In the indeterminates. A DOÜBLY-INFINITE SYSTEM OP SIMPLE GROUPS. 213 Def. c being any positive integer, we denote the mark ft(i) + Mft) + ... + /Aft) (c terms) = l + l + ... + l(c terms) by /X(c> or c (but by the latter notation c only when it is perfectly clear that by c a n^rk c is meant). /i(-,) + /i(»i) + . . . + /x,_,) (c tenns) = fn^). Thus we have defined the marks for aU integral values c. These are called the integral marks of the Fis], (See footnote at beginning of § 3, and (17«).) (10**) /A, + /i, + ... +/*, (c terms) = /itci/^i^c/x,. (11«) The equation belonging to the field /*(X) = 0, where fk(X) is a rational integral function of X of degree k, has tn the field at most A; roots, unless it is an identity in X when every mark of the field is a root. (12«) If we have in the field an identity in X /*(Z)=A(Z).A(Z) (k^h + hi and if the equations /|. (X) = 0, fi^ (X) = have in the field k' and li' roots respectively, then the equation /f,(-X')=sO must have as roots the remaining k' — ^' roots o{fk{X) = 0. Here fc'^Jk, W ^l,, kf^l^ ^k-l,. In particular, if fc'sA:, then l^ — li, for from ^'< ii would follow k'^U>k^k. (13«) For every mark v of the field ¥[8] there exist (because there ai*e only a marks in the field) positive integral solutions c of the equation ci/ = 0, or /i(e) i/ = 0. The smallest such solution is called the additive-period of the mark i/. All the solutions are multiples of this additive-period. (14«) The additive-period of the mark /i(o) = is 1. (15«) The additive-period c, of any mark i/^/t(o) is the smallest positive integer c for which (7«, 13«) /*te) =/*(c)Mft) =M(o) that is, 18 the additive-period c^^ of the mark fjL^ or 1. All marks 1/ 4M{o) ^^ ^ eame additive-period c. 214 ELIAKIM HASTINGS MOORE. (16**) This common additive-period c is a prime q. For if c were composite, c^dd' ('+Z<^*)/+... + Z<^+Z/ + l); whence (30°, 12**) the desired conclusion follows. (33°) In particular, if « — 1 =ç**— 1 ==pi*«p,*«... /)**», where the p'b are the distinct prime factors of 8 — 1, the equation Z*>**'-1=0 for % any integer of the series 1, 2, ... A; has in the field F[8 — ^] p/^i roots V. The exponent e of every one of these roots is a divisor of p/^i and hence is of the form p/^i {hi é A»). Of these roots Pi**""* belong to exponents which are factors o{p/^r\ namely, the p/^i"^ roots of the equation Xp,**~'-1 = 0. The remaining p^i — p/^r^ = p^t (l J roots belong to the exponent p^t itself. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 219 Whence, by multiplication of marks belonging to the various exponents j^ (t = 1, 2 ... A;), we obtain in all distinct marks belonging to the exponent k n/>i*<=BÄ — 1 =5»— 1 (28''). [Here ^ {t) denotes, as usual, the number of integers less than and relatively prime to the positive integer t.] Thus, ^«-l=ç»-l marks (+ 0) of the field ^[* = 5**] are the 8-^1 powers of a mark p belonging to the exponent « — 1, or say» of a primitive root p of the equation X*"^ —1=0, or of the fisld F\s^ q^l itself The muUiplicative-group of the s — I marks is cyclic. (34**) Similarly : Any equation of the form where / is any divisor of « — 1 « ç" — 1, has in the F [ç**] / roots (32®), of which (f) are primitive roots. p being a primitive root of the equation Z'-^-l^O, then p / is a primitive root of the equation Z/-1«0. (35**) All the results reached may be applied to any field F[q^, in particular to any F[^ included within the F[q^], where then (26**) Hs a divisor of n. The marks of such a J^ [j^ are the ^ roots of the equation (31*», 32**) Z«'-Z = Z(Z«'-^-l) = 0. Our field F[q^] containing one -^[5^ contains no other F[(f\. The converse of (35**) is true ; see (39**). (36**) Every mark p(^0) of the J^[ç«] is the root of an equation i\(Z)= 2 c 2, and so « — 1 = even = 2t, then p< ss — i ^ + i ; *he -I J, powers of p are \^^ : every square o- = p** has (odd ^ '^ (not-squares ' -^ ^ f^ two square roots p/^ and p*+* = ~p*. With respect to the multipli- cation and division of squares and not-squares the well-known laws of the theory of numbers [that is, for the particular case oftheeif[9],n=l]hold. (6) If g =2, and so « — 1 = odd = 2i + l, then p' is also a primitive root of the Öi^[g* = 2'*] (since 2 is prime to « — 1); every mark is a square, and has only one square root. (We notice that - 1 = + 1 in this ffi^ [2^.) Thusintheöi'[c»] if ^ ^ ^ there are *^' " "^^ squares, i (« - 1) not-squarea ç=2 «-1 = 2* — 1 squares. (50**) If ç>2, the not-squares of any GF[q!^ are in an including GF^q^"] not-squares or squares, according as the rank n/l^h of the GF[ig^] with respect to the GF[^ is odd or even. a* — 1 p^ = p^ where ^ = r^ - ^ i« a primitive root of the GFlq'] (34''). The marks (+0) of the GF[^ are given by p,'«p«^ (t^ = 0, 1,... (Z-1)). Let Pi' be in GF[^ a not-square; v is odd; Pi^^p^'' is in GF\if''\ a not-square or a square according as uv, that 224 ELIAKIM HASTINGS MOORE. is, as u, is odd or even, that is, in fact, according as A s n/t is odd or even. For by the equation we exhibit u as the sum of h odd terms. §4. The Oalois-field of order Ä = g^. Notation. The GF[^] contains one GFlq""] (§3, 39^. Hereafter in this paper I shall use the small Roman letters a, 6, c, ... to denote integers and also marks of the GF[q], the small Greek letters a, /9, 7, ... to denote marks of the GF[q% and the large Roman letters A, B, C... to denote marks of the GF[^]. Def. In the GF[f^] the two marks A, B where B = A^f A = B^ (since -4^* = -4) are called conjugate with respect to the GF[q^'\, The notation A for the conjugate of -4 is used. (1«) If and only if A belongs to the GF[(f\ does A^A. (2^) ÄC^ÄC, A^ = (Ä)\ A =A, oÄ+bBTcC ='a2+bB + oC. (3^) Every mark A of the GF[q^] and not of the GFlq""] is the root of an equation i;(Z)=Z«-icZ + X = 0, belonging to and irreducible in the GF[q^]. The two roots are Z = ilandZ = il^* = X For: A + Â=:K and AÄ^^L belong to the GF[q*^], since (2^ V) ^ K^A + I^A+A^K, L^AA^ÄA^L. We may then set J + Z = ic, AA = \ and have in an equation belonging to the GF[q^^ with the roots X^A, A and irreducible in the ö-F[9"] since its roots do not belong toÖ^[9"]. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE G1W)UPS. 225 (4®) Converse of (3®). Every quadratic equation F.(Z) = Z«-/tZ + \ = belonging to and irreducible in the GF[q^] is reducible in the 0F[^], having as roots a pair of conjugate marks A, A, (a) There are in all q^ distinct quadratic equations belonging to the GFlq""]. (b) Of these Hs^ + Î**) «^^e reducible in the ©^[ç"], viz., q"" with equal and iiq^iq^- 1)) with unequal roots. (c) There are ^ {^ — 5") irreducible ones which are exactly the equations (3**) whose roots are respectively the | (q^ — 5») pairs of conjugate marks A, A, Note that every mark ß a not-square in the GF[q^] is a square in the GF[q^] (§ 3, 50*»). (5**) Since ç** + 1 is a divisor of g*** — I, the equation Z^^^» -1 = has in the GF[q^] as roots the 9** -hi successive powers of a primitive root J (§ 3, 34^). Any mark A whose conjugate is its reciprocal AA^A^""-^^^!, is thus a power of J and with its conjugate satisfies (3®) a quadratic equation of the form X«-/rZ -1-1 = 0. The powers of J which lie in the GF(q^) satisfy likewise the equation ^«'•-1-1=0, and so the equation Z>-1 = 0; they are then J'' = + 1, and (for ç > 2, g** -h 1 even) /*<«•+« = - 1. Thus there are î^ _ ' 1 n _ on-i quadratic equations of the form 1 Î- » 9 - X«-#cX + l = 0, which belong to and are irreducible in the GF[q^]. I write the one satisfied by J and J ^J"^ thus (•/; 0) (Z-J)(X-J) = Z*-^Z-hl=0, thereby defining the mark 6 of the ff/'[ç'*] c. P. 15 226 ELIAKIM HASTINGS MOOBK (6*^) In the GF[q^] the mark J having the period e = ç"+ 1 defines (§ 3, 23^ 39«) the GF[q^] itself (§ 3, 44«). (7«) In the OFiq"") the mark defines the OFiq""] itselE For let define the 0F[^ {I a divisor of n). The GF[f^] contains a GF[q^t in which the equation belonging to the GF[q^ (/; 0) X«-ÖZ + 1=0, is reducible (4«). Hence its root / belongs to the GF[q^. Thus indeed i = n(6«). (8«) There are ^ (ç" + 1 ) primitive roots / and thus i^ (3* + 1 ) marks 0. We do not now need to inquire further into the properties of this system of marks 0. (9«) Any mark A of the GF[q^] may be written in one and only one way in the form (§ 3, 24«). Its conjugate is (2«, 5«) §B. Definition of the group G^^^^ . Our abstract group* ffjf (ç*) will be studied under two concrete substitution-group forms ©^("^ij and G'Ç^^y Indeed it will be now defined by its concrete form ö^("t\ . We work in the GF[q'^] with a mark x adjoined The mark 00 shall have with respect to the GF[q^] operational properties strictly analogous to those of the algebraic symbol 00 with respect to the totality of finite algebraic symbols. Let the variable marks <û, tu' run through this series of q^-^l marks. Let a, ß, 7, S be any marks of the G/'[j'*] for which the * Ab to group-notation« : The sabsoript attached to the symbol G of a group denotes its order. The superscript attached to the symbol G of a substitution-group denotes its degree. The elements of an abstract group are called operators ; those of a (concrete) substitution-group substitutions. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 227 determinant A » aS — /Sy 4= 0. Then the linear fractional substi- tution <^) '»'""^ (aS-^y = A + 0) makes correspond to every mark œ a certain mark œ\ and indeed so that a takes every one of its q^ + l values, the reciprocal substitution being A A V efifects then a definite permutation of the g** + 1 marks œ and will be thought of as a notation for a substitution-operation on those q^ + 1 marks. The notation a is used for the substitution F. Corresponding to the formulae ^•^ ^ *" "yv+a"' ^^ " y«B + s" (V^ » (a"a:+ß"y')2. The marks (4=0) are half squares and half not-squares (§ 3, 49^) ; and A"^ or A-*p is a square, 15—2 228 ELIAKIM HASTINGS MOORE. according as A is or is not a square (/> being a primitive root of the OFlq""]). By choosing then /a= + VÄ^» or ±\/Ä^ according as A is or is not a square, F^ has its determinant A^ = 1 or p respectively. (6) Case 9 = 2. Every mark (4= 0) is a square (§ 3, 49®). By choosing then fi = VA~^ (uniquely defined in the GJ^[ç»= 2»]), V^ has its determinant A^ = 1. These forms of the substitution for which the determinant is 1 or p (q >2); 1 (9 = 2) are called normal forms of the substitutions. Every substitution has exactly, if q>2, two normal forms, or, if g = 2, one normal form. (,-2) (î^j {^-Sy-1). laemma. The equation of the OF [a = q^] in which € is a fixed mark 4=0, has (« — 1)«(« + 1) solutions (a, Ä 7, S)- For (a) oc being 0, then S may have any one of s values, then ß may have any one of « — 1 values (4= 0), and then 7 is uniquely determined by the equation, and (b) a being 4= 0, then a may have any one of « — 1 values (4= 0), then ß and 7 may each have any one of 8 values, and then the equation deteimines S uniquely. Whence the equation does have in all «(«- 1) + (« - 1)«« t= (« - 1) « (« + 1) = «(«» - I) solutions (a, ß, 7, S). Thus: (g>2). There are ^«(««-1) substitutions ^^^^ having A = aS — /97 = square (in normal form, A= 1) and Ja (5* — 1) having A == not-square (in normal form, A = p), (g=2). There are «(«* — 1) substitutions {^— k) (in normal form having A = 1). Thus clearly the order M{8^q'') of our 0^^*^ (the totality of substitutions with determinant 1) is* * We shall need to discriminate frequently between the oases 9 > 2, ^ = 2. The oompaot notation used for such discrimination should cause no confusion. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 229 The group of all the substitutions with determinants 4^ has the oi-der (2 ; 1) Jf («) according as (j > 2 ; j =* 2). For q>2 the ö^^^^j contains the ö^K as a self-conjugate sub-group of index 2. I prove in this paper the following Theorem. This group GjHe) is a simple group in all except the two particular cases fn = l, î==2, « = 2, iV(«) = 6, ln=l, 2 = 3, « = 3, Jlf(«) = 12, where the 0j£[9) ^^e in fact known to be the ö«.3i symmetric substitution-group on «+ 1 « 3 letters, - the On tetrahedron group or alternating substitution-group on « + 1 = 4 letters, and to have as self-conjugate sub-groups fa Ö3 cyclic-group. (a 04 four-group. To this end it is necessary first (§ 7) to discuss the individual operators, and the cyclic and commutative* sub-groups of the Grjut), £knd secondly (§ 8) to establish a.diophantine equation! for the order of a self-conjugate sub-group, which shall lead to the conclusion that the only self-conjugate sub-groups of the öjfu) are the identity and the Gmw itself. In § 6 a new " imaginary " form G'^J^^}^ of the group is introduced, which will be very useful in § 7; for n=»l this introduction is due to Serret. The theory of §§ 6, 7 runs on the whole parallel to that for the case n=s 1, ; > 2 as exhibited^ by Klein-Fricke following Serret and Gierster. There are» however, necessary and important variations. * A group is oaUed commutative if its operators are oommatatiye. t Klein uses this method to prove the ikosahedron group G^ simple; Ihotatder^ p. 17. X Klein : Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, aus- gearbeitet und vervollständigt von Dr. Robert Friche, (1890-92) : vol. 1, pp. 419-460. Serret: Comptes Rendus, 1859, 1860; Algèbre supérieure, vol. 2, p. 868 fl. Gierster: Mathematische Annalen, vol. 18, pp. 319-865; Die Untergruppen der Galois*sehen Gruppe der Modulargleichungen für den Fall eines prinuahligen Transformationsgrades, 230 ELIAKIM HASTINOS MOORE. §6- Definition of the group G'j^^^, the ''imaginary" form of the Öjf(^). We work in the OF\(f^'] with a mark x adjoined, and let the variable marks TT, W run through this series of 5*" + 1 = 8* + 1 marks, {s is used hereafter uniformly for q^.) Consider the group Cr^^^\)M{fi) (? ^ ^ > 5 = 2) of all substitutions of the form This group contains the sub-group ö^t^j of all substitutions of the form which is holoedrically isomorphic with the substitution-group ^*M{i) (§ ^) ^^ ^^^ « +1 marks a»; indeed, it is an intransitive group on the «* + 1 marks TT, the « + 1 marks © forming one system of intransitivity. The group Öj^tJ. ^^^ contains also the substitution (8) Ji.0 of detenniuant J - /+ (§ 4, 1», 5°). We have (§ 4, 5») (4) J*=0J-1; J*^eJ-l. (5) J'/=l; /+/=«; (J-/)» = Ö»-4 + 0. (6) J2-« = 1 _-J^ A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 231 R transforma* the group öj'^ {V} into an holoedrically isomorphic group 0'^^/,, {F} = R {V] R-' = {F « RVR-'}, where (7) ^=(^j (A«aS-/97=l). (8) (9) \B, A) KfiJfvJ, K + \JJ ^ . , (a-8)g-2(/3-7) (10) A' = ilJ-55 = #c» + X«-M*-i^ + (icX-/ii;)ö = aS-/97«A = l. This group ö'^^^j includes every substitution of the form ( F) (8). The V is determined from the F by the formulae (11) a« Ä-/A + \ö ^ = + X + i/ 7 = -X + i/ + /A^ (12) A = aS-i9y = #c»+\>-/Lt«- i;>+(iicX-/Ai;)ö «ilJ-fi5-A'»l. This group ff'^^^J {F} (8) is the "imaginary" form of our Öjf(,). For n==l, q>2 this form was introduced (by Serret, and then) by Qi er s ter, loc, dt, p. 327, and indeed, as we have done for the general case, by introducing the broader group Q^m^ within which the öJli and the G'J.T^j are conjugate sub-groups * /?, r being two operators of a group, R trarufornu V into the ooQJ agate operator r*s:RVR'\ Thi« definition is preferable to the other. V*zsR-^ VR, when »8 here in the O^^ the operators are substitutions on the «+1 marks operating /roifi the right to the left. 232 ELIAKIM HASTINGS MOORE. (foc. cit, p. 331). Gierster (foc. cit., p. 328) and Klein-Frîcke (loc. cit., p. 425) use transforming substitutions which depend upon the square root in the GF[q^] of a not-square in the OF[j^]. Since however not-squares do not exist in ö-F [« = }"] with g = 2, we have made use of a transforming substitution jB of a different t^'pe which does exist for the general n with 9 » 2 as well as with q>2. I notice in conclusion that the two substitutions F« of the Öj+^ and F/ = ÄFaÄ-> of the Ö'J",} are conjugate, and accordingly V$ has the period -^-7^ (§ 7, (H)). §7. The individual operators and the cyclic and commviative sub-groups of the Gmw* To summarize at once the conclusions of this section : Of the Gmh) every operator {the identity excepted) determines and lies in one and only one largest* commutative sub-group. These sub-groups constitute three different sets, the groups of eocA set being conjugate with one another under the GMie)- (I) s + 1 conjugate commutative Gg^qn. These «* — 1 operators are all of period q. For q^2 these are ail conjugate operators. For q>2 they separate into two sets of ^(fi*— 1) conjugate operators. The ç — 1 operators of a cyclic group Gq (q > 2) belong [n odd, half to one and haif to the other] . /. . . i „^ ^, -^ > set ofconivgate operators. \n even, all to the sams j »^ •/ ^ ^ (II)* \s (s + 1) conjugate cyclic groups G,+^ (? > 2 ; ? ■= 2). 2i 1 (III)* ^« (« — 1) conjugate cyclic groups Gg+i (ç > 2 ; y = 2), 2; 1 * For the cases s=zq^=6; 8, the Ojr(t) being the ikosahedron G^; the tetra- hedron Oj2t ^^ groups (II)* ; (III)* above specified, viz., 15 conjugate G, under the Gqo ; 3 conjugate G, under the G^,, exist, but every one is contained in a larger commutative four-group, these constituting a system of (II) five conjugate commu- tative four-groups ; (III) one commutative four-group. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 233 The operators and groups of the three types will be discussed by considering the Gjjf (,) in the concrete substitution-group form ^mI) ^^r ^ypes I, n, and G'^\]^ for type III. I. The operators of period q. Denote by Sß the substitution of the ffï"(,) We have (2) Sßßß^- Sß^+ß^ = Sßßß/, Sß^^Safi'y (3) 8ß9^S^^So = I] Sß-' = S^ß = Sß '-ik^- The totality of « = j" substitutions Sß constitutes a commuta- tive group 0^*^ [Sß] of order s^q^. Every substitution (except «— 1 the identity) is of period q. There are — pr cyclic Gq in the öi*\ To study the conjugacy of these substitutions and groups under the G]^^^^ we transform /S^(/a4=0) by F= (^->) and obtain This transformed substitution belongs to the 0^*^ if and only if in F 7 = 0, and in fact F = (7r~i) ^<>^ transform S^ into S.i^, while in particular any Sß « ( /t-t ) transforms fif^ into itself. Within the G^^Jj the substitution S^ {/a + 0} is self-conjugate in exactly the G^^^ [Sß], while the G^^^ is self-conjugate in exactly the ÖJ7,^ {ô*"^il- '^^^ ^^^^ ^^ ^'^^ ^^* 8roup is ^^^^ , for a has in all « — 1 values (4= 0), and ß has independently e values ; every substitution is however counted twice if j > 2. The substi- 234 ELIAKIM HASTINGS MOORE. tution Sfi, is conjugate under the 6r^^^^ with the substitutions 5«^, i.e., if (q>2; 9^2), with (only half; all) the « — 1 substitutions of the 0^*^ (§ 3, 49^ If j > 2. the « - 1 substitutions of the 0^*^ separate into two sets of ^(s— 1) conjugate substitutions. The 5 — 1 substitutions of a cyclic group Oq {Sa^} (a 4= 0) belong half to one and half to the other set, if n is odd, since then only half the marks a are in the OF[q^] squares (§ 3, 50°), while if n is even, they all belong to the same set, since all the marks a are in the OF[q^] squares. In the 0*^}, there are conjugate commutative groups G^'K Each of these is defined by any substitution lying in it (the identity excepted) as the group in which that substitution is self-conjugate. The « + 1 groups have the identity in common, but otherwise have quite distinct substi- tutions all of period 5, s* — 1 in all. Theorem (I) as stated is now seen to be proved. Ä — 1 //. The operators of periods divisors of ^-^ . Denote by P the substitution of the 0'^^^^ where p is a primitive root of the field GF[s] (§ 3, 33**). We have as powers of P (7) ^=(o^â) (^ = 0.±1.±2,...) p belongs to the exponent «—1. The cyclic group generated by P has order -^y (g > 2 ; 5 = 2) ; denote it by Ö^*_f {P^}, The sub- stitutions (-^) (08-/87=1) of this group are defined by the equations /8 = 0, 7 = 0. This group (?^_^ contains a substitution of period two if and A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 235 oDly if «ass Ç» has the form « = g'*s=4A4-l ; in this case Vo, -V-i/ exists and has the period two. Any substitution V of the 0*^\ (9) ^=(H) («S-/97 = l) transforms P» + /(p^ + ± 1 ; /. p9^p-ff^0) into This transformed substitution belongs to the cyclic group Qt(« 0) |pyj if jjj Fa/S = and 78 = 0. We have also aS - /S7 « 1. 2; 1 Two cases arise. First case : /8 = 7 = 0. F= ( ^' _J itself belongs to the cyclic group 6r^*j and of course transforms every P^ of the group into 2; 1 itself. Second case: a = S = 0. Fs=( — ' , ^ | transforms -P' into P^, which is distinct from J^ unless f^ is of period two. Within the O^^^^ the cyclic (z^*^ is self-conjugate in exactly 271 the dihedron-group Ö *_i composed of the totality of substitutions »'«»^-(o^.)'(4f«)- Within the 0^^^^. a substitution P^ is self-conjugate in exactly (•0) — the O^.i , except in the case « = g^ = 4A4-l, in which the P * 2TI is self-conjugate in exactly the dihedron Ö *.i ; this dihedron group is commutative only if it is a four-group (* = g^ = 5). In the Ö^^,j there are |jf («) = ^^^^^H ^ 2 |f| = i« (« -h 1) conjugate cyclic groups Ö^_^ = û^#-r Each of these is defined by 271 «7Î 236 ELIA&IM HASTINGS MOORE. any substitution lying in it (the identity excepted) as the largest cyclic group containiijg that substitution. The ^«(«+1) groups have the identity in common, but otherwise have quite distinct substitutions, of periods divisors of ^ — - , in all «. « + 1 ( 8-1 _ ,\ g(^-f l)(g-3; 8-2) " 2 \2; 1 V" 4; 2 substitutions. In the öj|f(,) there are M(8) -r ^-;-y = »(« + !) substitutions conjugate to P^ of which two lie in every Gt^^ (for instance, in ïTï d^^^i lie P^ and P-^). However, for « = ç'*-4a + 1, there are 8-1 only J^ä{« + 1) substitutions conjugate to P * , one lying in every 0^.^.^ ///. The operators of periods divisors of ^-7-=^ . Denote by Q the substitution of the ö'^"{,j J, 0> «-Q> where J is a primitive root of the equation X*"'"^ = l and J=J^^ (§ 4, 5°). We have as powera of Q J belongs to the exponent «4-1. The cyclic group generated by Q has order ^4^ (? > 2 ; j = 2) ; denote it by 0*^^ {Q^]. The sub- /A B\ - — stitutions (.J-—] (A A —BB — l) of this group are defined by the equation 5 = /. 5 = 0; see (§ 4, 5*^). This group G*^^ contains a substitution of period two if and only its — q^ has the form « = g** = 4Ä; — 1 ; in this case (12) .[±_-l^^ exists and has the period two. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 237 Notice particularly that in the Gm{8) operations of period two are always present being all of type I, II or III according as ç is even (= 2), or (q odd) g** of the form g** = 4A 4- 1 or g" = 4Jfc — 1. Any substitution V of the ö' JJ,^) (13) ^=(o) {AÄ^BB^l) transforms Qä' + /(/^+± 1 ; /. J^- J^4=0) into (14) V(>V-^ = f AÄJo^BBj9,^AB{j9--Jo x ^ ^ ^ \ÄB{J9^J9), AAJs-BBJor This transformed substitution belongs to the cyclic group G^r+i 10^} ^^^° F^Ä = and 25 = 0. We have also^Z -55=1. Two cases arise. First case : 5 = 5 = 0. r=( — ^l^,«"! itself belongs to the \ü, ^ ^ A ' cyclic group (t*^^ and of course transforms every Qß of the group into itself. Second case: il=J[ = 0. V—i-- '— ) transforms Of \B = ^B'\ 0/ into Qr^, which is distinct from Q^ unless Q^ is of period two. Within the G^^^^ the cyclic G*^^ is self-conjugate in exactly îTï the dihedron-group ö*,^i composed of the totality of substitutions of the forms. (^).(:A^). Within the öjr(#) a substitution Q^ is self-conjugate in exactly 8+1 the 0*^^, except in the case « = 5** = 4i^ — 1, in which the Q * is self-conjugate in exactly the dihedron G^^^i ; this dihedron-group is commutative only if it is a four-group (« = ç* = 3). In the Gm(8) there are \Mi8)^^-^M^2^~^^^s(8-l) cyclic groups G^^^ conjugate to G*_^y Each of these is defined by any substitution lying in it (the identity excepted) as the largest 238 ELIAKIM HASTINGS MOORE. cyclic group containing that substitution. The J*(« — 1) groups have the identity in common, but otherwise have quite distinct Ä + 1 substitutions, of periods divisors of ^ — 7 , in all 8.8-1 /8+1 _ \ 8 (8-l)(8-l; 8) 2 llTl /" 4; 2 substitutions. «4-1 In the Öjf(t) there are M (8) •7-^-^^8(8 — 1) substitutions conjugate to Q^ of which two lie in every (z^^j (in ö*^j, for in- stance, lie Q^ and Q"^). However, for « « g** s= 4Â; — 1, there are only i«(« — 1) substitutions conjugate to Q * , one lying in every 2; Î We have now enumerated all the individual operators of the OM{i) , and likewise all the cyclic and commutative sub-groups ; for + 4.2- — 2rr~^^*'' (The identity is not enumerated under I, II or III and so is counted separately). §8. Concerning 8elf'Conjugate 8vh-group8 Gd of the Oar (#>. Every ÖJf(#)(«+2^ 3*) w a eimple group. Let Gd be any self- conjugate sub-group of the Gm{s)' If the Gd contains one of a set of conjugate substitutions or sub-groups of the GM(ß)9 it will contain all of that set. Whence the Gd contains i«(« ± 1) conjugate cyclic Gd^ from the ^8{8 ± 1) conju- gate cyclic Gg^f and of the substitutions of period q either none ïTï «" — 1 or all of one or both sets ; the one set of ^ ^ conjugate substi- tutions. A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 239 The enumeration of the individual substitutions of the self- conjugate Gd leads to the diophantine equation (1) l + i(«»-l)/+is(» + !)((«-- l) + i»(«-l)(d+-l) = (i to be satisfied for positive integral values of d, d», d+,/ where d, d^, d^ are divisors of sis' -I) s-1 s + 1 2; 1 ' 2; 1' 2; 1' respectively, and where / is restricted to the values 0, 1, 2 ; 0, 2. This equation (1) becomes (1*) -i(«3-l)A + i«(« + l)d- + èA(«-l)d+ = d, where (2) A = 2-./«2,l,0; 2,0. Notice that any two of the three integers «■-1 6 + 1 ' 2;!' 2;1 are relatively prime. Denote, as usual, by [t, u] the greatest common divisor of the two positive integers t, u, (2 is a divisor of -. , . Ä.«— 1.Ä + 1 Q s «—1 «+1 ^W^ 271 ^•!T2'2T1 2iT' and may be written (3) d=:2Vc-C+, where 8 = q^ <3) Now d^ is a divisor of ^ — r-, .*. of terms first, second, third of the equation (1*), .*. of term fourth, .*. of d, and .*. of c^. On the other hand c^ is a divisor of d and of ^ — i^ , .'. of t^rms first, fourth, third ^. second ^i/.^xj i.^«Tl- i^- i second- •• ^^**"" third ' •' «^ i«(«±l)<«- b«* 271 ** «-«I^ti^^'y prime to s,^ — r and so to ^s(«±l); .-. c^ is a divisor of d^. Whence (4) c, = d,. 240 ELIAKIM HASTINGS MOORE. [Case A = 0]. =- - ^ is a divisor of terms first, second, third of the equation (1*), /. of term fourth, /. of d. Whence 8 O^ [Case A > 0]. c' is a divisor of d and of = — ^ = r-^-^ ; so that c' = 3*(i^n; n — 1). c' is a divisor of terms second, third, fourth of the equation (1*), /. of term first, /. of — ^ («* — 1) A, .*. of (s^ — 1) A, .•. of h. But A is 1 or 2 (being > for this case). Whence (5a>o) c'-l. For 5 > 2, this is at once evident. For g = 2, it is also true ; c' is a divisor of -H«*- l)A = -(«'-l)iA = -(«'- 1) (since A = 2) and so must bel, «" — 1 = 2^ — 1 being odd, and c' = g* = 2» being even unless i = 0. (3ä>o) d = 2«d.d+ (2' = 1 or 2). Here for j = 2, c' = [i«,d] = [2'»-Sd] = l, and so, for n > 1, d is odd and 2^ = 1. The case g = 2, n = 1, ä = 2, M (s) = 6 occurs of course in the old theory. See Klein-Fricke : Modvifunctionen, Vol. 1, pp. 285, 387 — 392, 398. The ojjîjjj^g^jj is in fact the composite symmetric substitution-group on « + 1 = 3 letters, having a Gj-cyclic group as a self-conjugate sub-group. In fact, the equation (1*a>o) is, for this case, -34-3d_-hld+ = d, where d, d_, d+ are divisors of 6, 1, 3 respectively. Whence d_=l, d+ = d = 3. This solution of the diophantine equation gives the self-conjugate cyclic O^ sub-group. Here also we have 2^ = 1. Thus, defining 2* more narrowly, (3'a>o) d = 2*d^d^ (2* = 1 or 2 ; 1). A DOUBLY-INFINITE SYSTEM OF SIMPLE GROUPS. 241 Discussion of the diophantine equation (I*) using the eqtuitions (3). It is convenient to introduce the &ctors e^ complementary io d^ by the equations: (6) 271='*''''' * = (2 ;!)<«,«, ±1. [Case h = 0]. Equation (1*) becomes for A = 0, after replacing s . . sTl d by 2*;j — 0^-^+ (3a-o)i substituting d^e^ for ^ — r (6)> and re- moving the factor ^-7-5^-^+1 (7) e+ + 6-=-2« = lor2. The only solution to this is (8)2' = 2. «_ = «+ = !. rf, = |fj. A = 0.5r = 2.rf=^^^=Jf(»). which corresponds to the GM(ê) itself as the self-conjugate sub- group Oa. [Case A = 0, 5 > 2 ; .•. A == 1 or 2]. Equation (1*) becomes for this case by use of (3'ä>o)i (6), (9) - 2ér-.^+A 4- ««+ + ««_ = 2« = 1 or 2; this becomes, when we substitute by (3) for the first s idue^ + 1 and for the second s 2d+e+ — 1, (9) - 26^+A -h (2d_6_ + 1) e+ + (2d+6+ - 1) C- « 2«, or, making a convenient rearrangement, (9") {2ke^ - 1) ö_ + c+ = 2* = 1 or 2, where (10) Ä; = d. + d+-A; /. ä:>0. The case k^O^d^-^d^ — h leads to the single solution (11) d- = d+ = l, A = 2, 5r = 0, d = l, which corresponds to the identity Oi as the self-conjugate sub- group öd. The case k>l requires (9") (12) 2« = 2, ««««+ = 1, d^^i(sTl), A; = l=d. + d+-A = «-A; « = A + 1 = 2 or 3, in fact 3. 9 = 2 is impossible here since q>2. This case (120 « = 3» ? = 3. ^ = 1» 1^(«) = 12, c. P. 16 242 ELIAKIM HASTINOS MOOBE. occurs in the old theoiy. See Klein-Fricke: ModulfuncUonen, VoL 1, pp. 354, 387—392, 398. The O^vi^^ ia in fect the composite tetrahedron-group or alternating substitution-group on «-hi = 4 letters, having a (T4-four-group as a self-conjugate sub- group. Indeed our results become for this case (13) « = 3, 2« = 2, d_=l, d+ = 2, d = 4,i«(«-l) = 3, A = 2, 5r = 0; that is, the self-conjugate O^.« consists of the identity and three substitutions of period two. [Case A > 0, 5 = 2; .*. A =* 2]. Equation (1*) becomes for this case by use of (3'a>o), (6), (14) — e^e+ + ise^ + ^se^ = 1 ; this becomes, removing the is by use of (6), (14') - e^+ -h (d»6- + 1) e+ + (d+«+ - 1) c- = 2, or, making a convenient rearrangement, (14") (te+-l)ö.-h6+ = 2, where (15) ifc = d_-hd+-2; .-. k^O. The case A; ~ leads to the single solution (16) 2< = 1, d-»d+«l, A = 2, <7 = 0, d = l. which corresponds to the identity Oi as the self-conjugate sub- group. The case k>l requires (14") (17) c» = c+ = l, d^ = «Tl, i: = 2 = d. + d+-2 = 2«-2, 8=2. This corresponds to the composite Om{^~9 already considered. Thus finally : The group (?jf (»-g») of order *(.)-'-^=«^^ (,>î;,-2). uniquely defined for every 8 = q^== any nth power of amy prime j, is a simple gnmp, except in the two particular cases s » 2^ 3^ [Addition of Oct. 29, 1895, I have within a month found out that Mathieu (Liouville's Journal, ser. 2, vol. 5, pp. 38 — 42, 1860) defined the groups Gr^^]^ and G'^.\^ j^^^y and studied their cyclic sub-groups.] The Univsrsitt of Chicago. ÜBER DIE ARITHMETISCH-ALGEBRAISCHEN TENDENZEN LEOPOLD KRONECKER'S. VON E. NETTO IN GIESSEN. Leopold Kronecker that mir gegenüber die Äusserung, er habe in seinem Leben bei weitem mehr philosophisch als mathematisch gedacht und er halte es sogar für geboten, über sein enges Fach hinaus zu allgemeinen Ideen zu streben, um diese dann rückwärts im eigenen Arbeitsgebiete zu verwerten. Diesen philosophischen Zug findet man besonders in den letzten Jahren seines Lebens bei ihm ausgeprägt. Seine Grund- lagen auseinander zu setzen und seine Ziele darzulegen, soll im Folgenden versucht werden. In der Einleitung zu dem Au&atze: "Über den Zahlbegriif " hat L. Kronecker in kurzer Fassung den Kern seiner philoso- phisch-mathematischen Anschauungen und zugleich die Zielpunkte seiner arithmetisch-algebraischen Forschungen ausgesprochen. Er knüpft an die Gauss 'sehen Worte an : " Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Arithmetik die Königin der Mathematik." Dann fahrt er fort : " Dabei ist das Wort ' Arith- metik' nicht in dem üblichen beschränkten Sinne zu verstehen, sondern es sind alle mathematischen Disciplinen mit Ausnahme der Geometrie und Mechanik, also namentlich die Algebra und Analysis mit darunter zu begreifen. Und ich glaube auch, dass es dereinst gelingen wird, den gesamten Inhalt aller dieser mathe- matischen Disciplinen zu ' arithmetisiren ' d. h. einzig und allein auf den im engsten Sinne genommenen Zahlbegriff zu gründen, also alle die Modificationen und Erweiterungen dieses Begriffes — ich meine hier namentlich die Hinzunahme der irrationalen sowie der continuirlichen Grössen — wieder abzustreifen, welche zumeist durch 16—2 244 E. NETTO. die Anwendungen auf die Geometrie und Mechanik veranlasst worden sind." "Alle Ergebnisse der tiefsinnigsten mathematischen Forschung müssen schliesslich in den einfachen Formen der Eigen- schaften ganzer Zahlen ausdrückbar sein." In derselben Arbeit findet auch die Frage, aus welchen Gründen der Freiheit mathematischer Bewegung so enge Grenzen gezogen seien, ihre Beantwortung: Eronecker teilt die Gauss'- sehe Meinung, dass die Zahl bloss unseres Geistes Product sei, während der Raum wie die Zeit auch ausser unserem Geiste eine Realität haben, so dass unserer Kenntnis von diesen durchaus diejenige vollständige Überzeugung abgeht, welche jener eigen ist. Durch jene Beschränkung erlangt also die Mathematik bei einem Minimum von Voraussetzungen die grösst mögliche Sicherheit ihrer Schlüsse und Resultate. Mit den Zielen und Mitteln ändert sich natürlich die Me- thode der Untersuchung, indem auch sie sich nur innerhalb der Schranken bewegen darf, welche durch die streng arithmetischen Anschauungen gezogen sind ; ja es ändern sich die Begriffe der Definitionen, der Behauptungen und der Beweise; — kurz, wenn von wissenschaftlichen Revolutionen gesprochen werden darf, dann muss das Kronecker'sche Vorgehen eine Revolution genannt werden. Weder beiDefinitionen noch bei Beweisen darfeine bloss logische Evidenz genügen : die Richtigkeit eines jeden Schrittes muss sich durch eine endliche Anzahl rein zahlentbeoretischer Operationen nachweisen lassen. So reicht es nicht aus, die Definition der Reductibilität und Irreductibilität auf die Überlegung zu stützen, dass jede ganze, ganzzahlige Function in Factoren derselben Art zerlegbar oder nicht zerlegbar sei ; sondern es muss eine Methode angegeben werden, welche durch eine begrenzte Anzahl ausführ- barer Versuche die Entscheidung über den Charakter der Reducti- bilität giebt. Ebensowenig reicht es aus, dass eine Schlussfolgerung sich auf die logische Evidenz eines Maximums oder Minimums gründet; es muss möglich sein, dieses Maximum oder Minimum durch eine endliche Anzahl von Operationen mit einer beliebig vorgeschriebenen Genauigkeit zu bestimmen. Wenn dies, wie bei nicht differentiirbaren Functionen unmöglich ist, dann muss die Berechtigung derartiger Schlüsse in Zweifel gezogen werden dürfen. ÜBER LEOPOLD KRONEOKBR. 245 Wie sich die dargelegten Anschauungen bei der Fassung von Theoremen geltend machen, das zeigt sich wohl am einfachsten an einigen Beispielen. Aus der Theorie der orthogonalen Systeme entnimmt man den Satz, dass mit dem Systeme der Gleichungen zwischen den 4 Grössen a, 6, Oi, 61 auch das System erfüllt ist, oder in anderen Worten, dass die letzten drei Gleichun- gen "eine Folge" der drei ersten sind. Diese Ausdnicks weise ist jedoch zu unbestimmt ; der Satz muss in der Gestalt identischer Gleichungen präcis und übersichtlich gefasst werden; und dies geschieht durch das Gleichungssystem a* + ai«-l=(l-ai*)(a* + 6»-l)4-6»(ai" + 6i'-l) + (aai - 661) (aoi + 66,), 6» + 6|«-l = (l-6,«)(a> + 6»-«l) + a»(a,« + 6,«-l) + (661 — aai) (aoi + 661), 06 + 016, = -ai6i(a> + 6«- 1)- »6(0,« + 6,« - 1) + (06, + 0,6) (ooi + 661), welches erkennen lässt, dass jeder der drei Ausdrücke a' + o,* — 1, 6" + 6i'-l, 06 + 0161 eine lineare Function der drei Ausdrücke a* + 6' — 1, Oi» + 6i*-l, oai + 661 mit ganzen, ganzzahligen CoeflS- cienten ist. Ean anderes Beispiel liefert Kronecker in seinen Vorlesungen über Integrale durch die Umformung des Satzes: "Hat eine trigonometrische Reihe den constanteu Wert Null, dann sind alle CoeflScienten der Reihe selbst gleich Null," — ^in die noch unbe- wiesene Fassung: "Verschwinden nicht sämtliche Coefiicienten einer trigonometrischen Reihe, dann lässt sich durch eine endliche Anzahl von Operationen ein Wert des Argumentes bestimmen, für den der absolute Wert der Reihe grösser ist, als eine von Null verschiedene, sonst aber beliebig kleine, positive Grösse." Endlich ist es von Interesse, im Anschluss an die entwickelten Ideen, sich die Kronecker'schen Auffassungen über das Ziel mathematischer Forschung, ja einer jeden wissenschaftlichen Forschung klarzulegen. " Jede wissenschaftliche Forschung geht 246 E. NETTO. darauf aus, ÄequivcUemen festzustellen und deren Invarianten zu ermitteln, und fUr jede gilt das Dichterwort : der Weise Sucht den ruhenden Pol in der Erscheinungen Flucht/' Jede Abstraction, z. B. die von gewissen Verschiedenheiten, welche eine Anzahl von Objecten darbietet, statuirt eine Aequivalenz; alle Objecte, die einander bis auf jene Verschiedenheiten gleichen, gehören zu einer Aequivalenzclasse, sind unter einander aequiva- lent, und der aus der Abstraction hervorgehende Begriff bildet die " Invariante der Aequivalenz." Die besondere Aufgabe der Mathe- matik ist es, diese Invarianten in Gestalt identischer Gleichungen zu formuliren. Wenn also 2^/, ^/, ,..z^ beliebige Objecte sind, und z^i z^\ z^'\,., einander aequivalent (für a = 1, 2,...n), dann müssen die for die Aequivalenz charakteristischen, eindeutigen Functionen /jk gefunden werden, welche Ik (^/i W I • • • ^n) = Ik {Zi\ Z^\ ' • • ^n") = Ik {^"\ ^t"> • • • ^n ") = • • • liefern. Die /j^ müssen durch die Gleichungen einen vollständigen Ersatz des Aequivalenzbegriffes geben. Solche Invarianten heissen rationale, algebraische, arithmetische, analytische, je nachdem sie durch rationale, algebraische, arithmetische oder analytische Operationen aus den Elementen gebildet werden, und unter analytischen Operationen werden hierbei solche verstanden, bei denen der Limesbegriff zur Anwendung kommt. Betrachtet man beispielsweise zwei Grössen als aequivalent, wenn sie sich nur um ganze Zahlen von einander unterscheiden, dann bildet TT cotg -?7r = lim 2 ? die analytische Invariante dieser Aequivalenz ; und da hierbei, der Bildung der rechten Seite gemäss, die Invariante als symmetrische Function sämtlicher einander aequivalenter Grössen auftritt, so tritt die Aequivalenz-Bedingung in Evidenz. Während in diesem Falle eine bekannte Invariante als sym- metrische Function dargestellt wird, kann man in anderen Fällen umgekehrt von den symmetrischen Aequivalenz-Functionen aus- gehen, deren Eigenschaften untersuchen, ihnen andere Bedeutungen abgewinnen und dadurch das Gebiet der Analysis naturgemäss ÜBER LEOPOLD KRONECKER. 247 erweitern. Dieses arithmetische Princip trägt ausserordentlich weit und fiihrt z. B. ohne Mühe auf eine arithmetische Theorie der elliptischen Functionen. Wir gehen nun auf eine früher angeregte Frage zurück. Bei rein arithmetischer Behandlung der Algebra sind die negativen, gebrochenen, imaginären, algebraischen, irrationalen Qrössen aus- zuscheiden ; der gesamte Inhalt der Wissenschaft muss sich unter die Eigenschafben ganzer, ganzzahliger Functionen einreihen lassen. Wie sind nun die auszuscheidenden Qrössen zu ersetzen, und durch welche Methoden kann ihre Benutzung überflüssig gemacht werden? Die Antwort gestaltet sich in ihrer Grundidee über- raschend einfach, und gerade dadurch scheint ihre Genialität verbürgt zu sein. Die genaueren Darlegungen finden sich in der Festschrift : " Grundzüge einer arithmetischen Theorie der alge- braischen Grössen " und in dem Aufsatze : " Über einige Anwend- ungen der Modulsysteme auf elementare algebraische Fragen"; eine sehr eingehende und übersichtliche Darstellung hat Herr J. Molk in seiner Arbeit : " Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité eta" (Acta mathematica vi.) gegeben. Das Grundprincip besteht in einer Ausdehnung der Gauss'- schen zahlentheoretischen Congruenzen nach einem bestimmten Modul. In den Fällen der negativen, imaginären und algebrai- schen Grössen reicht die Gauss 'sehe Einführung fUr unseren Zweck schon aus. Hier formt man die Gleichungen, welche negative oder imaginäre Grössen enthalten, etwa a — 6 = ai — 6i oder a + &i = Ol -h bii in Congruenzen a-^-bx^Oi-^biX nach dem Modul (x + 1) bezw. (a^ + 1) um. Und dadurch gewinnen die Sätze auch noch an Inhalt, indem jetzt ausgesagt wird, dass für jede ganze Zahl œ die Reste der Divisionen beider Seiten durch (a?-hl) bezw. (a^ + 1) einander gleich sind. Bei der Einführung der algebraischen Grössen ist zu unter- scheiden, ob Fragen vorliegen, bei denen eine Isolirung der unter einander conjugirten algebraischen Grössen, d. h. also die Isolirung der verschiedenen Wurzeln einer irreductiblen Gleichung gefordert wird, oder nicht. Im zweiten Falle kann man mit Hülfe des Galois'schen Princips einen Modul ausfindig machen, nach dem die vorgelegte Gleichung in lineare Factoren zerlegt werden kann, in welche nur rational bekannte Grössen eingehen. Eronecker hat dies im hundertsten Bande des Journals f. d. reine 248 E. NETTO. u. angewandte Mathematik eingehend dargelegt ; wir wollen ans jetzt damit begnügen, als Beispiel die Congnienz 4 (9c,)» («» - c,) = (9c,« - jg*) (18c,a? + 9(^ + ^) (18(v» + 9(V + ^) (mod. sf" + 27c0 hervorzuheben, durch welche die Einführung der conjugirten Wurzeln von a:» — c, = unnötig gemacht wird Wie man sich bei der ersten Möglichkeit hinsichtlich der Einführung algebrai- scher Zahlen zu verhalten hat, das soll später besprochen werden. Schon bei der Behandlung gebrochener Grössen macht sich das Bedürfnis nach einer Erweiterung dieser Congruenzbetracht- untren fireltend. So kann der Satz : — h - = nur durch ° ° m n mn ax + by^ (an + bm)z (modd. mx — 1, ny — 1, mnz — 1) d. h. als Congnienz nach drei Moduln dargestellt werden. Es ist also eine naturgemässe Erweiterung der Gauss'schen Ideen, welche Eronecker durch die Einfuhrung des Begriffes der Modulsysteme gemacht hat. Allen Untersuchungen wird eine Zahl unbestimmter Variablen R\ R',..,zxi Gnmde gelegt; alle ganzen, ganzzahligen Functionen derselben bilden den " Bationalitätsbereich " {R\ Bf',...). Das Bedürfnis einer Präcisirung dessen, was bei einer bestimmten Untersuchung als rational zu betrachten sei, tritt bei Galois und auch schon bei Abel auf; aber erst Eronecker hat dieses Bedürfnis durch conséquente Verwendung des Rationalitäts- bereiches befriedigt. Ein Modulsystem wird durch eine Reihe Mi, if,,... if iA von ganzen, ganzzahligen Functionen des Rationalitäts- bereiches gebildet und mit (Mi, Jf2,...-lf,*) bezeichnet; dann wird aus dem Gauss'schen Congruenzbegriff die Congruenz nach einem Modulsystem abgeleitet, indem zwei Grössen des Bereiches einander nach diesem Systeme congruent genannt werden, wenn ihre Differenz gleich einer Summe XC^Mk gesetzt werden kann, in der die CoeflScienten C^ ebenfalls ganze Grössen von (Bf, B'\»,.) sind. Diese Einführung von (Mi, ilfa,...^/^) ist eben so ein&ch als weittragend, wie sich bereits in manchen neueren Arbeiten gezeigt hat ; mit ihrer Hülfe gelingt es, die algebraischen Sätze in Form von Identitäten auszusprechen. So kann man beispielsweise die Behandlung schiefer Systeme dadurch ersetzen, dass man unbe- ÜBER LEOPOLD KRONECKER. 249 stimmte Variable va nach dem aus den Elementen Vü, Vijb + vju gebildeten Modulsysteme betrachtet. Wie sich die Behandlung orthogonaler Systeme gestaltet, haben wir bereits oben ange- deutet. Die principielle Wichtigkeit der Modulsysteme beruht auf dem Umstände, dass in (Mi, Jlfa,...JIf^) Alles eingeschlossen liegt, was in dem Systeme ^C^Mi bei beliebigen C überhaupt Gemein- sames vorhanden ist ; es ist die Invariante dieser Grössen. Natür- lich giebt es verschiedenartige Darstellungen derselben, und es tritt als Problem auf, durch eine möglichst geringe Elementen- zahl ^CkMi,..SCis^''^Mig ein Modulsystem zu bestimmen, welches gleichfalls als Invariante des Systems aller ^C^Mi dienen kann und in dieser Richtung zu (Mi, Mi,...M^) aequivalent ist. Diese Frage giebt Veranlassung zur Untersuchung vom Enthalten und Enthalten-Sein, von der Aequivalenz, der Composition und De- composition von Modulsystemen ; und dadurch wird die A^ebra nicht nur um eine Beihe neuer Probleme bereichert, sondern es wird auch eine tiefere Einsicht in bereits vorhandene geliefert ; ja es zeigt sich, dass in gewissen Gebieten der Algebra die Verwendung der Moduln und Modulsysteme an Stelle der algebraischen Zahlen nicht nur zulässig sondern sogar notwendig ist. So kann die Frage, ob eine irréductible ganzzahlige Function F(x) unter Ad- junction einer Wurzel einer irreductiblen ganzzahligen Gleichung 4) (y) = reductibel wird, nur in der Form entschieden werden, ob F(x) sich modulo 4>(y) als Product ganzer Functionen von œ und y mit rationalen Coefficienten darstellen lässt. Die Art des durch ein Modulsystem (Mi, Jlf„...if^) dargestell- ten "Gemeinsamen" giebt zu einer Einteilung der Modulsjrsteme Veranlassung. Nimmt man z. B. 3 Variable R und denkt sich diese als Coordinaten des Baumes, so kann das Gemeinsame in Flächen, Linien und Punkten, oder auch nur in Linien und Punkten, oder endlich nur in Punkten bestehen; es giebt also verschiedene Abstufungen für dasselbe, und in gleicher Weise stufen sich die Modulsysteme ab. Man findet hierbei in über- raschender Weise einen höheren Gesichtspunkt, von welchem aus die Frage der Darstellung ganzer Zahlen als Normen complexer Zahlen mit der Frage der isolirten Darstellung geometrischer Gebilde in der unmittelbarsten Beziehung erscheint. Genau wie die Zahl 2 alles Gemeinsame der Zahlen 4« + 6y 250 B. NETTO. d h. das Modulsystem (4, 6) enthält, so sagt man, eine Function enthält ein Modulsjrstem (AT], Jlf9,...Jf^), wenn es möglich ist, sie in der Form 'S.CigMig darzustellen. Ein Modulsystem (Ni,...Nt) enthält ein anderes, wenn jedes N dieses andere enthält ; zwei Modulsysteme sind einander aequivalent, wenn sie sich gegen- seitig enthalten. Eline fernere wichtige Eigenschaft der Modul- systeme ist ihre Zusammensetzbarkeit im Sinne der Aequivalenz. Diese findet bei (Jfi,...lf^), {Ni,...N^) durch die Bildung eines neuen Modulsystems mit den fiv Elementen M^ Ni statt. Hieran knüpft sich unmittelbar die Frage nach der Möglichkeit der Decomposition, und dabei zeigt es sich, dass, wie es offenbar Modulsysteme giebt, die solchen, durch Composition entstandenen aequivalent sind, auch andere vorhanden sind, welche diese Eigen- schaft nicht besitzen und daher als " nicht zerlegbar im Sinne der Aequivalenz " bezeichnet werden müssen. Aber unter den nicht zerlegbaren giebt es doch noch solche, die andere Modulsysteme enthalten, wie z. B. («'+jp,p') unzerlegbar ist, und doch (x,p) enthält, so dass das Enthalten etwa in der Weise stattfindet, wie ein Gattungsbereich höherer Ordnung einen von niederer Ordnung enthält, nicht so, wie eine gewöhnliche Zahl einen ihrer Divisoren enthält. Erst solche nicht zerlegbaren Modulsysteme, die keine anderen enthalten, verdienen den Namen von " Primmodul- systemen," da sie in gewissem Sinne die Rolle der Primzahlen übernehmen. Deshalb reicht die oben gelieferte Zerlegung eines Gleichungspolynoms nach einem Modul auch nicht aus; es muss die Zerlegung nach einem Primmodulsysteme geschehen, wie sie Kronecker denn auch wirklich durchgeführt hat. Hierdurch erst ist die Einführung der conjugirten Wurzeln einer algebraischen Gleichung überflüssig gemacht. Im Anschlüsse an diese letzte Bemerkung wollen wir, ohne weiter in die Theorie und die Bedeutung der Modulsysteme einzudringen, auf eine, oben noch nicht völlig erledigte Frage zurückgehen, und die Isolirung der conjugirten Wurzeln einer algebraischen Gleichung sowie die Bedeutung der irrationalen Zahlen vom Kroneck er 'sehen Standpunkte aus besprechen. Beschränken wir uns auf reelle irrationale Wurzeln, so lässt sich bei einer vorgelegten irreductiblen Gleichung f(x) = 0, deren von Null verschiedene Discriminante den absoluten Betrag D haben möge, eine Grösse s derart bestimmen, dass in jedem Intervalle von ÜBER LEOPOLD KEONECKER. 251 der Grösse - die Zeichen von/(a?) nie oder nur ein Mal wechseln, je nachdem sie am Anfangs- und am Endpunkte des Intervalles gleich oder verschieden sind. Bei einem Intervalle der letzten Art kann femer, wenn r eine beliebige positive ganze Zahl bedeutet, ein Teilinterval von der Grösse — ^^ so bestimmt werden, dass die rsD Function/(^) am Anfangs- und Endpunkt verschiedenes Vorzeichen hat und durchweg in dem Teilintervalle ihrem absoluten Werte nach kleiner als - bleibt. Einzig und allein in der Existenz von Intervallen der angegebenen Beschaffenheit beruht die sogenannte Existenz von reellen irrationalen Wurzeln algebraischer Gleich- ungen. Das "Grösser" und "Kleiner" der Wurzeln wird einfach durch die Aufeinanderfolge der bezüglichen Isolirungsintervalle definirt. Gerade die Benutzung solcher Intervalle ist das Charakter- istische; dieselben können allgemein zum Ersatz der Irrational- zahlen benutzt werden, und die Bechnungsoperationen mit diesen lassen sich durch solche mit jenen ersetzen. Wie eine Reihe von rationalen Brüchen ^) ^J2) ^^ {n) .fr(l)'^(2)'-X*)-Xn) entweder zur Grenze eines Intervalles oder, bei unbestimmt gelassener Wahl der Intervalle, doch stets in das Innere eines Intervalles führt ; wie Reihen der einen und der andern Art sich dabei absolut von einander scheiden; wie bei den Reihen der zweiten Art neben die Convergenzbedingung auch noch eine Divergenzbedingung tritt, durch welche festgestellt wird, dass die Convergenzintervalle schliesslich eine jede beliebig gegebene ratio- nale Grösse ausschliessen — das Alles hat Eronecker in seinem imvoUendet gelassenen Au&atze: "Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Moduls}rsteme " eingehend dargelegt. Auf einen wichtigen Punkt des Kronecker'schen Ideen- kreises muss noch hingewiesen werden. Geht man von einem natürlichen Rationalitätsbereiche zu Gattungsbereichen, d. h. aus der Sphäre der ganzen rationalen Functionen von Variabein R\ jB",... in die über, bei denen zwischen den R, R\... algebraische 252 B. NETTO. Beziehungen bestehen, dann gilt für diese der Satz nicht mehr, dass der grösste gemeinsame Teiler zweier Grössen als lineare Function derselben dargestellt werden kann und zwar mit Co- efficienten, welche ebenfalls dem festgesetzten Grössengebiete entnommen sind. Infolge dessen sind die ganzen Grössen der Gattungsbereiche nicht ohne Weiteres nur auf eine einzige Art in irréductible Factoren zu zerlegen. Es fragt sich, wie man die hier- durch entstehende Schwierigkeit überwinden kann. Kronecker vollbringt dies dadurch, dass er unter Erhaltung der algebraischen Rechnungsgesetze und vor Allem unter Erhaltung des Divisoren- begriffes den Grössenbereich erweitert und nur die Aequivalenz an die Stelle der Gleichheit treten lässt. Durch diese Erweiterung, die Association neuer Grössengebilde, wird das Grössengebiet genügend ausgedehnt, um ohne irgend welche Abstraction den Gesetzen der Teilbarkeit wieder Raum zu voller Wirksamkeit zu schaffen. Diese Erweiterung geschieht dadurch, dass man zu den algebraischen Grössen einer bestimmten Art lineare Functionen derselben mit unbestimmten Coefficienten hinzunimmt. Gerade die systematische Benutzung der Unbestimmten spielt hier wie in anderen Theorien, z. B. in der Galois'schen, eine hervorragende Rolle. Ihre Benutzung neben derjenigen der Modulsysteme führt dem grossen Ziele entgegen, welches Kronecker anstrebte: die Arithmetik ganzer, ganzzahliger Functionen unbestimmter Vari- abler an die Stelle der Algebra treten zu lassen; und, da die Functionen unbestimmter Variabler nur eine Zusammenfassung der Resultate geben, welche sich fUr ganzzahlige Werte der Unbestimmten herausstellen, schliesslich die gesamte Algebra als Ausdruck der Eigenschaften von S}rstemen ganzer Zahlen zu deuten. QiBSSEN, cL 14. Juli 1893. CONSECUTIVE UND COINCIDIRENDE ELEMENTE EINER ALGEBRAISCHEN CURVE. VON M. NOETHER in ERLANGEN. Die AuseinanderhaltuDg dieser beideu Begriffe wird in fast allen auf singulare Stellen bezüglichen Arbeiten, auch in den neuesten, völlig vernachlässigt, obwohl ich schon mehrmals darauf hinge- wiesen habe und obwohl sie auch durch die Transformations- theorieen evident gemacht wird. Da die scharfe Unterscheidung und Festlegung jener Begriffe aber ebenso weittragend wie einfach ist, indem sie die Sätze und Formeln für Singularitäten geometrisch aufzufassen und zusammenzufassen lehrt, so erlaube ich mir, hier darauf einzugehen. Der Begriff " aufeinanderfolgender " (" consecutiver ") Punkte eines Punktzweigs erfolgt aus der Darstellung desselben, an der Stelle x = y^O, nach ganzen positiven Potenzen eines seine Funkte eindeutig bestimmenden Parameters t: a; = ^ + ai^+*+..., y = 6^ + 61^+*+..., (6 + 0, a>Ä), indem consecut. Punkte den aufeinanderfolgenden Werthen von t: 0, dt, 2dt,... entsprechend gesetzt werden. Er könnte auch schon aus der einen Zweig in die Umgebung eines einfachen Punktes überführenden Transformationsreihe, welche eben jene Entwicklungen liefert, erschlossen werden. — Zwei aufeinander- folgende Punkte sind immer als von einander verschieden zu betrachten. Der Begriff " zusammenfallender " (" coincidirender ") Punkte bezieht sich auf verschiedene Punkte, die in dieselbe Stelle, etwa ^=sys=0, fisdlen; und zwar können dies Punkte mehrerer ge- 254 M. NOETHEB. trennter Zweige, oder auch "aufeinanderfolgende" Punkte eines Zweiges sein. Um das Letztere festzulegen muss man unter- scheiden können, ob ein Punkt in der Stelle x = y = 0» oder dieser Stelle nur benachbart, liegt : das Kriterium für Ersteres ist, dass - unbestimmt wird, für Letzteres, dass - einen bestimmten Werth erhält, wobei immer limâ;~0, limy = 0. Da fUr den obigen Punktzweig, bei lim^«0, wird: ^ = 0,y = 0, g-0, 1 = 0,..., so fallen die A verschiedenen consecutiven Punkte des Zweiges, welche t^O und den A — l darauffolgenden Werthen dty 2dt,... {A — l)dt entsprechen, alle in dieselbe Stelle x^y^O, während der (A + 1)** consecutive Punkt, für welchen lim - = ^2 aus den A*^ Differentialquotienten von x und y sich zu bestimmt, aus- serhalb der Stelle a: = y = 0, aber dieser in der Richtung y = benachbart, liegt. Der Zweig von der " Ordnung " A hat also eine A-punktige Stelle x = y — 0. Hat eine Curve / an einer Stelle Ä? = y = mehrere Zweige von den Ordnungen A, A, ... , so liegen À = A + A+... Punkte von /in dieser Stelle, welche dann eine A-puuktige von / heisse. Haben zwei Curven / und ^ eine Stelle x^y^O, welche A^punktig für /, i-punktig für if> ist, mit der Multiplicität M in der Umgebung dieser Stelle, so müssen wir sagen: in x=y — liegen hi der Schnittpunkte, die übrigen M — hi liegen derselben in bestimmten Richtungen benachbart. Denn die Resultante in ^, welche durch Elimination von z aus den beiden homogenen Fonnen m*^ und n^ Grades, / (j?, y, z) und if> (x, y, z), entsteht, hat nur den Grad mn - hi ; so dass man nur für mn — At der mn Schnittpunkte, darunter für M —hi bei der Stelle j; = y = 0, bestimmte Werthe von - erhält. X Diese wenigen Definitionen genügen schon, um die Multiplici- täten zweier gegebenen Curven auf die verschiedenen Stellen, CUBVENELEMENTE. 255 seien es endlich geti-ennte, seien es benachbarte zu vertheilen (s. meine Arbeiten in Math. Ann. 9 u. 23) und dasjenige Verhalten der singul. Punkte bei rationalen Transformationen zum Ausdruck zu bringen, welches durch die Adjunctionsbedingungen— dem " aus- serwesentlichen " Factor der Discriminante (Eronecker, Grelle J. 91) entsprechend — characterisirt wird. Für die Beziehungen des "wesentlichen" Factors, insbesondere flir die PlUcker'schen Gleichungen, ist aber mit Plücker auch die dualistische Auf- fassung heranzuziehen, und beide sind noch zu verschmelzen. Zu jedem Punkt einer Curve / gehört ein consecutiver, also, als Verbindungslinie beider, 6tn^ Linie von/; zu diesem folgenden Punkt gehört wieder eine, der vorigen consecutive, Linie von /; etc. ; daher gehen durch jeden Punkt von / mindestens, spezielle Stellen abgerechnet auch nur, zwei consecutive Linien, von denen eine zu jenem Punkt gehört. Dualistisch gehört zu jeder Linie von / ein Punkt von /: der Schnitt der Linie mit ihrer consecu- tiven ; zu consecutiven Linien gehören consec. Punkte von /, und auf jeder Linie liegen mindestens, im Allgemeinen auch nur, zwei consec. Punkte von /, von denen einer zu jener Linie gehört. Ein Linienzweig von der " Klasse " A' hat eine A'-linige erste Gerade. Zusammenfetssend nenne ich das sich selbst duale Paar : Punkt mit zugehöriger Linie ein " Curvenelement " von/. Eine Ä-punktige Stelle von / ist eine solche, in welcher h verschiedene (getrennte oder consecutive) Curvenelemente von / ihren Punkt haben, eine A'-linige Gerade von / eine solche, in welcher A' verschiedene Curvenelemente von / ihre Linie haben. Ein Zweig Z von / habe die Ordnung A, die Klasse A^ und zwar die Stelle S A-punktig, die Gerade s A'-linig. Nun trüft jede Gerade durch 8 den Zweig in A aufeinanderfolgenden, in S liegenden Punkten, und diese Geraden erzeugen, als "uneigent- liche Tangenten " von /, nur den Ort S, und zwar (A — l)-£Ekch. Wird der Zweig von einer Geraden 8 in weiteren a — A, den früheren A consecutiven, also S benachbarten Punkten getroffen, so erhalt man a — A zugehörige Curvenelemente, welche, wie die paarweise successive Verbindung von S und der a — A Punkte zeigt, ihre Linie sämmtlich in s haben, so dass die Gerade 8 eine (a — A)-linige von / wird. Daher A' = a - A, d . h. "Die Gerade 8 des Zweigs trifft denselben in A + A^ consea 256 M. NOETHER. Punkten, von denen A in die Stelle S, A' ausserhalb S, aber benachbart, liegen; durch die Stelle 8 gehen A + A' consec. Linien des Zweigs, von denen A' in die Gerade 8, A ausserhalb «, aber benachbart, fallen." Dieser bekannte Satz drückt die Thatsache aus, dass, wenn die Entwicklungen von x und y nach t mit den Gliedern t^, t* (a > A) beginnen, die der Liniencoordinaten dy dy mit f*""^, f* anfangen. Derselbe genügt zur Aufstellung der Plücker'schen Gleichungen (s. meine o. citirten Arbeiten, oder St. Smith, Proc, of the London Math. Soc. vi.). Auch die ganze Gruppe von Sätzen, welche nur die direct ersichtlichen Vielfach- heiten der einzelnen Stellen und Geraden von /, nicht aber die weiteren Singularitätenzahlen enthalten — Formeln, auf welche Smith und Halphen zuerst hingewiesen haben (s. etwaZeuthen, Acta Math, i.) — ergeben sich in dem zusammenfassenden Aus- drucke : "Für jeden über die unmittelbar in S liegende Vielfachheit AA zweier Zweige Z, Z hinausgehenden consecutiven Schnittpunkt tritt auch eine, über die A'A' in s liegende Vielfachheit hinaus- gehende, consecutive gemeinsame Linie der beiden Zweige ein." _^ Hier sind A, A' Ordnung und Klasse von Z, A, A' dasselbe von Z] Jf sei die Punkt-, AT die Linienmultiplicität der beiden Zweige bei 8, bezw. s. Nun haben diese Zweige so viele Curvenelemente gemeinsam, als die durch y^ = - (quadratisch) transformirten Zweige Punkte {x, y^) gemeinsam haben, also Jlf — AA; denn man hat hierin die Zahl der gemeinsamen Werthsysteme œ^ y, ~ . Dieses aber, geschrieben in x, y, u, w, ist ein sich selbst dualer Ausdruck, d. Lauch = ilf'-A'Ä'. Auch für einen und denselben Zweig kann man eine ähnliche Frage stellen: Wie viele der aufeinanderfolgenden Curvenele- mente des Zweigs Z coincidiren unter sich ? Die Antwort ist : '* Unter den A Elementen des Zweigs Z mit ihren Punkten in 5, und unter den A' Elementen desselben mit ihren Linien in s gibt es hl consecutive Elemente, welche zugleich ihre Punkte in 8 CÜRVENELEMENTE. 257 und ihre Linien in s haben, wo hi gleich der kleinem der beiden Zahlen Ä, Ä', bezw. = Ä = A', ist." Denn der durch die Transformation yi = - aus Z erhaltene Zweig Zi hat eine A^-punktige Stelle Si, der Geraden s entsprechend. — Man kann daher diesen Satz auch so aussprechen : " Der A-punktigen Stelle S benachbart, aber ausserhalb S, hat der Zweig Z eine A^-punktige Stelle S^ ; und der A'-linigen Geraden 8 benachbart, aber ausserhalb 8, hat dieser Zweig eine hi-]ijnge Gerade 8i, wo hi wie oben bestimmt ist." Ebenso fie^Uen von den weiter folgenden Curvenelementen des Zweigs wieder A, unter sich zusammen, aber nicht mit jenen Aj, wenn eine analoge quadratische Transformation Zi in einen Zweig Zi mit Vpunktiger Stelle überfuhrt. Z hat dann drei consecutive Stellen S, S^ Sj, welche nicht coincidiren und bezw. A-, Aj-, A,- punktig sind, und drei consecutive Geraden 8, «i, «9> welche nicht coincidiren und bezw. A^-, h^, A,-linig sind ; etc. Die Reductionen, welche durch diese Singularität des Punkt-, bezw. Linienzweigs in der Geschlechtszahl p der Curve hervorgebracht werden, sind bezw. 7r=JA(A-l) + 2,iA,.(Ä,-l), 7r' = iA'(A'-l) + S,iÄ,(Ä,-l), so dass die Smith'sche Relation folgt 7r-7r'«JA(A-l)-iA'(A'-l). Erlangen, 84 Juni 18d3. C. P. 17 HOMOGRAPHIE. SUR LES EQUATIONS REPRE- SENTABLES PAR TROIS SYSTÈMES RECTILIGNES DE POINTS ISOPLÈTHES. PAR MAURICE D'OCAGNE À PARIS. L 1. Le principe général de la Nomographie, donné dans le livre* où j'ai développé cette théorie, peut s'énoncer ainsi: Si le résultat de l'élimination de a: et y entre les trois équations ^i(^.y,«i) = (II). F,(x,y,a,)^0 (U ^8(a?,y, as)=0 (I,), est ^(ai.a„Os) = (E), il suflSt, pour avoir Yabaque (représentation graphique cotée) de l'équation (E), de construire les trois systèmes de courbes définis par les équations (Ii), (Is), (I,), où on fait respectivement varier les paramètres a^, a,, a,, en ayant soin d'inscrire la valeur de chacun de ces paramètres à côté de la courbe correspondant à cette valeur. Ces courbes sont dites ùoplèthes respectivement pour les para- mètres tti, »2, a,. Dès lors, un système de valeurs de ces trois paramètres satisfait à l'équation (E) lorsque les isoplèthes correspondantes * Nomographie. Les calculs usuels effectués au moyen des abaques. Paris; Gauthier- Vlllars ; 1691. = (E'), NOMOGRAPHIE. 259 concourent en un même point De là, le moyen d'obtenir la valeur de l'un des trois paramètres liés par l'équation (E), lorsque celles des deux autres sont donnéea 2. Four une équation (E) donnée, on dispose arbitrairement de deux des équations (Ii), (1,), (I,). Le but de la Nomographic est d'opérer, dans chaque cas, ce choix en vue de la plus grande simplicité possible. Lorsque l'équation (E) peut être mise sous la forme /i(ai) ^(«0 '^i(ai) />(««) *i(a,) i|r,(aj) /s (a») M<^) V^8(as) on voit qu'on peut prendre pour équations (Ii), (Ij), et (I,) les suivantes : «/i («i) + y^ («i) + '^i («i) = 0, «/« («2) + y^ (o«) + ^> (««) = 0, «/.(a») + y^(a») + ^. (a.) = 0, qui donnent comme isoplèthes trois systèmes de droites. J'ai fait voir dans mon livre (Chapitre iv.) qu'il était dans ce cas pratiquement plus avantageux, au lieu de considérer œ et y comme des coordonnées ponctuelles de les considérer comme des coordonnées tangentielles, de façon à substituer aux droites isoplèthes obtenues dans le premier cas des points isoplèthes. Grâce à cet artifice l'abaque de l'équation (E') est d'une construction plus simple, d'une lecture bien plus facile, et se prête à une interpolation à vue plus précise, celle-ci se faisant entre les points marqués sur une courbe, au lieu de se &ire entre les tangentes à une autre courbe corrélative de la première. Les points correspondant à des valeurs de ai, a,, a, dont le système satis&it à l'équation (E^, sont en ligne droite. De là résulte le mode d'emploi de l'abaque. J'ai &it voir, en outre, que le s}rstème de coordonnées tan- gentielles qui se prêtait le mieux à ce genre d'application était celui auquel j'ai donné le nom de coordonnées parallèles^. * Ce système de coordonnées dont Tidée a ét^ signalée dès 1829 par Ghasles {Corretpondanee nuUhematique et physique de Quételet, t. 6, p. 81) a donné lieu À divers travaux parmi lesquels je citerai les suivants : 17—2 260 MAUBICE d'oCAGNE. Désignant ces coordonnées par les lettres u et v, on voit que l'abaque de l'équation écrite plus haut se composera des trois systèmes de points définis par les équations : w/i («i) + ^4>i («i) + ^1 («i) = 0, ^fi («a) + v4>^ (««) + -^j («2) = 0, ^f» (a») + ^) ,, _ -^«(«s) 3. L'emploi des coordonnées tangentielles a le double avan- tage de rattacher la méthode des points isoplèthes au principe fondamental rappelé plus haut et de comporter des généralisations sur lesquelles je n'ai pas à m'étendre ici, mais il est bien évident, ainsi d'ailleurs que je l'ai fait remarquer dans l'Avant-propos de mon livre f, que la méthode des points isoplèthes peut être interprétée directement au moyen des coordonnées cartésiennes. Il suffit d'observer que l'équation (E^) exprime l'alignement sur une même droite des trois points définis respectivement par les coordonnées F. Franklin: Bipunctual Coordinates {Amer, Joum. ofMathem. 1, p. 14S). K. Sohwering: Theorie und Anwendung der Linien^Coordinaten ; Leipzig; Teabner; 18S4. M. d*Ooagne: Coordonnée» paràUèleê et axiale»; Paris; Gaathier- ViUars ; 1S86. La majeure partie de cette dernière broohore a para en 1884 dans les Nouvelle» Annale» de Maihématique» (3* Série, t. 8, pp. 410, 456, 616). * Notnographie, p. 58. t Nomographie, p. 5. NOMOGRAPHIE. 261 Comparant ces formules à celles qui termment le No. 2, on voit que les abaques obtenus dans Fun et l'autre cas sont simplement transformés homographiques l'un de l'autre, c'est-à-dire absolument équivalents au point de vue mathématique *. Chaque S3rstème de points isoplèthes est distribué sur une courbe qu'on peut appeler le support de ce système. Lorsque ce support est une droite le système est dit rectiligne, et lorsque les points isoplèthes sont régulièrement espacés sur cette droite, c'est-à-dire lorsque pour des accroissements égaux du paramètre les points correspondants partagent la droite formant support en segments égaux, le système est dit régulier. En raison de la simplicité que présentent les abaques con- stitués au moyen de tels éléments, il est intéressant de rechercher quelles sont les équations représentables par trois systèmes rectilignes de points isoplèthes, et, plus particulièrement, par trois systèmes réguliera Tel est le but du présent travail. IL 4. Pour qu'un point, dont la position sur un plan dépend d'un paramètre Xi, décrive une droite il sufSt que les coordonnées * Depuis qne j'ai fait connattre la méthode des points isoplèthes, il en a été fait de nombreoses applications. La plupart de ces applications, exéontées en vue de besoins pratiques, sont restées inédites; teUes sont celles que j'ai en, pour ma part, avec le concours de M. E. Prévôt, à faire soit pour mon service personnel (Nivellement Général de la France) soit pour d'autres services. Quelques autres ont été publiées, notamment par les auteurs suivants : M. Béghin : Abaque de la viteue d*un train »ur un profil donné {Annales du PonU et Chausêéeê, octobre 1892, p. 548). Note sur une nouvelle elasu d^ abaques (Génie Civil, 24 décembre, 1892). J. Pillet : StaMUté des constructions, p. 194. J. Mandl: Diagramm für frei at^gende hölzerne Balken und gewaUU Eisen- träger {Mitteilungen über Gegenstände des Artillerie- und Genie-Wesens; Wien; 1898; Na 2). Depuis la rédaction de cette Note il a été fait diverses applications importantes de la méthode des pointa isoplèthes notamment par MM. le Commandant Bertrand (Distributions d'eau), le lieutenant Lafay {Tir du canon), Prévôt (Poids des cardes filées) et par nous-méme (Trigonométrie sphérique, dans le BulL Astr. 1894 ; Equa- tion de Kepler dans le Bull, de la 8oe. Math, de France, 1894 ; Calcul des terrasse- ments, dans les Annales des Ponts et Chaussées : 1^ Bem. 1894. 262 MAURICE D OCAGNE. de ce point soient des fonctions rationnelles et linéaires de ce paramètre, c'est-à-dire qu'on ait rAi+«i ' ^"nXi + «i * Au point de vue géométrique, il n'y a rien à ajouter à cela. Il n'en est pas de même au point de vue de la nomographic. En effet, il y a lieu dans ce cas de considérer non seulement le support du système de points en question, mais encore la façon dont ces points sont distribués sur ce support, chacun d'eux étant individualisé par la valeur correspondante du paramètre variable, qui constitue sa cote. On est ainsi amené à considérer Xi comme fonction d'un autre paramètre a^ définissant les points isoplèthes et par suite, à poser n/i(ai) + «i' ^ n/;(a,) + «i" Lorsqu'on change la fonction /], la droite servant de support au système de points isoplèthes reste la même, mais le mode de graduation de cette droite varie. On voit donc que les équations représentables par trois sjTstèmes rectilignes de points isoplèthes sont celles qui peuvent être mises sous la forme ^/i(ai) + Wi Pi/i(«i) + Çi ^i/i(ai) + *i wi^«(«i) + w, i\/;(a.) + Çj r^«Ca.) + «i =0. 6. Parmi ces équations les plus intéressantes sont celles pour lesquelles les trois systèmes de points isoplèthes sont réguliers, parce qu'alors l'abaque présente le maximum de simplicité réalisable. Il suffit, en effet, pour qu'il soit complètement défini, de déterminer deux points isoplèthes dans chaque système, soit six points en tout. Les équations répondant à la question sont évidemment celles qui peuvent se mettre sous la forme ^«1 + ni piai + qi 1 w^Oj + n, jpA + Îj 1 =0, wiiOa + n, jp,a, + î, 1 NOMOGRAPHIE. 263 ou, en développant, (whft -Pim^i «lOt + (w^Pa -i)>wi,) 0,0, + (m^pi -p%m^) o,Oi (1) +[Wl(ç,-Î3)-p,(l^-n,)]al + [m,(î,-5rl)-;>,(n,-nl)]o, + [m, (îi - ç.) - j), (Wi - n,)] o, + ni ç, - Çina + n,ça - ç,% Cette équation est de la fonne (2) iliOsOs + A^a^di + il,aiO,+ jBjOi + fijOa + -B,o, + 0=0. Il semble au premier abord, puisque cette équation possède 7 coefficients et que les coefficients de l'équation (1) renferment 12 paramètres, qu'on puisse toujours disposer de ceux-ci de fisiçon à identifier (1) avec (2), ou, en d'autres termes, que toute équation de la forme (2) soit représentable par trois systèmes réguliers de points isoplèthes. Mais il n'en est pas ainsi ; l'analyse rigou- reuse de la question va nous faire voir au contraire que cette identification n'est possible que sous certaines conditions. C'est là le point que j'ai principalement voulu mettre en vue dans la présente Note. 6. Si une équation est représentable par trois systèmes réguliers de points isoplèthes, on peut toujours faire coïncider l'axe des y avec le support d'un de ces systèmes en plaçant l'origine au point coté 0. On peut, par suite, toujours prendre pour wii, Wi, pi et jj, les valeurs Ces valeurs étant portées dans l'équation (1), l'identification de celle-ci avec (2) donne (3) ili^mjjps-pjm,, (4) Â^ = m,, (6) il, = -m„ (6) 5, = n,-n„ !^ (a). (7) jB, = m,Î3-j),n„ (8) jB, = n,p,-ç,m3, (9) = n,Ç3 - ç,n. Tel est le système d'équations, auquel, dans tous les cas, se ramène la solution du problème. 264 MAURICE d'oCAGNE. 7. Remarquons tout d'abord que des équations (3), (4) et (5), on tire (10) A,-\-A,p^ + A,pt = 0, équation incompatible avec l'hypothèse où deux des coefficients Al, Ai et A^ seraient nuls à l'exclusion du troisième*. On ne peut donc envisager que Tune des trois hypothèses suivantes : 1^ Les trois coefficients Ai, A^, A^ sont différents de zéro ; 2**. Un seul d'entre eux est nul ; 3^ Ils sont nuls tous les trois. Nous allons les examiner successivement. 8. l^'Cas. A4=0, -4,4=0, -4,4=0. Les équations (5) et (4) donnent w, = --4„ m, = ils, et le système (a) se réduit à (3') Ai^-A,pi^A,p„ y (&) Bi^n^^n,, (70 5, = -^î,-;),n„ j. (a'). (80 5, = n,;),-^ç„ (90 = w,ç,-ç,n, Entre les cinq équations du système (aO éliminons les quatre paramètres ^s» t^» j>s» j^s« Les équations (30 et (60 donnent d'abord ^» = -— ^— ' et n, = jBi + n,. Portant ces valeurs de n, et de |>8 respectivement dans (70 et dans (80, on tire de celles-ci * H résulte, en particulier, de là que Téquation 0,0,-01=0, qai traduit la mnltipliûation, n'est pas représentable par trois systèmes réguliers de pointe isoplèthes, mais elle est reprësentable par trois systèmes reotilignes dont deux régnUers, savoir: («=1; y=Oi), {aj=-l;y=aj, ^xsj^^; y=Oj. NOMOGRAPHIE. 265 Par suite, l'équation (9') devient OU, toutes réductions faites, (11) A,n,* + (Ä,B, + A,B, - A,B,) w, + A, (B,B, --A.C)^ 0. Le paramètre jp, ayant disparu de cette équation, on voit qu'on peut lui attribuer une valeur quelconque. Nous prendrons, en vue de la plus grande simplicité de calcul, L'équation (11) servira à déterminer r^. Ce paramètre devant être réel, le problème ne sera possible qu'autant que Ton aura (A.B.+A.B,-- A,B,y^éA,A,(B,B,'-A,C)>0, ou 4i»5i« + A^B^ + il,«JB,* - 2A^A^B^B^ - 2A^A^BJBs - 2AtA^BtB^ ^4A,A^A,C^0. Lorsque cette inégalité sera satisfaite, l'équation (11) donnera pour n, deux valeurs réelles n' et n". Adoptant l'une d'entre elles, n\ par exemple, on aura pour Çi, n,, p,, ;, les valeurs Çi = — 2"v •"^'2"/' ^*-^^* ^"""X' ^* X* 9. 2* Cas. On peut toujours faire en sorte, par un choix convenable de notations, que le coefficient nul soit Ai. On a donc l'hypothèse ilj = 0, -äa + 0, -4,4=0. On a comme précédemment 7W,= --ä„ t?i,= il„ p, = 0. Quant à l'équation (11), elle devient {A,B,^A,B,)n,-^A,(BiB,-A,C)^0, jf V A BiB^ — A^G 266 MAUBICE D0CA6NE. Dès lors les formules qui terminent le No. précédent donnent On voit, en outre, que n, et n, devenant infinis lorsque la solution est, dans ce cas, illusoire. Il faut donc compléter Thypothëse faite par A^B^-AtB^^O. 10. Reste à examiner le cas où on a ill «il, «il,« 0. Le système (a) se réduit alors à (6'") 5i = n,-«„ (7'") 5.«-p.n„ Pour résoudre ce système nous nous donnerons les valeurs de deux des six inconnues. Mais ici, pas plus que précédemment, ce choix n'est absolument arbitraire. Ainsi les équations (7'") et (8'") indiquent qu'on ne peut annuler aucune des quantités Tt,, ^, n,, jp„ car B^ et jS, sont nécessairement différents de ; s'il en était autrement, en effet, une des variables a, ou a^ cesserait de figurer dans l'équation •(*'"> De même l'équation (9"0 montre qu'on ne saurait généralement pas se donner g, » çr, « 0, etc.... Une hypothèse toujours admissible est la suivante : NOMOGRAPHIE. 267 Le système {a'") devient alors -Bi = n, - n,, On en tire successivement B^ Pt— Br^B,' G III. Rémmé. 11. Toute équation représentable par trois systèmes régu- liers de points isoplèthes est de la forme -4ia,aa + -4,a,ai + A^aiti^^-B^a^ + 5,0, + 5,a, + (7=0. Mais la réciproque n'est pas vraie. Une équation donnée de cette forme n'est représentable par trois systèmes réguliers de points isoplèthes que lorsqu'elle rentre dans un des trois cas suivants ; elle l'est alors d'une infinité de UEiçons : l-'Cas. A4=0, il. + O, il,4=0, ili«jBi« + il,»B,« + il,»jBa« - 2-äiil,ßA - iA^JSJB^ - 2il,il ASi Mode de représentation : Système (ai) «=0; y=*a, ; AJSt + nA^ (a,) a?«-ilA + w'; y = - ^.4, (flî,) flî«ilA + 5i + n'; y*-x«t-j7' 268 MAURICE d'oCAGNE. ti étant une racine de Téquation ulxn* + (-4 lA + A^B^ - il A) ^ + ^, (5A - ^«C) = 0. 2«Ca8. ili = 0, il,+ 0, ^ + 0, -4.5,-^1,5,4=0. Mode de représentation : Système (aj) a? = 0; y = ai; («,) « = -^,,. + ^,^-^-^^^; y = -^; / \ A . A 5lÄ — il,C7 JDj («.) «, = ^^ + ^,-j-^_^; y=-_. On voit que dans ce cas les supports des systèmes (ai) et (a,) sont parallèle& 3*Cas. ili = il,i=4, = a Mode de représentation : Système («i) a?= ; y = ai ; (a,) a? = -(5,+5,); y = a,; 5sO, + («») a?=-5,; y = - 5i + Ä Dans ce cas, les supports des trois systèmes (ai), (a,) et (a,) sont parallèlea IV. Exemples dapplicatiaru 12.  titre de vérification des formules précédentes, nous allons prendre un exemple de chacun des cas précédents, pour lequel il est facile de construire à priori l'abaque le plus simple composé de trois systèmes réguliers de points isoplèthes, et nous constaterons que nos formules nous conduiront bien à ces solutions. Cette construction à priori ne serait d'ailleurs ordinairement pas possible dans le cas général et l'on devrait alors nécessaire- ment avoir recours aux formules qui viennent d'être établies, et dont il s'agit simplement ici, je le répète, de donner une vérification. HOMOGRAPHIE. 269 Exemple I. Équation : — as 1 «t «J «1 OU 0^ + 0,01 — aia,= 0. Id, ili«l, -4,«!, il, = -l, A = -B, = jB,= O=0, et»' = 0. On a donc, d'après les formules précédentes (l"" Cas) : Système («i) a? = 0; y = ai; («.) « = «.; y = 0; d'où l'abaque ci-dessus *, où on s'est limité d'une part à ax = 6, Os = 6, 03 = 3, del'autreà Oi = — 6, a,» — 6, 0»= — 3. * Les axes de ooordonnéee n'intervenant que pour la oonstrnetion de Tabaqae, nous les avons simplement figurés en pointillé. 270 MAÜMCB d'oCAGNE. Exemple IL Équation : a^ « -^ — - , a, — a, ou OaOi — aïO, + «a + Os =s 0. \ I 4" 3 2" I r I I I -5 -4 .8 .2 J I I I .8 .2 I I I 1 12 8 4 I I I I .1 .2 .8 4 5 6 .1 ÖI .2 -8 • .4*0, Ici, -4i = 0, il.= l, -4,= -!, 5i = 0, JB,= 1, 5,= !, C=0. Les formules précédentes donnent (2® Cas) : Système (a^ a?=0; y = ai; (a.) «?=«.; y = -i; (a») «=a»; y=i, d'où l'abaque ci-dessus ♦, où on s'est limité d'une part à «1 = 5, aj = 6, «, = 4, de l'autre à ai = — 4, a, = — 3, 0,= — 5. Exemple III. Équation : ot, » Os + «i ou ai + Oj — «,= 0. Ici, A = -4a = -4,= 0, A=l, J5>=1, Bi^-l, C=^0. * Les axes de coordonnées n'intervenant que pour la oonstraotion de l'abaque, nous les avons simplement figurés en pointillé. NOMOGRAPHIK Les formules précédentes donnent (3^ Cas) : 271 8T<^t 6t<^s S-i-a, 6 2t 4-1- 24- 8 J+ 2+ It ..S ... Ji" l" -1 -2' .8 .2t .4- .6 .8i«a .6 Système (ai) fl; = 0; y = ai; (a.) « = -2; y «Os; (a.) aî = -l; y = ^, d'où Tabaque ci-dessus, où on s'est limité d'une part à de l'autre à «1 = 3, Os = 3, a» = 6, oti = — 3, Oj = — 3, ccj = — 6. SUL MOTO DI ROTAZIONE DI UN CORPO RIGIDO ATTORNO AD UN PUNTO FISSO. DA BERNARD PALADINI in PISA. [This paper which had been previously published was the basis of a lecture by the author before the Congress, August 26, 1893.— Editors.] A CONSTRUCTION OF GALOIS' GROUP OF 660 ELEMENTS. BY JOSEPH DE PEROTT of WORCESTER, MASS. In his work Vorstudien zur Topologie published as far back as 1848, the profound Qerman mathematician Listing makes a thorough study of a group of 48 elements which is a sub-group of the symmetric group of six letters and which ought to be known under his name. On page 9 Listing gives all the 48 elements of his group and they are so arranged that by a cross you can divide them into four sets, each of twelve elements. The set in the left-hand comer above forms a group by itself isomorphic with the alternating group of four letters. Employing Listing's notation the group consists of the following elements : 123 231 312 128 28Î 3Î2 Î23 23Î 312 Î23 231 3Î2 The meaning of this notation is that the numbers 1, 2, 3 have to be replaced by the combinations of three numbers given above, while the numbers 1, 2, 3 have to be replaced by similar combinations with the signs above the digits changed. Writing a, b, c, d, e,f{or 1, 2, 3, 3i 2> 1 we obtain the following arrange- ments: a b c d e f b c a f d e c a b e f d a e d c b f b d f a c e c f e b a d f b d c e a e c f a d b d a e b f c f e c d b a e d a f c b d f b e a c a P. 18 274 DE PEROTT. To show its isomorphism with the alternating group of four letters a, ß, y, S it is sufficient to write the elements of the latter group in the following order : S y ß a y ß 8 a ß S y a 7Sa^ /87aS S)9a7 )9aS7 S a y ß 7a^S and to consider as corresponding the elements of the two groups which occupy corresponding pc^itiona By means of these two groups it is easy to construct an intransitive group of ten letters isomorphic with the alternating group of four letters. If now we write the numbers 1, 2, 5, 7, 8, 10 for the letters a, b, c, d, e, f and the numbers 3, 4, 6, 9 for the letters % ß, y, B we obtain a group of substitutions formed by the following arrangements : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 8 9 6 7 4 6 2 3 10 10 2 6 9 7 3 5 8 4 1 10 8 4 3 5 9 7 2 6 1 2 6 3 9 1 4 10 7 6 8 2 7 6 4 10 9 1 5 3 8 8 3 4 6 10 3 1 7 9 2 8 7 9 3 1 6 10 5 4 2 5 13 6 2 9 8 10 4 7 5 10 4 9 8 6 2 1 3 7 7 19 4 8 3 2 10 6 5 7 10 6 3 2 4 8 1 9 5 This group may be considered as generated by the operations /I 2 3 4 5 6 7 8 9 10\ " U 89674523 loj' _ /I 2 3 4 6 6 7 8 9 10\ " \2 5 3 9 1 4 10 7 6 8/' and it is easy to show that it can be combined with the cyclical group of order five generated by the operation /I 2 3 4 5 6 7 8 9 10\ ^ U 4 5 6 7 8 9 10 1 2/* GALOIS' GBOTJP OF 660 ELEMENTS. 275 In fact, we have tuf> = u, which shows that the group generated by the operations u, v, and will be of order 60. This group is isomorphic with the icosahedron group and may be considered as generated by the operations (1 234567 89 10\ ^ U 4 5 6 7 8 9 10 1 2r /123456789 10\ ^*U0 84369726 1/' As it involves ten letters, it is of course a sub-group of the symmetric group of eleven letters. Before employing it, however, we shall transform it in the following way. Since each number of the series 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 is congruent to a certain distinct power of a primitive root (mod. 11), say 7, a one-to-one correspondence can be established between the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, and the smallest positive exponents of the powers of seven to which they are congruent (mod. 11). Our generating operations ^ and X ^^U become _/l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11\ "^'^U 10 4938271 6 11/' _/l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11\ '^ V7 3 2 8 9 6 1 4 5 10 lli' We shall now combine the icosahedron group generated by ^i and Xi ^^^^ ^^^ cyclical group of order 11 generated by the operation /I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11\ '^''"U 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ij ' 18—2 276 DB PEBOTT. The possibility of doing this is shown by the following relations : The group generated by ^, %i and ^ will be accordingly of order 660 and in fact it is isomorphic with Galois' group of 660 elements. CONCERNING ARITHMETICAL OPERATIONS INVOLVING LARGE NUMBERS. BY T. M. PERVOUCHINE* Le prêtre T. M. Fervouchine prie de communiquer au Congrès mathématique de Chicago le procédé au moyen duquel il contrôle ses opérations arithmétiques sur les grands nombres ; ce procédé lui a servi comme une bonne boussole dans les calculs laborieux qui l'ont amené aux résultats que les nombres 2"^' + !, 2^-f 1 sont des nombres composés. Le procédé consiste dans la comparaison des restes qui s'obtiennent en divisant par le nombre 998 s 10* — 2. Ce reste s'obtient d'une £Eiçon très simple car le nombre N étant a^.lO(n-i)«^.a^,.10(»-«)>+... + a„ le reste de la division par 998 sera égal à (2(2(2an-fa^i) + a^,)-fa^,) et se calcule facilement sur le boulier russe. Ce n'est que dans le cas où les chi£Bres On+m ^ permute avec les chiffres a» que la faute du calcul peut passer inaperçue ; aussi le rayon de l'action vérifiante de ce procédé s'étend sur 498 chiffres. Dans ce cas le p. Fervouchine recommande à opérer la division par le nombre 9998 «10* -2. * A note oummimieated by Professor A. Wassilieff of the UniTern^j of Kasan, BiiBsia. RESUME DE QUELQUES RESULTATS RELATIFS À LA THÉORIE DES SYSTÈMES RÉCURRENTS DE FONCTIONS. PAR S. PINCHERLE À BOLOGNE. Le présent r&umé a pour but d'exposer, aussi brièvement que possible, quelques résultats auxquels j'ai été conduit en cherchant à généraliser une des propriétés fondamentales des polynômes X» de Legendre. Cette propriété est exprimée par l'équation récurrente (n + l)Xn+i-(2n + l)Ä?Xn + nXn^i = (a). A cette même équation satisfont aussi les fonctions de deuxième espèce Tn, et de là et des conditions initiales on déduit le développement de M. C h. Neumann -i-=i(2n + l)X„(fl:)F«(y) (b). y — fl? »»0 Ce développement est convergent uniformément pour les couples de valeurs de a> et d'y tels que x soit intérieur et y extérieur à une ellipse ayant pour foyers les points —1 et +1 dans le plan des nombres complexes. H en résulte le développe- ment d'une fonction analytique quelconque f(jc), régulière dans une aire à contour simple comprenant tout le segment rectiligne * 1 ... + 1, en série de fonctions Xn de la forme 00 /(a?) = 2cnXn(a?), valable pour la plus grande ellipse de foyers ± 1 contenue dans SYSTÈMES RÉCURRENTS DE FONCTIONS. 279 Taire où la fonction f{z) est régulière. Enfin de Téquation (a) résulte encore la propriété, reconnue par Gauss, que les dénomi- nateurs des réduites du développement en fraction continue : *^^8^^"= ï (">' «  — 5» — , ne sont autres que n! X»; si les numérateurs de ces réduites s'indiquent par n! Z^, on a, entre les fonctions de première et seconde espèce, la relation : ^-=*i«g^î-3r,-z„ (d). On a donné de plusieurs façons la généralisation de ces propriétés; citons, par exemple, la théorie des pol}mômes de Jacobi. Mais les généralisations données jusqu'ici de la théorie des fonctions sphériques regardent toujours des systèmes par- ticuliers de fonctions, et les recherches que Ton s'est proposé à leur sujet rentrent dans les questions générales qui suivent: A. ''Étant donné un système de polynômes Pn{^)t li^ pa^ une équation récurrente (ou équation linéaire aux différences) existe-t-il un second système de fonctions rn{x) tel que l'on ait formellement -^-ip,(oi Pu"*Pm-i\ deux intégrales ne sont pas distinctes si leur rapport est indépendant de n; un système de m intégrales entre lesquelles il ne passe pas de relation linéaire homogène à coefficients indépendants de n est un système fonda- mental d'intégrales et si p», pn\ ... pn^ est un tel système, toute intégrale de (1) peut s'écrire : l>n = C,|)n' + C,/)n"+... + CmPn*"»» (2), OÙ les coefficients Ci, c,, ... Cm, sont indépendants de n. Les rapports de m — 1 de ces coefficients à I'm*™« peuvent servir, au lieu et place des valeurs initiales p^, Pw^Pmr-u à individuer l'intégrale pn> Sous certaines conditions il existe une intégrale cr» de l'équa- tion (1) qui admet la propriété suivante: si p^ est une autre intégrale quelconque de la même équation, le rapport v» : p^ tend, pour 71 = 00 , à la limite zéro. J'ai appelé cette intégrale, qui jouit de propriétés remarquables, intégrale distinguée de l'équation (1). Par exemple, soit l'équation du deuxième ordre l>n+a = (h (n)lVH-i + «s (w) Pn \ SYSTÈIO» BÉCX7BBENT8 DE lOKCnONS. 281 parmi ses intëgtales se trouvent les numérateurs pn et les dénomi- nateurs pn des réduites de la fraction continue 0,(0) -(0)^— ^'U qui constituent un système fondamental. Toute autre intégrale de Féquation du deuxième ordre s'exprime par conséquent par Si maintenant la fraction continue est convergente et a pour ▼aleur X, on voit sans peine que Wfi = Pn — \p» ' est l'intégrale distinguée. Parmi les propriétés de l'intégrale distinguée, notons celle-ci : Soient o* les limites, supposées finies, des coeflBcients aü(n) pour n = 00 , et formons l'équation algébrique f*-Oir^»-a,<«^-...-a« = (3). M. Poincaré* a démontré que la limite de j>n+i : Pn pour n= 00 est une des racines de cette équation et, en général, celle de module maximum; mais des intégrales particulières peuvent ad- mettre, comme limite de ce rapport, une autre racine de l'équation (3). Or, quand les m racines de (3) ont des modules différents, l'intégrale distinguée m^ est telle que la limite de o-n+i : «"n est la racine minimum de l'équation. 2. Les coefficients de l'équation (1) peuvent contenir, en outre de n, un paramètre x. Chaque intégrale pn est alors un système récurrefnt de fonctions de x. Je supposerai ici que le paramètre x entre au premier degré dans les coefficients a* (n) ; j'écrirai donc l'équation (1) sous la forme m J>n+m(«)« 2 (6A(n) + ajCÄ(n))j)«+«^Ä(«) (4). * American Journal of MathanaUcê^ T. vn, No. 8. 282 s. PINCHERLE. A oôtë de l'équation (4) il convient de considérer l'autre équation, que j'ai appelée son inverse et où figure le paramètre y : m qnr-m(jf)^ 2 (6A(n-m + Ä) + ycA(n-m + Ä))c,,.-»+Ä(y)...(5). On exclut les valeurs négatives de l'indice n, et on détermine les valeurs initiales des g» au moyen des équations a»(0)Ço = -4o, -i(0)Ço + a«(l)çi = A, ai(0)îo + a«(l)Çi+...+am(wi-l)î„^i = ilm-i. où Afif ^i,...^m-i sont des quantités arbitraires Un calcul qui ne présente aucune difficulté permet d'établir formellement le développement »«0 «-1 + Cm(n)în(y)]jPft(a?)= 2 ÄH(y)pk(x). En supposant maintenant toutes les valeurs Pq, pi,>»*Pm^i égales à zéro, excepté l'une d'elles pk égale à l'unité, l'intégrale jp» devient un système de pol3mômes entiers en x et l'on obtient la formule : ^- AÄ2^«(y)jp«(«') (6). où l'on a posé On a ainsi répondu à la question A. 3. Il s'agit maintenant de trouver sous quelles conditions ce développement formel a une valeur effective. Je m'appuie pour cela sur lès considérations suivantes. En indiquant par ßk, y h les limites de bh(n), Ch(n) pour w=oo, le rapport p»+i :pn a pour limite une racine p{x) de l'équation r=2(Ä + «J7Ä)e~-* (7). et, en général, celle de module maximum pi (x) ; il en sera ainsi en général pour tous les systèmes de polynômes détermina comme ci- dessus, mais en tous caa, au moins pour l'un d'eux : nous suppo- SYSTÈMES RÉCURRENTS DE FONCTIONS. 283 serous que ce soit celui qui figure dans la formule (6). Pour les integrales q^ de l'équation (5), le rapport jn+i : ?n a pour limite une racine — jr-\ ^® l'équation réciproque de (7), et pour l'intégrale distinguée seule cette limite sera la racine de module minimum —, -. . Si maintenant Ton prend les couples de valeurs x, y, en fhiy) . sorte que l'on ait \Pi{^)\<\pxiy% il est facile de voir que la série (6) converge absolument et uniformément, et alors, en appliquant le théorème de Cauchy, on peut développer une fonction analytique convenablement donnée, en série de polynômes Pni^)- On a ainsi répondu aux questions B et C. La principale difficulté à vaincre dans les Applications de cette méthode consiste dans la démonstration de l'existence de l'intégrale distinguée de l'équation (5) et dans sa détermination. 4. Comme premier exemple, on peut considérer le cas de m = 2. La condition d'existence de l'intégrale distinguée coïncide alors avec la condition de convergence de la fraction continue ; les polynômes pn sont les dénominateurs des réduites, et la formule (6) se réduit à celle que Heine* a donnée, sans toutefois en faire connaître les conditions de convergence. Ces conditions s'obtien- nent aisément par la méthode indiquée plus haut. 5. Comme deuxième application se présente le cas m = 3. Écrivons l'équation récurrente sous la forme Pn+9 = (J>n + C„a?)2)n+i + 6n JP»+i + J)« (8), et considérons les intégrales (s}rstèmes de pol}mômes de degré croissant) donnés par les conditions initiales K'«i, i>r=o, K'=o. Les déterminants de second ordre contenus dans la matrice Pn+i J>n+i />n+i l>n+i Pn+i i>n+i * Handbuch der KugelfuncHonen, zweite Auflage, Bd. I. p. 292. Berlin, 1S78. 284 s. PmOHERLE. sont auasi des polynômes Çn , Jn ', ?n " qui forment un système fondamental d'intégrales de Téquation inverse de (8) : dont rintégrale générale sera Soient ß, ß', y les limites respectives de &»> K\ c» ponr n = ao , limites que nous supposerons finies ; on peut démontrer Texistence de rintégrale distinguée et la déterminer pour toutes les valeurs de œ supérieures en module à un nombre assignable ü. En écrivant cette intégrale sous la forme <2n = în' + t^n'' + V (10), on trouve que u et v sont des séries de puissances entières et négatives de œ convergentes pour \x\>R,et que Q» est aussi une série de puissances négatives de x convergente pour les mêmes valeurs de x et qui commence par le terme en ar""'^ Cette remarque donne à Tëquation (10) un intérêt tout particulier: si, en effet, étant données deux séries u, v de puissances entières et négatives de à?, on veut déterminer des pol3mômes An, fin> O^ entiers en x, du degré le plus petit possible tel que l'expression An-^BnU-^CnV ne contienne que les termes en a;"^*"\ ar**^, a?~*^', ..., ces poly- nômes ne peuvent différer des systèmes récurrents q^, qn\ Çn"- H se présente ainsi un algorithme analogue à celui de M. Hermite et généralisation toute naturelle des fi:uctions continues algébriques; de même que celles-ci expriment, au moyen des réduites, une fonction transcendante par une fraction rationnelle approchée, avec le maximum d'approximation pour un degré donné des termes de la fraction, de même le nouvel algorithme sert à lier deux fonctions données u, v, par une relation linéaire approchée An-^BnU-^CnV^O (H), avec le maximum d'approximation pour un degré donné des coefficients A^ Bn, (7n* * V. mes mémoires : ** Saggio di mia genendizzazione délie frazioni continiie algebriche,'* Mem. deW Aeead, di Bologna, S. it, T. z, 1890, et ** SnUa genendisza- zione délie frazioni oontinne algebriche," AnnaU di Matematica, S. n, T. ziz, 1891. SYSTÈMES RÉCURRENTS DE FONCTIONS. 285 Revenons au développement (6). Si g« est l'intégrale dis- tinguée de (9) et pi(x) est la racine de module maximum de l'équation de troisième degré 1^-(ß-¥yx)t'^ß't-l^0 (12), la condition de convergence est \pi(x)\<\p,(y)\. On peut, sans restriction essentielle, supposer ß = ß^ = 0,y = S, Maintenant, qu'en chaque point Xq du plan œ et d'un même côté de ce plan on élève une perpendiculaire et qu'on coupe sur cette perpendiculaire, à partir de son pied Xq, trois segments mesurés par les modules |f>i j Jf>s|> if>sl des racines de l'équation (12). On obtient ainsi ime surface à trois nappes qui fournit un moyen assez simple de déterminer les champs de convergence des séries ^OnPni^y Cette surface, dont je présente ci-dessus une esquisse (n est un point triple, ÄilH, BD.K, CQJ sont trois lignes doubles, 1, 2, 3, 4 sont des sections parallèles au plan x\ est homaloïdique ; 286 s. PINCHEELE. elle offre des propriétés géométriques assez curieuses, dont mon ami et collègue M. Montesano* a bien voulu faire l'étude. 6. Reprenant Téquation (4), venons maintenant à un cas assez général dans lequel on peut discuter complètement les conditions de convergence du développement (6) et répondre ainsi aux de- mandes B et C. Supposons que les coefficients bk(n) et Ck(n) soient des polynômes entiers de même degré r par rapport à n. L'équation (4) est alors la relation récurrente entre les coefficients des développements en séries de puissances de t, des intégrales d'une équation différentielle linéaire d'ordre r à coefficients entiers par rapport à la variable t Ces coefficients sont linéaires en œ, et l'équation différentielle a pour second membre un polynôme entier en t, de degré m — 1. Sous ces hypothèses, la considération des points singuliers de l'équation permet de fixer les rayons des cercles de convergence des développements de ses intégrales, et l'on en déduit la limite, pour n = oo , des rapports j>n+i ' Pn et les con- ditions pour la convergence uniforme du développement (6). Ce cas a formé l'objet d'un mémoire special^". 7. Il me reste enfin à dire quelques mots d'une méthode pour résoudre certains problèmes d'inversion d'intégrales définies, qui offre la plus grande analogie avec celle qui, au § 2, nous a servi à répondre à la question A. Soit T{x, t) une fonction qui satisfait à l'équation différentielle linéaire en t : où ajif bji sont des fonctions de t ; et soit X une ligne du plan t, et f(x) une fonction analytique donnée. On demande de déterminer une fonction (f> (t) telle que l'on ait, pour des valeurs convenables de x: /,. T(x. t)^{t)dt^f{x) (14). Le problème se résoudra au moyen du théorème de Cauchy si l'on peut déterminer une fonction 8 (y, t) telle que pour des valeurs convenables de œ et d'y on ait : /, (A) y - « * Rendiconti del R, Istituto Lombardo, S. n, T. zziv, 1891. t " Bar la génération de systèmes récurrents an moyen d'one éqnaiîon linéaire différentielle." Acta Mathematical T. zti, 1892. SYSTÈMES RÉCURRENTS DE FONCTIONS. 287 Cette fonction B (y, t) peut se déterminer comme il suit. Multiplions l'équation (13) par une fonction arbitraire 8 (y, t)dt, puis intëgroiis le long de \; en integrant par parties et en indi- quant par Lx la partie aux limites, on aura Que Ton dispose d*abord de la fonction S en sorte qu'elle vérifie l'équation linéaire OÙ k(t) est une fonction arbitraire de t seul; puis que l'on choisisse k(t) et les arbitraires qui restent en 8 de sorte que Lx s'annuUe ; on aura ainsi J (X) ik«o otr J (X) et puisque le second membre est une fonction de x seul, qu'on peut indiquer par g (x), il vient y-x flr(«)J(X)A.o ^ 3^ La fonction 6 (y, t) est ainsi déterminée. ÜBER DIE NOTHWENDIGEN UND HINREICHENDEN BEDINGUNGEN FÜR DIE ENTWICKELBARKEIT VON FUNCTIONEN EINER REELLEN VARIABLEN NACH DER TAYLOR'SCHEN REIHE UND ÜBER NICHT-ENTWICKELBARE FUNCTIONEN MIT DURCHWEG ENDLICHEN DIFFERENTIAL- QUOTIENTEN. VON ALPRED PRINGSHEIM in MÜNCHEN. § 1. Einleitung. In seiner Théorie des Foncüims (Chap. Y. Ait. 30)* und den Leçons sur le Calcvi des Fonctions (Leçon iil.)'f' spricht Lagrange die Ansicht aus, daas eine Function /(x), welche für einen gewissen Werth x^ der reellen Variablen x bestimmte endliche Ableitungen jeder noch so grossen endlichen Ordnung besitzt, für eine gewisse Umgebung dieser Stelle stets durch die Taylor'sche Beihenentwickelung, also in der Form: VI dargestellt werden könne}. * Lagrange, Œuvres eompl, T. ix. p. 65. t Desgl. T. X. p. 72. X Hierin ist natürlich die Gültigkeit der sog. MacLanrin'schen Formel als speoieller Fall, nämlich für XQ=Ot mitenthalten. Da man aber anch umge- kehrt ans der MaoLaurin'sohen Formel : durch die Sabstitution : 0(Ä)=/(Xo+Ä) die Taylor'sche herleiten kann, so werde ich im Folgenden die Ansdrüoke Taylor'sche und Ma cL aar in 'sehe Reihe je nach Bedarf als Tollständig gleich- werthig gebrauchen. ÜBER DIE TAYLOR'SCHE REIHE. 289 Von den zwei Hypothesen, welche diese Lagrange 'sehe Behauptung offenbar enthält, dass nämlich unter den über f(œ) gemachten Voraussetzungen : (1) die Reihe 2'' — j-^ ä" stets convergire ; (2) ihre Summe den Werth /(a^ + h) besitze — wurde merkwürdigerweise zunächst die zweite, an sich weit einleuchtender erscheinende, von Cauchy* angefochten, indem er auf das Beispiel der Function «"«• hinwies : Obschon dieselbe nämlich für â? — mit sämmtlichen Ableitungen verschwinde, so gestatte sie dennoch nicht die Anwendung der MacLaurin- 'schen Formel, da sie sonst für jedes a? in der Umgebung der Nullstelle verschwinden müsste, was thatsächlich nicht der Fall ist. War dieses Cauchy 'sehe Beispiel nun wohl auch geeignet, den Glauben an jene ziueite Lagrange 'sehe Hypothese einiger- maassen zu erschüttern, so kann man dasselbe doch keineswegs als einen vollgültigen Beweis gegen dieselbe gelten lassen. Denn die fragliche Stelle a?=0 erscheint hier von vom herein 1 als eine singulare, für welche die Function f{x) = e"â^ zunächst überhaupt gamickt oder zum mindesten nicht "eigentlich*' definirt ist, d. h. nicht durch directes Einsetzen von «: = in eine der Definitions-Gleichungen : 1 Ä 11 1 / ^\"* /All \"' berechnet werden kann, sondern vielmehr erst durch eine specieUe Definition, nämlich als lim/(± x) — und auch da wiederum nur bei Benützung der zweiten Form der sonst gleichwerthigen Definitions- Gleichungen eine bestimmte Bedeutung gewinnt. Schliesst man nun derartige Stellen x bei der Formulirung der Lagrange'schen Behauptung von vom herein aus, was so zu sagen geradezu selbstverstcmdlich erscheint und, wie ich überzeugt bin, von Lagrange ohne weiteres acceptirt werden würde, so beweist * Leçon» 9ur U Caiaü infinitéHmal (1823), p. 152; Leçon» mir le Calcul âiffé* renHel (1826), p. 105. c. P. 19 290 ALFRED PRING8HEIM. thatsächlich die fragliche Bemerkung Cauchy's absolut ndchis gegen die Richtigkeit jener zweiten Lagrange'schen Hjrpothese. Dazu kommt noch, dass die erste der Lagrange'schen Hypo- thesen bei diesem Angriffe völlig unberührt blieb: und doch fordert gerade sie schon auf den ersten Blick weit mehr den Zweifel heraus. Denn da die Ableitungen f^^{x\ auch wenn sie fUr jedes endliche n endliche Werthe besitzen, im allgemeinen mit n in's Unendliche wachsen (wie schon ein Blick auf jede beliebige nicht-ganze algebraische Function lehrt), so liegt gar kein Grund vor, an der Existenz von Functionen zu zweifeln, bei welchen für irgend welche Werthe a? = a?o die Zunahme von /^**K^o) naît wachsendem n so stark ist, dass 2"^ — ^^ hr für keinen noch so kleinen endlichen Werth h convergirt. Immerhin blieb die Möglichkeit auch für die Richtigkeit der so viel leichter anzufechtenden ersten Hypothese bestehen, solange man nicht Beispiele derartiger Functionen zur Hand hatte. Es kam somit zur endgültigen Widerlegung der Lagrange'schen Ansicht darauf an, analytische Ausdrücke f(x) zu construiren, welche sammt ihren Differentialquotienten fUr alle Stellen eines Intervalles a ^ â; ^ 6 eigentlich definirt sind, welche daselbst durchgängig endliche Differentialquotienten jeder endlichen Ordnung besitzen, und die dennoch in der Umgebung einer im Innern jenes Inter- valles gelegenen Stelle x^^ nicht nach der Taylor'schen Reihe entwickelbar sind und zwar: entweder (1) weil die Taylor 'sehe Reihe X"^ — y-^A" für kein noch so kleines h convergirt ; oder (2) weil die Summe der (convergîrenden) Reihe VI für kein noch so kleines die Stelle a^» umgebendes Intervall den Werth /(xq + h) hat. Obschon es sich hierbei wesentlich um eine Frage der reellen* Functionen-Theorie zu handeln scheint, so war es doch gerade die Theorie der Functionen complexer Variabein, welche die * Läset man nämlioh in der Lagrange'schen Formalirang des Taylor'schen Satzes von vom herein statt eines reellen Intervalles ein complexes Gebiet treten, 80 besteht ja gerade seit Ca achy über die Entwickelbarkeit von /{xq + h) and deren Grenzen keinerlei Zweifel. ÜBER DIE TAYLOR'SCHE REIHE. 291 nöthigen Hülfsmittel zur. Lösung des vorliegenden Problems an die Hand gab. Von der Erkenntniss ausgehend, dass ein für ein gewisses (auch reelle Werthe umfassendes) Gebiet einer complexen Varia- blen X definirter arithmetischer Ausdruck für kein die Stelle x^ umgebendes reelles Intervall nach Potenzen von (x — Xq) entwickel- bar sein kann, falls dies nicht auch für ein gewisses, dieses reelle Intervall in sich aufnehmendes complexes Gebiet stattfindet, gelangte zunächst Du Bois Reymond* zur Construction einer Function, für welche, trotz der Endlichkeit aller in der Richtung der reellen Axe vor- oder rückwärts gebildeten Diflferentialquotienten jeder endlichen Ordnung, aus dem eben angegebenen Grunde in der Umgebung der Stelle x^O die Entwickelbarkeit nach Potenzen von x von vom herein ausgeschlossen sein musste, und für die sich dann auch nachträglich die Divergenz der MacLaurin'schen Reihe direct nachweisen liess. Damit war also die erste Lagrange'sche Hypothese definitiv beseitigt. Mit Benützung des nämlichen Grundgedankens ist es mir kürzlich gelungenf, neben einfacheren Beispielen der eben erwähnten Kategorie auch solche zu construiren, für welche zwar die nach der MacLaurin'schen Formel hergestellte Potenz- reihe convergirt, während sie auf Grund des obigen functionen- theoretischen Principes keinesfalls auch nur für ein beliebig kleines reelles Intervall die erzeugende Function zur Summe haben kann. Da hiermit auch die zweite Lagrange'sche Hypothese als hinfallig erwiesen ist, so erscheint die Endlichkeit aller Differ- entialquotienten jeder endlichen Ordnung an der Stelle x^x^^ und die gleichfalls ausdrücklich unter die Voraussetzwngen auf- zunehmende (7ont;er^6fu der Reihe ^- — j-ä" wohl als eine noth- wendige, aber keineswegs als eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit der Formel: (1) /i^+h)^f^-^fh'. * '*Über den Gultigkeita-Bereioh der Taylor 'sehen Beihen-Entwickelong." Math. Ann, Bd. zzi. p. 109. t •* Zar Theorie der Taylor 'sehen Beihe nnd der analytischen Functionen mit besohränktem Convergenz-Bereich.** Math. Ann. Bd. UJI. p. 109. 19—2 292 ALFRED PKINQSHBIM. Auf der andern Seite giebt die aus dem Rolle'schen Mittel- werthsatz folgende Beziehung (die sog. Taylor'sche Formel mit dem Lagrange'schen Beste): (2) /(x, + h)='ï''^-^h' + -^^h^ (x,&Çèx, + h) Q V i ni wohl eine hinreichende, aber keine nothwendige Bedingung fiir die Gültigkeit der Taylor'schen Entwickelung. Denn will man aus GL (2) die Gültigkeit der Beziehung (1) fUr irgend einen bestimmten Werth h^ erschliessen, so müsste — da man den in (2) vorkommenden Mittelwerth f ja nicht kennt — ^feststehen. (3) Um-^Ä,- = 0, für aUe x, die dem Intervalle: x^^x^x^^-^h^ angehören, und dies würde also thatsächlich eine hinreichende Bedingung fUr die Gültigkeit von (1) abgeben; während doch hierzu nur notkwendig wäre, dass der Grenzwerth (3) Air jenen ein2dgen unbekannten Mittelwerth f verschwinden müsste. Dagegen erhält man freilich eine gewisse Form der nothwen- digen und hinreichenden Bedingungen für die Gültigkeit der Taylor 'sehen Entwickelung, wenn man, statt von dem Rolle'schen Satze auszugehen, die Beziehung : /(a7o + A)-/(a:o)= f /(a\, + A-a)da durch successive factorenweise Integration überführt in die fol- gende: /(rro + Ä)= 2--^ \^h^ + Rn, wo -B» = (;^)l/V' (^. + Ä -a) . a«-> . da. Denn hieraus folgt in der That — die Elndlichkeit und Stetigkeit der /t**^ (x) für jedes endliche n vorausgesetzt — als nothwmdige und hinreichende Bedingung für die Taylor'sche Formel : limi2n = 0. n-oe Indessen ist der Werth dieses Besultates ein ziemlich illu- soiischer : das fragliche Integral lehrt uns über die Eigenschaften, welche f(x) in dem betreffenden Intervalle von a?o bis x^ + h besitzen muss, so zu sagen gamichts. Will man diesem Integrale irgendwie näher kommen, so muss man Mittelwerthsätze an- ÜBER DIE TAYLOR'sCHE REIHE. 293 wenden, und alsdann gelangt man wiederum nur zu der Lagrange'schen Restform oder ähnlichen Ausdrücken, deren Verschwinden zwar hinreichende, aber keine nothwendigen Be- dingungen liefert. Als einziger Versuch, die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Gültigkeit der Taylor 'sehen Reihe in anderer Weise zu fixiren (immer so verstanden, dass es sich dabei wesentlich um Functionen einer reellen Variablen handelt) ist mir bisher lediglich ein Aufsatz des Herrn F. König* bekannt geworden, dessen Resultat indessen meiner Ansicht nach ziemlich viel zu wünschen übrig lässt. Aus diesem Gründe habe ich das fragliche Problem von neuem wieder aufgenommen und glaube auch zu einer einigermaasen befriedigenden Lösung desselben gelangt zu sein, die ich in folgenden Paragraphen mittheüen will. § 2. Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die OiUtigkeit der Taylor'echen Formel. Lehreatz. Damit die für x=œo endliche, für das Intervall (a?o ^ «?< a?o + R) eindeutige Function f{x) darstellbar sei durch die Taylor'sche Formel : f(x) = î-^f'^(xo).{x^x,y (x,^xXo jeder Differentialquotient nur einen einzigen bestimmten Werth hat, gleichgültig ob man ihn nach rechts oder nach links bilden mag (iur die Stelle x^Xq selbst kommt natürlich nur der rechtsseitige Differentialquotient in Betracht) : in Folge dessen braucht die Stetigkeit von f{x), /^"^ (x) nicht ausdrücklich unter den Voraussetzungen aufgeführt zu werden, da sie in diesem Falle eo ipso vorhanden sein muss. Femer bedeutet die Endlichkeit aller Differentialquotienten jeder endlichen Ordnimg nur so viel, dass ß^^ (x) für jedes bestimmte endliche n einen (irgendwie von n abhängigen) bestimmten endlichen Werth haben muss, womit aber keineswegs ausgeschlossen sein soll, dass/^*^' (x) zugleich mit n in's Unendliche wachsen kann. Letzteres wird vielmehr geradezu die Begel sein, da ja andernfalls, d. h. wenn lim /<**^ (x) stets unter einer endlichen n-oo Grenze bliebe, die Reihe 2 —ß"^ («o) • h^ fiïr jedes noch so grosse h, also beständig convergiren müsste, was offenbar ein ganz specieller Fall wäre. Die Bedingung (2) des oben ausgesprochenen Satzes bestimmt nun gerade das M (a?o + A) flir 71 = 00 stattfinden darf, wenn f{x^ + h) flir ein gewisses Intervall nach Potenzen von h entwickelbar sein soll. In dieser Bedingung liegt der eigentliche Kernpunkt des Satzes, der sich folgendermaassen formuliren lässt: Das unter- scheidende Merkmal, welches die für irgend ein Intervall ent- wickelbaren Functionen f{x) aus der Classe der unbeschränkt differenzirbaren heraushebt, besteht in genau zu praecisirenden Beschränkungen, an welche das Unendlichwerden von ß^ (x) für n = cx) gebunden ist, und welche keineswegs eine blosse Folge der Differemirbarkeit sind, sondern zu dieser noch ausdrücklich hinzukommen müssen. Sodann möchte ich noch hervorheben, dass im Gegensatze zu der sonst herrschenden Gepflogenheit, Bedingungen, die sich auf die Entwickelbarkeit von f(x) beziehen, immer gleich für ÜBER DIE TAYLOR'sCHE REIHE. 295 eine gewisse (reelle) Umgehung einer Stelle x^ zu fonnuliren, bei dem oben angegebenen Satze mit voller Absicht nur von einer einseitigen — um irgend eine Festsetzung zu treflFen, der rechts- seitigen — Nachbarschafi von x^^ die Rede ist. Da es sich hier nämlich wesentlich um Fimctionen reeller Variablen handelt, so wird die Function f{x\ auch wenn man sich dieselbe für die rechte und linke Nachbarschaft von x^ durch einen einheit- lichen analytischen Ausdruck (nach Art einer Fourier'schen Reihe) gegeben denkt, für die beiden Nachbarschafken von Xq vollkommen verschiedene Eigenschaften besitzen können. Wenn also auch für positive h («, + h).{R-hf = (0 g A â Ä) oder anders geschrieben : lim^/<~)(jJo + Ö-B)(l-Ö)*.if* = (OèO^l). Zusatz IL Will man den Lehrsatz auf ein von der Stelle x« nach links gelegenes Intervall übertragen, so tritt, wie man ohne weiteres erkennt, an die Stelle der Bedingung (2) die folgende : lim^/<*)(a?o-A).Jfc» = fiir: O^A^A + Jfc<Ä § 3. Beispiele von Functionen, welche trotz der Endlichkeit aller Differenidalquotienten för x = nicht nax^h der MacLaurin^ *schen Reihe entvdckeWar sind. Zur Erläuterung der in § 1 gemachten Bemerkungen über die HinföUigkeit der beiden Lagrange'schen Hypothesen betrachte ich jetzt den Ausdruck : wo a und X irgend welche reelle Grössen bedeuten und | a | > I sein soll. Die Reihe convergirt unbedingt und gleichmässig für alle reellen x, in 's besondere auch für die Stelle x = und deren reelle Umgebung. Dasselbe gilt fiir die durch gliedweise * Der Beweis des vorstehenden Satzes lässt sich, wie ich neuerdings bemerkt habe, noch merklich abkürzen, wenn man statt von der La grange 'sehen, von der Cauchy 'sehen Form des Bestgliedes ausgeht. Man erkennt dies unmittelbar, wenn man die Bedingung (2) des Lehrsatzes iu die Form setzt : Uml/<»)(Äo + tfr)(l-ö)*.r"=0 für jedes r- . Für a; = hat man daher : /ox f/(0) = ^ W ]/(»»-i) (0) = /<« (0) = (- 1)~ . (2m) ! e^ • « . Hieraus ergiebt sich aber, dass die nach der MacLaurin'schen Formel für/(a?) gebildete Potenzreihe, nämlich : (4) ^{x)^h(r^ye^''''"^ filr jedes noch so kleine x divergirt, sobald X > gewählt wird. Denn man hat in diesem Falle: y«^''» lim \/ c^ = lim (e^) «» = c» . ysoo rsoo Somit stellt die Reihe (1) für X>0 ein — offenbar sehr ein- faches — Beispiel einer Function dar, welche an der Stelle a? = und für jede reelle Umgebung derselben eindeutig bestimmte und endliche Differentialquotienten besitzt, und dennoch nicht nach der MacLaurin'schen Reihe entwickelt werden kann, weil dieselbe für jedes noch so kleine x divergirt. Nimmt man jetzt hingegen für X einen Werth < an, sodass also ^ ein ächter Bruch wird, so ergiebt sich : lim y^6^.««^=0. Mithin convergirt nunmehr die Reihe (x) für jedes noch so grosse X. Nichtsdestoweniger kann ihre Summe nickt mit der erzeugenden Function f{x) übereinstimmen. Man erkennt dies sofort, falls man der Variablen x auch complexe Werthe beilegt. Die Reihe (1) stellt dann nach einem bekannten Satze des Herrn Weierstrass eine analytische 302 ALFRED PBINGSHEIM. Function der complexen Variablen x dar mit den ausserwesentlich singulären Stellen ic=±t, ±ia"S ±ia'~\... und der wesentlich singuläjen Stelle a? = (als Häufungspunkt der Stellen ia~^ fÄr wachsende i;)*. Sie kann also keinesfalls für irgend eine complexe Umgebung der Nullstelle nach Potenzen von x entwickelbar sein und aus bekannten Sätzen über die Fortsetzung analytischer Functionen ergiebt sich sodann, dass die Beziehung f{x) = ^ {x) für kein noch so kleines Flächen- oder Linienstück, in's besondere also fUr keine noch so kleine reelle Nachbarschaft der Stelle x=^0 stattfinden kann. Übrigens lässt sich die Nicht-Übereinstimmung von f(x) und {x) wenigstens fttr Werthe von a, die eine gewisse Grösse erreichen oder übersteigen, auch ganz direct nachweisen, ohne auf die Theorie der Functionen complexer Variablen zu recurriren. Setzt man etwa X — — X' und X' é 1, so folgt aus GL (1), dass flir jedes x : ^. . 1 V 1 1 /W>1^^ 1 + aV^l + aj» 1+aW und aus (4), dass zum mindesten für | o? | ^ 1 (x) < €r\ Giebt man jetzt speciell x den Werth a""*, so wird : /(a-è)>-J_- L- d.h,>^- •'^ ^ j 1 l+a a + 1 a und daher sicher : /(«"*) > - also > (a"*) sobald: ^^e-' ALa^^. a+1 6-1 Aus der Nicht-Übereinstimmung von f(x) und {x) für irgend eine einzige Stelle x lässt sich dann auch, wie ich in der oben citirten Abhandlung auseinandergesetzt habet, lediglich mit Hülfe elementarer Sätze aus der reellen Functionen-Theorie erschliessen, dass die Beziehung f(x) = (a?) flir kein noch so kleines Intervall in der Nähe der Nullstelle stattfinden kann. Da die hier betrachtete Fimction f{x), wie ich glaube, das erste bekannte Beispiel eines mit allen Ableitungen wohl definirten * Vgl. hierüber meine oben eitirte Abhandlang, Math, Ann, Bd. zlxi. p. 166 ff. t a. a. O. p. 162. ÜBER DIE TAYLOR'SCHE REIHK 303 arithmetischen Ausdruckes darstellt, der trotz der Convergenz der MacLaurin'schen Entwickelung dennoch nicht mit deren Summe 0(a;) übereinstimmt, so schien es mir nicht uninteressant, über den Verlauf von f{x) und (a?), namentlich über den Qrad der Abweichung zwischen diesen beiden Grössen, mit Hülfe einer graphischen Darstellung eine deutliche Anschauung zu gewinnen. In der beigegebenen, auf meine Veranlassung von Herrn Diem hergestellten Zeichnung findet man die Curven mit den Ordinaten : y = 2/(a?) 17 = 2^ (x) fiir das Intervall ^ o; ^ 1 und die Parameter- Werthe a = 1, V2, 2, 2V2, 10, VlOOO, 00 dargestellt. Für den anderen Parameter X wurde, als fUr die Rechnung besonders bequem, der Werth hi gewählt, sodass also: Die schwarzen Linien stellen den Verlauf von 2f(x), die punctirten den von 2^(x) dar. Füra«=l fiillen/(^) und (x) noch zusammen: man erhält nämlich für a = 1 : f(x) = ^. ^ , , und (wenigstens fiir «* < 1) auch : *(^>==2TT^) also y = 17 = .. , durch eine Curve 3ter Ordnung dargestellt. Für das andere Extrem a = cx) wird fix)^^ ;, also y^2f{x) diejenige Curve 3ter Ordnung, die aus der oben erwähnten durch Verdoppelung der Ordinaten hervorgeht; da- gegen 17 = 2à{x) = 1, als eine Parallele zur JT-Axe im Abstände 1. Zwischen diesen beiden Extremen verlaufen nun die Curven bei wachsenden Parameter- Werthen von a und es ist klar (wie auch ein Blick auf die definirenden Reihen lehrt), dass die Divergenz zwischen den /- und ^Curven mit a beständig zunimmt. Für a = V2 ist sie bei a? = 0,5 so gering, dass sie bei dem gewählten Maassstabe überhaupt nicht merklich ist, und auch weiterhin bei x^\ sehr unerheblich. Dagegen zieht sich fiir den doppelten Werth a = 2v^ die ^-Curve schon sehr nahe an die 304 ALFRED PRINGSHEIM. für a = (30 resultirende Gerade und ist für Werthe wie a =10 überhaupt nicht mehr davon zu unterschieden, sodass (wie die Figur zeigt) die Divergenz mit der /-Curve schon in grosser Nähe der Nullstelle ausserordentlich aufihllend wird. Y MÜNCHEN, 1 August 1893. ALLGEMEINE THEORIE DER DIVERGENZ UND CONVERGENZ VON REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. VON ALFRED PRINGSHEIM in MÜNCHEN, Unter obigem Titel habe ich im 35ten Bande der Mathematik sehen Ärmalen^ eine Abhandlung publicirt, in welcher ich den Versuch machte» anstatt der bisher bekannten, durch verschie- denartige Kunstgriffe gewonnenen Divergenz- und Convergenz- Kriterien, aus einem einfachen, consequent durchgeführten Principe Regeln von grösstmöglicher Allgemeinheit abzuleiten, welche nicht nur alle jene früheren Regeln als specidle FäUe enthalten, sondern auch ihren bisher mehr oder weniger ver- borgenen Zusammenhang deutlich erkennen lassen und so der Lehre von der Divergenz und Convergenz der Reihen erst den Charakter einer folgerichtigen mathematischen Theorie verleihen. Da die Leetüre der fraglichen Abhandlung wegen ihres nicht unbeträchtlichen Umfanges vielleicht nicht nach jedermanns Geschmack sein mag, so glaube ich, bei der fllr die gesammte Analysis fundamentalen Bedeutung der Reihenlehre, Manchem vielleicht einen Dienst zu leisten, wenn ich im folgenden einen kürzeren Auszug aus den betreffenden Untersuchungen mittheile, und zwar nicht in der Weise, dass ich über aXLe Ergebnisse derselben lediglich referire, vielmehr, mich auf deren Haupt- Resultate beschränkend, diese in möglichster Kürze wirklich zu entwickeln versuche. Soll hernach auch der folgende Aufsatz ein * a. a. O. p. 297—394. Nachtrag dazu: Math, Ann. Bd. xxzix. p. 125—128. c. p. 20 306 ALFRED PRINGSHEIM. von der genannten Abhandlung unabhängiges, in sich abgeschlos- senes Ganze bilden, so werde ich immerhin zum Zwecke etwa wünschenswerth erscheinender Ergänzungen bei passender Ge- legenheit auf jene Abhandlung hinweisen, in deren Einleitung, wie ich hier gleich bemerken will, man auch eine ausführliche Kritik der auf diesem Gebiete mir bekannt gewordenen Vorar- beiten, in's besondere der einschlägigen Untersuchungen Du Bois Reymond's findet*. § 1. Allgemeine Form der Divergenz- und Convergens- Kriterien. 1. Bezeichnet man ein für allemal eine aus positiven Gliedern bestehende, bereits als divergent erkannte Reihe mit Xd^ oder SD,*^ „ convergent „ „ 2c^ „ 2(7^», so folgt ohne weiteres, dass eine heliekig vorgelegte Reihe Sa, mit positiven Gliedern divergirt, wenn : a^ ^ d^ t, convergirt „ a, ^ c,. Es ergeben somit die Beziehungen : ,yv flim J5„a„>0: Divergenz. ^ * (lim C^a, < 00 : Convergeas. Dies ist der einfachste Typus der Kriterien erster Art Ist flir irgend eine Wahl von 2>„ bezw. C, : lim D^a^^^O oder unbestimmt mit der unteren Grenze 0, lim C,a, = (30 „ „ „ oberen „ oq , ♦ B. a. O. p. 297—300. t Ich bediene mich nach Dn Bois Beymond's Vorgange der Bezeiefanongen : (1) /iW-3/,W (2) /iW-'/.W (8) /iWS-/.W am auszodrücken, dass : t^M(2) weder 0,: lim ^r-W < (2) weder 0, noch od (Dabei braucht im Falle (2) der fragliche Limes keinen bestimmten endlichen Werth zu haben.) Femer soU die Beziehung: lim/(r) C,a, -3 C^Oy, „ „ „ lim (7,0^ < oo . Neben der sub (I) aufgestellten eirifachsten Form der Kriterien erster Art kann man noch beliebig viele andere bilden, indem man nicht schlechthin a^ mit dp bezw. c,, sondern eine passende Function F{a,) mit F{dp) bezw. F(Cy) in Beziehung setzt, wobei nur jene Function Fbo gewählt sein muss, dass aus einer Bezieh- ung von der Form F((ti)>F{Xi) stets auch auf die Beziehung ^1 > ^ geschlossen werden kann. Auf einer derartigen Umformung der Kriterien (I) beruht in's besondere, wie sich später noch in concreto zeigen wird, die Möglichkeit, an Stelle von getrennten Kriterien-Paaren für Divergenz und Convergenz disjunctive Doppel-Kriterien erster Art aufzustellen, bei denen die Entscheid- ung über Divergenz und Convergenz von der Prüfung eines einzigen Ausdruckes abhängt. 2. Statt o, direkt mit c2, bezw. c, zu vergleichen, ist es zuweilen ßlr die Rechnung bequemer das Abnahme-Verhältniss ^^^ mit dem entsprechenden -,^* « yT' bezw. — * = t^^ in Be- et, '^ dy JJy+l Cy 0,+i Ziehung zu bringen. Man erkennt leicht*, dass die (fUr alle v von irgend einer bestimmten Stelle ab) als gültig angenommene Relation : -^* ^ rr^ : Divergenz ■^^ ^ ^-^ : Convergenz Oy Oy+l Cf. a. a. O. p. 808. 20—2 (Il) 308 ALFRED PRINGSHEIM. von lap ZOT Folge haben muss. Hemach ergiebt sich wiederum : lim [Dp --^ — D^i ) < als hioreichend filr die Divergenz lim [Cp -^ - Cp^A > „ „ „ Convergenz. Wir bezeichnen diese Beziehungen als Kriterien zweiter Art *. Auch hier wird beim Versagen eines solchen Kriterien-Paares die Möglichkeit, mrksamere Eoiterien zu construiren, wiederum auf der Heranziehung solcher Grössen Dp, C> beruhen, welche echfvächer divergirenden bezw. convergirenden Reihen angehören. Femer stellen, ähnlich wie oben, die Beziehungen (II) nur den ein/ouJieten Typus der Kriterien zweiter Art dar, und man kann, indem man wiederum an Stelle der in Betracht kommenden Grössen passende Functionen derselben einftlhrt, noch mannig£EM>he andere Formen solcher Kriterien erzeugen. 3. Man könnte schliesslich irgend welche passend gewählte Function von zwei oder auch beliebig vielen Gliedern o, mit der entsprechenden der dp bezw. Cp in Beriehung setzen, um daraus die Divergenz bezw. Convergenz von lop zu erschliessen. Aus der unbegrenzten Anzahl von Möglichkeiten, welche sich auf diese Weise fllr die Construction weiterer Kriterien-Formen ergeben, habe ich in der oben citirten Abhandlung zwei herausgegriffen und die betreffenden Kriterien als erweiterte Kriterien zweiter Art und als solche dritter Art bezeichnet. Die Bildung der ersteren beruht darauf, dass man statt des Quotienten zweier cansecutiver denjenigen zweier beliebig entfernter Glieder oder auch denjenigen zweier Oliedergruppen in Betracht zieht i": dieses Verfahren lieferte mir u. a. auch jene sehr allge- meinen Kriterien, welche auf völlig anderem Wege von Herrn Ermakoff zuerst aufgestellt worden sind. Es ist mir neuerdings gelungen, dieselben von einer ihnen (auch in der von Herrn Ermakoff gegebenen Darstellung) anhaftenden, sehr wesentlichen * Man findet dieselben hänfig aach so geschrieben : lim [ Dp^i -^ - dA >0 : Divergenz limf C^^j-^^-C j<0: Convergenz. t a. a. O. p. 886—894. ÜBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 309 Beschränkung, nämlich der auaachlieaalichen Anwendbarkeit auf Reihen mit niemais zunehmenden Gliedern zu befreien, und zwar lassen sie sich auch in dieser erweiterten Form mit Hülfe der oben charakterisirten, in meiner Abhandlung durchgeführten Methode ableiten. Da indessen diese Kriterien ihrer ganzen Natur nach nicht mehr der algAraischen, sondern der infinitesimalen Analysis angehören und ihre Wirksamkeit sich auch ohne weiteres auf bestimmte Integrale (mit unendlichem Integrations-Intervall) erstreckt, so erscheint es mir angemessener, auch bei ihrer Herleitung von der Abkürzung zu profitiren, welche die Benützung bestimmter Integrale dabei darbietet : ich theile diese Ableitung — als den eigentlichen Rahmen dieses Au&atzes überschreitend— hier in einem besonderen Anhange mit. Als Kriterien dritter Art habe ich in meiner Abhandlung solche bezeichnet, bei welchen die Differenz zweier consecutiver Glieder resp. ihrer reciproken Werthe als Vergleichs-Object dient Obschon derartige Kriterien für Reihen mit niemalszunehmenden Gliedern überaus einSeu^h ausfallen und für gewisse Gliederformen sichtlich bequemer anzuwenden sind, als die entsprechenden Kriterien erster oder zweiter Art, so begnüge ich mich — wegen ihrer immerhin geringeren Wichtigkeit — hier damit, auf den betreffenden Abschnitt in meiner Abhandlung hinzuweisen*. Nach dem bisher gesagten kommt es bei der Aufstellung irgend welcher Divergenz- und Convergenz-Kritenen im wesent- lichen nur darauf an, die nöthigen d, bezw. Cp zur Verfügung zu haben. Es handelt sich also vor allem um die Lösung der Aufgabe : edle möglichen d, bezw. Cp d. h. die typische Form fijir das allgemeine Olied Jeder divergenten bezw. convergenten Reihe zu bestimm£tL § 2. Allgemeine Form der divergenten Reihen. 1. Im folgenden bezeichnet M, ein für allemal eine für jeden endlichen Werth der positiven ganzen Zahl p (von irgend einem bestimmten v^n^ab) endliche und positive, mit v monoton in's Unendliche wachsende Grösse, sodass also: < Jf , < Mp+i (für V ^ no) lim if, « 00 . • a. a. O. p. 87Ö— 886. 310 ALFRED PRING8HEIM. Alsdann gilt zunächst der folgende Lehrsatz : Die Reihe, deren allgemeinea Olied eine der beiden Farmen ; (a)M,^,^M^ (b) if.+i-if. hat, ist stets divergent Umgekehrt lässt sich das allgemeine Glied Jeder divergenten Reihe ^ sowohl in die Form (a), als audi (6) setzen. Beweis: Zu (a). Dass in der That 2(if^i — if,) divergirt, erkennt man ohne weiteres aus der Beziehung: "ir(if,+,-if,) = if^ -if^ (dalim ifn = oo ). Ist umgekehrt d, als Glied irgend einer divergenten Reihe vorgelegt, so ist offenbar S^'d, eine positive, mit n monoton in's *• Unendliche wachsende Grösse. In Folge dessen kann man setzen : «-1 n X^d^^Mn, also: ifn+i = 2''dr, woraus in der That : resultirt. — Zu{h). Es ist: 1 J. -^r+l^-^ r _ ^r+l und daher: li^-^^^^^W^ sodass also dieses Product fUr n = oo nach qo divergirt-. Daraus Af — M folgt aber nach einem bekannten Satze +, dass 2— ^i^- ^ gleichfalls divergiren muss. Ist dagegen umgekehrt d^ beliebig vorgelegt, so divergirt mit »-1 Sdr auch das Product II (1 + d^, sodass also H (1 + d^) eine mit n * N.B. Es handelt sich hier ein ffir allemal um Beihen mit laater poiUiven Gliedern. t a. a. O. p. 818, Fussnote. ÜBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 311 monoton in's Unendliche wachsende, positive Grösse darstellt. In Folge dessen kann man setzen: M\l+d,) = if„. also: Jfn+i= W(l +d.) = if»(l +c2n) und daher : dn = ^'^V^ '* q- e. d— Zusatz I. Bedeutet \ eine ganz beliebige positive Grösse, so divergirt mit der Reihe ^d^ auch stets die Reihe S '^. Hiemach muss sich, aber T^ gleichfalls in die Form (b) setzen lassen, d. h. man hat flir jedes belidrige d^ bei helUinger Wahl der positiven Grösse X auch: dm M,^,-M, Zusatz II. Es divergirt auch stets die Reihe mit dem all- gemeinen Qliede Dies folgt ohne weiteres falls M,+i ^ M^. Ist dagegen so hat man: lim — ^ ^ = 1, woraus gleichfalls die Divergenz der fraglichen Reihe folgt Ist endlich M^i ^ M, d. h. die obere Unbestimmtheits-Grenze von -j^ unendlich gross, so hat diejenige von —^ ~ den Werth 1, sodass die Reihe wiederum divergiren muss. 2. Da man nach dem obigen Lehrsatz jedes beliebig vor- gelegte (2r ^ die Form: setzen kann, und da dann andererseits auch die Reihen mit dem allgemeinen Gliede: gleichfalls divergiren, so folgt zunächst — wegen : S^ -S dp, S/ -S dp — 312 ALFRED PRINQSHBIM. class man auf diese Weise zu jeder divergenten Reihe stets auch schwächer divergirende constniiren kann. Es bietet sich aber noch eine zweite Möglichkeit dar, um aus dp SS Mp^i — M, das Qlied einer schwächer divergirenden Reihe zu erzeugen, nämlich indem man an die Stelle von M, eine mit V langsamer zunehmende Grösse if/ setzt; in der That wird alsdann die Zunahme d/ = Jf' r+i — M/ unter dp = if^+i — M^ liegen, also 2(2/ schwächer divergiren. Denkt man sich etwa M^ irgendwie fixirt, so werden die Aus- drücke IgiJf,,, lg,if^,...lg.Jfr(wo: lgiif^ = lgJf,, Igjif^ = IglgJlf^ und allgemein Igxifr den K-üch iterirten Logarithmus von M, bezeichnet, sodass also: lg«ilf,,»lglg«.iify = Igc_ilgJlf,) eine Skala von immer langsamer zunehmenden Grössen darstellen, und somit werden die Reihen mit dem allgemeinen Gliede : (ig.jif,«-ig.if,) nicht nur durchweg schwächer divergiren, als ^(M^+i — M,), sondern für /e = l, 2, 3,... geradezu eine SkaJta von beständig schwächer divergirenden Reihen bilden. Da nun für jedes x ^0: eF^l^x also: lg(l— a;)^^; so folgt zunächst : lg, Jf.^, - lg. Jf, = lg (l + r^ï^') g ^^^^ . and wenn man in dieser Ungleichung IgJlf, für M, snbstituirt : und durch Fortsetzung dieser Schlussweise : (1) ig^, Jf>,.- lg,,.if, a ^^ igj;:^^^:... \g,M/ Hieraus ersieht man aber, dass mit der Reihe 2d, = 2(if^,-Jf,) und ^Bp^l,^ auch stets diejenigen mit dem allgemeinen Gliede : (2) «r^^=i7p^> woi«(if,) = Jlf,.lg,if,.lg,if,...Ig.Af,. ÜBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 313 diveigiren, und zwar bilden sie fiir /e = l, 2, 3,... mit jenen beiden ersten Reihen zusammen eine Skala von hestâmdig schwächer divergirenden Reihen^. § 3. Allgemeine Form der convergenten Reihen, 1. Lehrsatz I. Die Reihe mit dem allgemeinen Oliede : ist stets convergent, und umgekehrt läset sich das allgemeine Olied Jeder convergenten Reihe in die obige Form setzen. Beweis. Man erkennt wiederum die Convergenz der betref- fenden Reihe ohne weiteres aus der Beziehung: oo Ist umgekehrt Scr als convergent vorgelegt, so ist "Z^Cp eine mit n wachsendem n monoton abnehmende und für n = oo gegen Null convergirende Grösse, sodass man setzen kann: • 2 * 1 S^Cr^x^- also: l^Cp = ~jj — und daher: Cn-^ — w — = -^r^—rr'' q- ^ <*• 2. Versucht man in ähnlicher Weise, wie sich oben bei den divergenten Reihen die Form (b) ergab, also durch Heranziehung von n (1 +Cr), eine zweite charakteristische Form für c, aufzustellen, so gelangt man hier zu dem Ausdruck rfür^^^-^Tvir » welcher (M^i + 1; Mp offenbar keine schwächer convergirende Reihe als die mit dem oben betrachteten Bildungsgesetze definirt, da ja offenbar : Jf^i-Jf„ Mp^^-M p Dagegen wird man offenbar aus : ^~ M,^,M, -Km, m^J * Es giebt Beihen, welche noch schwXoher divergiren, als za^^' fftr jedes noch so grosse endliche k (a. a. 0. p. 852 — 856). 314 ALFRED PRINGSHEIM. das Glied einer schwächer convergirenden Reihe ableiten können, wenn man wiederum für Mp eine Grösse if/ substituirt, die mit p langsamer in's Unendliche wächst, ak M^. In der That wird a-laHAnn j^-, mit wachsendem v langswmer gegen Null abnehmen als -^ Mp JUp und daher die DiflTerenz c/ — ( ot "" lïf — ) "^^^ ^^^ entsprechen- den Cp liegen. Denkt man sich wiederum M^ beliebig fixirt, so möge hier zunächst i// für M, substituirt werden, sodass also für < p < 1 : Man hat alsdann : Um die Abnahme von o/ bei unendlich wachsendem p mit derjenigen von zu vergleichen, bilde man : Cr 1 - Cr Da für jedes endliche i^ : 9» < 1 sein muss, so hat der erste Factor der rechten Seite einen bestimmten positiven Werth. Dies gilt auch noch ohne weiteres ßir v^oo MIb lim q, > -Mr+i -ifr (Ig.if.+.y^^ •'i«(if.+ôig«pJlf.+x wird, so folgt mit Benützung des oben gefundenen Resultates, dass auch der rechts stehende Ausdruck fUr p > das allgemeine Glied einer conveigenten Reihe bildet. Und da bekanntlich f\ïr p>0: ifp,+, E-Gg^jf.+.y+p £-ig,jf,+,(ig,if,+,y+p £- ... 316 ALFRED PBIKOSHEIM. 80 bilden für p >0 die Reihen mit dem allgemeinen Qliede : ^*> '^^ M.W^^ ' '^ -Z.(if^J.lg/if^, (-c-1,2,3....) eine Skala von beatändiff schwächer convergirendm, Reihen*. Das gleiche gilt offenbar auch für : ^^} "'' M/^o ""' -i.(Jlf,).lg.Pif, falls man die M^ der Beschränkung unterwirft, dass : Zugleich bemerke man für später, dass in diesem Falle durch Vergleichung von Ungl. (3) mit Ungl. (1) des vorigen Paragraphen (wenn man in der ersteren noch /ic + 1 für « schreibt) sich ergiebt : (6) lg,+iJkf,+X-lg«+l^r- i«(ifr) 4. Da für p > : so folgt noch, dass die Reihe mit dem allgemeinen Gliede ""^^^ ' für p > stets convergirL Das gleiche gilt dann offenbar wiederum auch für die Reihe mit dem allgemeinen Gliede ""^^j^ — -, felis Jf^+i-'if,,. Zugleich erkennt man, dass diese c Reihen für p ^ divergiren. § 4. Die Kriterien erster Art Da sich nach den Ergebnissen der vorigen zwei Paragraphen das allgemeine Glied jeder divergenten bezw. convergenten Reihe in die Form : 1 _M,+,-M, ^ M,^,-M, 1 »r — rv "■ TU ^i' "" D, M, "'"■ ifn-iJfr "B^.M^ * Über noeh sdhwSoher oonvergirende Reihen Torgl. a. a. 0. p. 852—^66. ÜBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 317 setzen läset, so folgt dass alle überhaupt eœistirenden Kriterien erster Art (vom ein&chsteD Typus) in der Form enthalten sind : (M 1ÎÏW -jrp — ^^—jrf- . a„ = lim D^^ > : Divergenz lim ^ '^ZTif • ^ ^ ^^^ -ä'n-i-Dr o^ < « : Convergenz. Da aber nach § 3, Lehrsatz IL, die Reihe mit dem allgemeinen Gliede ^J^^ ,, " schon für jedes beliebig kleine positive p conver- girt, so erhält man offenbar bei beliebig fixirtem M, jedesmal als eine vortheiUiaßere Form des C7o7it;ei*^«n2:-Kriteriums sofort die folgende : ( AO lim ^^ '''*'' !L . a„ < 00 (fiir irgend ein p > 0). Die Grössen M^ sind hierbei noch keiner weiteren Beschränkung unterworfen, als von vornherein in ihrer Definition lag. Führt man jedoch jetzt die Bedingung ein* : 80 kann man in dem Convergenz-Eriterium (A^) die Grösse Jkf/if^+i ohne weiteres durch if„*+^ ersetzen und erhält somit durch Verbindung mit dem Divergenz-Kriterium (A) jetzt das folgende Paar von correepondirenden Kriterien erster Art: lim Tjy — —Tif^ = lî"^ ^^y > • Divergenz ^™ Xf — ~ — ïf • ^ ~ ^^"^ M/D/iy < X : Convergenz (p > 0). Man kann dann femer mit Benützung von § 2 Art 2 und § 3 * Die Einführang dieser Bedingung erscheint sozasagen telbitventändliehf sobald es noh um die AnfsteUung von wirkUoh brauchbaren Kriterien handelt Da n&nlioh aas den bisher angesteUten Betrachtungen folgt, dass die Kriterien um so wirkiamer werden, je langtamer die M^ mit v zunehmen, so ist die Ausschliessung solcher AT,, fflr welehe Afy^i^-lfy, gleichbedeutend mit derjenigen der wenigtt wirkiamen Kriterien. Da in's besondere für M^^i S- M^ : limD^->=lim(^"*'^-l^ = Qo, so folgt z. B., dass irgend ein a^ auf ein mit solchen Grössen D^ gebildetes Divergenz- Kriterium nur dann reagiren kann, wenn auch lim a^ = od . 318 ALFRED PRINOSHEIM. Art 3 eine Skala von immer wirksameren Kriterien bild»;, nämlich : (lim-î^r^^^ — Tr '(i,'^iiaiD^^ap>0: Divergent lim '^ \^M " '0,, = Um lg/if,.D^« a,0. Dabei enthält diese Skala offenbar auch die Kriterien (B) als Anfangs-Kriterien, wenn man «c = setzt und den Symbolen \g^x und Zo (x) die Bedeutung von x beilegt. Die obigen Kriterien nehmen die übliche Form (sog. Bonnet- 'sche Kriterien*) an, wenn man speciell M^^v setzt, nämlich : (C) \^h'^\,^!''' '• ^"^T 1 «-0. 1. 2. ...,p >0. "^ ^ \hmL^{v)\g^^v.a^ dasjenige einer convergenten Reihe darstellte. Man hat hiernach : Divergenz, wenn flir p ^ :1 g^^»^^ f ^ 1 Convergenz, wenn für p > : J Jf^+i — ifr " 1« 1 oder anders geschrieben : Divergenz, wenn für p ^ : 1 M^^^-^M^ f â é^^^ Convergenz, wenn fiir p > : ) a„ (> ^p^h-i oder, wenn man diese Ungleichungen logarithmirt (vgl § 1 Art. 1) : ^p^O ^p>0. ifn-i-itfr il] ^ a^ f^P«0 r.\—ir:. — Divergenz, wenn : | ° g^ Convergenz, wenn : J if„+i Da hier p auch im zweiten Falle beliebig klein (wenn nur angebbar von Null verschieden) sein darf, so folgt schliesslich durch Übergang zur Grenze y = oo: ^ Mp^i — Jlf„ ,_ dp .j^v ,. ^ Cy ,. ° Cy f < ; Divergenz * Joum. de Mathém, T. tux. p. 78. ÜBER BBIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 319 Hierbei unterliegen die M^ noch keinerlei Beschränkung. Führt man jetzt wiederum die Bedingung M^^i^M^ ein, so kann man zunächst die Ungleichungen (D) durch die folgenden ersetzen : Convergenz „ i,„ ^ ttr {<0: Divergenz (E,l) hm ^gr |>0: und erhält sodann durch Substitution von Ig^+i Jlfr(iic = 0, 1, 2, ...) an Stelle von M^ mit Benützung der Relation (6) des § 3 die folgende Skala: lg M^i — M, Für die specielle Wahl M, = v etgiebt sich aus (E, 1) und (E,2): 1(1) mJ1^\Q : Convergenz (F) < 1 r«1 lim ^LAv)-aA <0: Divergenz . _o i o ^ Das erste dieser Kriterien ist — wegen - lg — ■» — lg v^o, — identisch mit dem Cauchy'schen Fundamental-Eriterium erster Art»: ,. r/— |> 1 : Divergenz ^"^"^""Ul'.CmJrgenz. Das fiir « = resultirende Anfangs-Eriterium der Skala (F, 2), welches auch so geschrieben werden kann : j 1 ,. ° a^ (< 1 : Divergenz ^lgT\>l:Canvirgenz rührt gleichfalls von Cauchy herf , während die übrigen, die sich auch folgendermaasscD schreiben lassen : * Änalyie algibr, p. 18S. t âeêgl p. 187. 320 ALFRED PRINOSHEIM. lg ^ >^Y,{v).a.i0, da ja in diesem Falle lim -^ > 1, also lim C^,< 1 wird. Die obige Up Bedingung wird nun aber offenbar in keiner Weise alterirt, wenn r man sie durch die f(ir jedes v positive, endliche Grösse S^Ca dividirt, sodass also Ig- lim^>0, 2^Ca gleichfalls eine hinreichende Bedingung für die Convergenz von Sa, bildet, und zwar unterscheidet sich dieselbe von der in (D) enthaltenen einzig und allein dadurch, dass hier Cx, c, an Stelle von (2x> dp steht. Bezeichnet man nun mit px eine in ganz ivillkürlicher Weise von der ganzen Zahl \ abhängige, nur wesentlich positive Grösse, so muss Spx entîveder divergiren oder convergiren d. h. |>x gehört entweder zur Classe der Zahlen (2x oder zu derjenigen der cx- In Folge dessen kann man aber die zuletzt aufgestellte Convei^enz- Bedingung mit der in (D) enthaltenen in folgender Weise zusam- menfieussen : Die Reihe iSa, ist convergent, wenn eine positive Orösee px existirt, sodass: (G) lim^>0. ♦ Joum. de Mathém. T. vn. p. 37. ÜBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 321 Dies ist das aügenieinste Convergenz-Kriterium erster Art, welches das vollkommene Analogon zu dem in seiner äusserst merkwürdigen Allgemeinheit bisher völlig isolirt dastehenden Kummer'schen Kriterium* zweiter Art bildetf. § 5. Die Kriterien zweiter Art. Als einfachster Typus für die Kriterien zweiter Art ergab sich oben (§ 1, Formel 11.) : (H) (a) lim (Dp . -Dr+i) < • Divergenz (b) lim f C> . Cp+i J > : Gonvergenz, und man hat jetzt nur für D, bezw. 0^ irgend einen der in §§ 2, 3 aufgestellten Ausdrücke einzusetzen, um die fertigen Kriterien zu erhalten. Hierbei eigiebt sich aber für die Convergenz-Kiitenen die Möglichkeit einer sehr merkwürdigen Umformung, durch welche deren linke Seite schliesslich völlig gleichlautend mit derjenigen der Divergenz-KiiteTien wird. Für die Canvergenz von So, ist hinreichend, wenn für alle v von irgend einer bestimmten Stelle i; » no a6 : also, wenn man nach § 3, Lehrsatz L setzt : Cp- if-+i-Jf, nach Weglassung des gemeinsamen Factors M^^i und Multiplica- tion mit einer beliebig anzunehmenden jx>ràive» Grösse p : * S. Fonnel (H) des folgenden Paragraphen. t Ober die Tragweite der Kriterien enter Art, in*i be$ondere auch über verêchiedenet in dieeer Betiehung vielfach herrechende irrtömer— vgl. a. a. 0. p. 848 — 859. c. p. 21 322 ALFRED PRINQ8HËIM. Da sich aber das allgemeine Glied Z)„""^ jeder divergenten Beihe nach § 2 (Art. 1, Zusatz I.) stets in die Form: 1 Jf,+,-if. setzen lässt und umgekehrt jeder solche Ausdruck dsis allgemeine Glied D~^ einer divergenten Reihe bildet, so folgt, dass man die letzte Ungleichung ohne weiteres durch die folgende ersetzen kann : 2),^-2>r+,âp («'S«.) und diese Bedingimg wird — da ja p nur an die Beschränkung geknüpft ist, positiv, d. h. angebbar > 0, zu sein — sicher erfüllt sein, £bi11s: (ILc) limfi),— ' -Z)^i)>0. Durch Combination dieser Ungleichung mit (11. b) ergiebt sich aber, wenn man erwägt, dass jede in ganz willkürlicher Weise von V abhängende positive Zahl P^ entweder wiederum der Classe der Z)„ oder derjenigen der C^ angehören muss, das allgemeinste Con- vergenz-Kriterium zweiter Art, nämlich das (von jeder über- flüssigen Nebenbedingung befreite) Kummer'sche*: (H) lim ( P„ — — — P„+j ) > : Convergenz. Andererseits liefert die Verbindung von (II. c) mit (II. a) das folgende disjunctive Doppel-Kriterium zweiter Art : (F. 1) lim (d, -^ - D,^ (< ^ '■ ^^'^^^ ^ ^ \ "^a^+i '^^^J {>0 : Convergenz. Es ist ohne weiteres klar, dass man, von irgend einem be- stimmten Dy ausgehend, wirksamere Dtwrjrewir-Kriterien erhält, wenn man für 2)„ das reciproke Glied einer schwächer diver- girenden Reihe einführt. Man erkennt aber, dass hierdurch auch die Convcrgren^-Kriterien eine Verschärfung erfiihren. Denn geht man auf deren ursprüngliche Form (II. b) zurück, so ist klar, dass * CrelU^t Journal^ Bd. zni. p. 171. Die von Kammer noch hinzogefâgte Kebenbedingang : limP^^^O — ^bat zuerst Herr Dini ak überflüssig erkannt: ** BnUe Serie a termini positivi " Art 19. Annali deW Univ. To$e, T. ix. ÜBER BEIHEN MIT POSITIVEN GLIEDERN. 323 das Kriterium um so wirksamer sein muss, je schwächer 2(7»~* converffirt. Drückt man aber, wie oben geschehen, die (7„ durch die M, aus, so entsprechen nach § 3 Art. 2 den schwächer conver- girenden Reihen 2(7^"^ auch langsamer zunehmende Grössen M^, und somit, wenn man schliesslich statt der M^ die 2), einführt, nach § 2 Art 2 auch solche D^, welche schwächer divergtrenden Reihen angehören. Setzt man zunächst in (F, 1) : so wird man also eine Skala von successive wirksamer werdenden Kriterien erhalten* wenn man statt D^ einführt : l>r"'=j^^Ä. = X.(Jf,).I>, (« = 0.1.2,...). Auf diese Weise ergiebt sich : ,F.2, ii»(i'.-e.-^"-){;S;S^ (--»■»■^■•••> Man erhält aus (F, 1), (F, 2) wiederum die bekannten Kriterien zweiter Art durch die specielle Wahl M^ = v, nämlich : '(1) lua(^-l)\<^'^'^^^ Vöir+i / \>0:C(mvergenz (i. = 0,l,2,...). Das Kriterium (l) ist offenbar das bekannte Cauchy'sche Fundamental-Ejiterium zweiter Artf. Das Anfangs-Elriterium (fc = 0) der Skala (2), welches sich auch folgendermaassen schreiben lässt: \a„+j / (> 1 : Convergenz ist das Raabe'scheJ, die übrigen rühren (abgesehen von einem unwesentlichen Unterschied in der Form) von Bertrand her§. * Eine genaaere Untersachung über den Orad der Versoharfong, welche auf diese Weise erzielt wird, findet man a. a. O. p. 864—866. Desgl. für die spedellen Kriterien (K) : p. 868—370. t Anal, algébr. p. 184. X Zettêchriftfûr Math, von Baumgartner und EUinghau$en, T. x. § Journal de Mathém. T. tii. p. 43. 21—2 (K) 324 ALFRED PRINGSHEIM. Yon anderen Formen, in welche sich die Kriterien zweiter Ait setzen lassen, will ich hier nur als besonders einfiM^h die folgende, von mir angegebene, anfUhren : (L) limD lg ^^^^ {< ^ ■ Divergenz ^ ^ " ° Dr+i^r+i (> : Gonvergenz und verweise betreffs ihrer Herleitung auf die citirte Abhandlung*. Daselbst findet man auch eine genaue Untersuchung über die Tragweite der Kriterien zweiter Art und deren Beziehung zur Tragweite der entsprechenden Kriterien erster Artf. Anhang : Über die Ermakoff*schen Kriterien für bestimmte Integrale imd unendliche BeihenX- Es seien mx, M^ fur o; ^ Xo positive, mit x monoton in's Unend- liche wachsende Functionen mit den integrablen (eo ipso positiven) Differentialquotienten mj, if/, und zwar sei fiir jedes endliche œ ^œ^: m^ 1 rf(x)dx\ *7." ^ J fli» convergent^ wenn lim Q^ < 1. Beweis. Sei zunächst : limQ,>l, so muss eine angebbare positive Grösse c existiren, derart dass auch: lim Q, > 1 + e • a. a. 0. p, 370, 371. t a. a. 0. p. 370-379. t Darbouz, Bulletin, T. n. p. 250 ; T. xvm. p. 142. ÜBER REIHEN MIT POSITIVEN GLIEDEBN. 325 und daher eine gewisse Stelle «« a, sodass (Oi a>a: Q.>l + e, d.h. wird. Daraus folgt aber, dass : ^MJ.f{M,)dx>{l + e) j"' W ./(w«.). (« > a) oder wenn man diese Integrale mit Hülfe der Substitution Mg^y, bezw. mc=y transformirt: r f(lf)dy>(l + e)r'/(y)dy. («>a> J Mm J flU Nimmt man x jedenfalls gross genug, dass m^ > M^ wird (was stets möglich ist, da lim tti« = oo ), so hat man : (2) /^/(y).rfy>(i+e){/^/(y)rfy+J|^/(y)dy} imd a fortiori', (8) rf(!f)dy>(l + t)r'Ay)dy. J Mm J Mm Wäre nun 1 f{y)dy convergent, also endlich und bestimmt, so müsste für a:« « der Quotient von i /(y) dy und I f(lf)dy J Mm ^ M» den Grenzwerth 1 haben, es müsste also sicher von irgend einer bestimmten Stelle d; > ii ab, dieser Quotient unter 1 + e liegen, sodass also: rAy)dy<(l + t)rf(y)dy ix>A) J Mm J Mm wird : somit folgt aus UngL (3), dass das Integral in diesem Falle divergiren musa — Sei jetzt zweitens : limQ.a) 326 ALFRED PItlNGSHEIM. woraus zunächst, ganz analog wie oben Ungl. (2), sich ergiebt : (4) /^/(y)dy<(i-S){£V(y)dy+j^/(y)rfy}. Setzt man zur Abkttrzung: 80 folgt aus (4) : Wäre nun das fragliche Integral divergent, also F{M^, oo ) = so , so müsste, falls x eine gewisse Grösse A übersteigt, F(M^, m^ beliebig gross, also in's besondere: F{ma,Ma) ^ FiMa.m^y'' gemacht werden können, sodass also Ungl. (5) überginge in : FiM„M,) Diese Ungleichung ist aber unmöglich, da der betreffende Quotient, wegen Mx > ntg, niemals < 1 werden kann. Somit muss das fragliche Integral in diesem Falle canvergiren. — Das durch den eben bewiesenen Satz gefundene Kriterium nimmt eine fur den Gebrauch bequemere Form an, wenn man m» oder Mx durch œ ersetzt. Man erhält alsdann entweder : (6) ^'- fix) ' wobei jetzt ifa.>a?(z.B.ifjj«Ä? + c(c>0), Mx^px, Mx^a^(p>l),Mx^^); oder: wo mx {>;=y^^^ ^ m» ./ (wi«) (< 1 : Canvergenz. Isi/(x) auch für andere als ganzzahlige x definirt, und besitzt f{x) die Eigenschaft, dass lim ' ^^^ . ==1 für A ^ 1 (in welchem Falle f(x) offenbar noch keineswegs monoton zu sein braucht), so kann man in (9) Mg. und m^ ohne weiteres durch Mg und rrtg ersetzen, d L dann ninmit das obige Kriterium genau dieselbe Form an, wie wenn f(x) monoton wäre. Andem&lls hat es bei der Form (9) sein Bewenden, wobei man aber wiederum noch, analog wie in (6) und (7), eine der Functionen Jlf^, m» durch x ersetzen kann. Im Augwt 1893. THE ALGEBRAIC SOLUTION OF EQUATIONS. BY ALBERT M. SAWTN of EVANSVILLEL [This paper had been previously published : Annals of Matiie- matics, VoL 6, pp. 169—177, 1892. Editors,] EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT. VON V. SCHLEGEL in HAGEN I/W. Es soll im Folgenden an einigen Beispielen gezeigt werden, [mit wie grosser Leichtigkeit die einfachsten Hilfsmittel der Grass- mann 'sehen Ausdehnungslehre Lehrsätze der Geometrie und Mechanik in beliebiger Menge liefern. 1. Es seien Ä^ A2, Äz, A4 die Elcken eines Tetraeders, femer Si9 jSs, Si, S4 resp. die Schwerpunkte der Dreiecksflächen A^^^, A9A4A1, A^AiAt, AiA^A^, Dann bestehen die Gleichungen : 38,^A, + A, + A, 3S,^A,-\-A, + A,) 3S,=4, + -44 + ^, 3S,^A, + A, + A,\ ^ ^• Hieraus folgt durch Addition : Ä| + Ä, + iSf, + af, = -4,4--4, + ^ + 4 (2). Da die linke Seite dieser Gleichung den vierfachen Schwer- punkt des von den Punkten Si,St, S^, S^ gebildeten Tetraeders ("Schwerpunkt-Tetraeder") ausdrückt, die rechte den vierfachen Schwerpunkt des gegebenen Tetraeders, so sagt Gleichung (2) aus, dass beide Schwerpunkte zueamvienfallen. Schreibt man (2) in der Form ^ S, + Ä,+^+S._^_^3 4.+^.+i, ^3^ so sagt dieselbe aus, does die Verbindungslinie der Ecke A^ mü dem Schwerpunkt der gegenvherliegenden Fläche A^A^^ durdi den Schwerpunkt 8 des Tetrœders geht und durch denselben im Verhält- 332 V. SCHLEGEL. niss 1 : S getheilt wird. Denn schreibt man (3) in der abgekürzten Form ^^A, + :iS, (4). 80 folgt hieraus durch eine leichte Umformung 4,-âf 3 ^^^' d. h.: die Strecke S8^ verhält sich zu Aß wie 1 : 8. 2. Aus den Gleichungen (1) folgt weiter: nebst zwei weiteren Paaren von Gleichungen, welche aus (6) durch zweimalige circuläre Vertauschung der Indices 1, 2, 3 entstehen. Da nun die Summe zweier Punkte ihren doppelten Mittelpunkt bedeutet, so sagen die Gleichungen (6) aus, dassjede Verbindungs- linie der Mitten zweier Oegenkanten des Schwerpunkt-Tetraeders auch durch die Mitten zweier Oegenkanten des gegebenen Tetraeders geht Schreibt man die Gleichungen (6) in der Form i(Si+Ä,)-i[H^.+^)+i(Ä.+Ä.)]i .^. i(S,+s,)=i[i(ii.+40+4(Ä4+Ä0]) ^'^' so erkennt man, dass jedesmal der Punkt links die Mitte zwischen den beiden Punkten rechts ist. Man hat also den Satz: Jede Strecke, welche die Mitten zweier Oegenkanten eines Tetraeders verbindet, wird durch zwei Oegenkanten seines Schwerpunkt-Tetra- eders in drei gleiche Theile getheüt. 3. Aus den Gleichungen (1) folgt femer: 3(S,-Ä,) = -4.-4r, 3(S,^S,)^A,-A, (8), woraus vier weitere Gleichungen durch circuläre Vertauschung der Indicés 1, 2, 3 entstehen. Diese Gleichungen sagen, dass jede Kante des Schwerpunkt-Tetraeders einer Kante des gegebenen Tetraeders parallel ist und den dritten Theil ihrer Länge besitzt. EINIGE SÄTZE VOM SCHWERPUNKT. 333 4 Schreibt man die Gleichung (2) unter Berücksichtigung von (1) in der Form 3.^±f±^^ = A + 2S. (9). ao sieht man, dass die Strecke, welche eine Ecke des Tetraeders mit dem Schwerpunkt der gegenüberliegenden Mäche verbindet, durch den Schwerpunkt der zugeordneten Fläche des Schwerpunkt- Tetraeders geht und durch diesen Punkt im Verhältniss 1 : 2 getheüt wird, 6. Fallen zwei Gegenkanten des gegebenen Tetraeders in dieselbe Ebene, so verwandeln sich die Kanten des Tetraeders in die Seiten und Diagonalen eines ebenen Vierecks. Die in Nr. 1 — 4 enthaltenen Sätze bleiben in Geltung und erleiden nur diejenigen Veränderungen im Wortausdruck, welche durch diese Verwandlungen bedingt sind. In diesem Falle kann einer der vier Punkte, z. B. A^, aus den drei übrigen mittelst dreier Zahlen X, ^, v durch die Gleichung abgeleitet werden : (X + /A+l/)-ä4 = Xila + M4a + l/4, (10). Nun folgt aus (9) ^i«S.+Ss + Sf4-2/Sr, (11), nebst 3 anderen Gleichungen, welche hieraus durch circuläre Vertauschung aller vier Indices folgen. Setzt man die Werthe (11) in (10) ein, so folgt: (X+/* + i')S4 = A^i + A*Ä, + i'/Sr, (12). Aus (10) und (12) sieht man, dass die Vierecke A^A^A^^ und SjSJäJä^ (" Schwerpunktviereck ") einander ähnlich sind. Sei 8 der Schnittpunkt der Diagonalen des Schwerpunkt- vierecks. Dann ist nach (12) (X + i/)S = XSi + i/i?i = (X + /A + i/)S4-A*Ä« (13). Denn nach diesen Gleichungen ist S derjenige Punkt, welcher gleichzeitig aus Si, S^, und aus S^, S^ abgeleitet werden kann, à. h. der Schnittpunkt der Geraden SiS^ und S^^. 334 v. SCHLEGEL. Sei femer Ä der Schnittpunkt der Diagonalen des gegebenen Vierecks. Dann ist nach (10) (X + l/)4=>jli + l/il, = (X+/*+I/)44-/Ai4a (14). Addirt man die Gleichungen (13) und (14) und dividirt durch 2, so erkennt man, dass die Mittelpunkte folgender Strecken auf je einer Geraden liegen: (1) ÄS, AA> -^Ä, (2) ÄS, -4Ä, ^Ä. 6. Bestimmen wir endlich auf den Diagonalen des Vierecks ÄiÄ^Ä^Ä^ die Punkte Ä^ und Äjs durch die Bedingungen ÄÄ^^^Ä^u ui^d ÄÄi=^Ä^ii, oder, anders ausgedrückt: Verbinden wir femer (1) il^ mit Äi und J.„ (2) il« mît -4, und Ä^, (3) -4.13 Diit ilj«, so entstehen die Dreiecke ÄiÄ^^^ Ä^Ä^Än, ÄÄifÄ^. Multiplicirt man nun (13) mit 3 und ersetzt Si, S^, S^, S4 durch die Werthe (1), so folgt 3(\+i/)âf = (X + i/)(^ + ^) + Xil3 + i/iij (16). Andrerseits folgt aus (15): (X + i/)ilu + (X + i/)il=(X+i/)^i + (X + i/)ii3...(l7). und, wenn man hiervon (14) subtrahirt : (X + i/)ili3 = i'^ + X4, (18). Setzt man endlich die rechte Seite dieser Gleichung in (16) ein« so erhält man nach Weglassung des gemeinsamen Factors (X + f) : SS^Ä^'{-Ä, + Ä^ (19). d. h. : S ist der Schwerpunkt des Dreiecks Ä^i4^^, Femer folgt aus (15) durch Subtraction : Äi — Ä^ = Äi — Ä^ — ^3 + -d.13, oder ill + ils + 4« = ^8 + ^4 + -4i3 (20), d. h. : die Dreiecke Ä^Ä^^ und Ä^44^^ hohen densdben Schwer- punkt (S). Endlich folgt aus (15) : Ä + An ^ Äi + ^3, EINIGE SATZE VOM SCHWERPUNKT. 335 oder, indem man beiderseits A^ addirt : Ä + Äu + A^^ A^ + A^'{- Au (21), d. h. : aiich das Dreieck AA^^ ^ d^^ Schwerpunkt S, Man kann nun die letzten Resultate in dem Satze zusammen- fassen: Trägt man auf jeder Diagonale eines Vierecks (AiA^^4) den kleineren ihrer AhschmiUe von deni andern Endpunkte der Diagonale aus aby und verbindet jeden der beiden so erhaltenen Punkte A^, A^, mit dem anderen und mit den Endpunkten der anderen Diagonale, so entstehen (wenn A der Schnittpunkt der Diagonalen ist) die Dreiecke AA^^u* -^1^3-^241 A^tAw ÎTnd es ist der Schnittpunkt (S) der Diagonalen des Schwerpunktvierecks (S) der gemeinsame Schwerpunkt dieser drei Dreiecke. Ebenso erhält man aus den Gleichungen (15) durch Addition anderer Punkte das Resultat, da^s auch folgende Dreieckspaare jedesmal denselben Schwerpunkt haben: (1) AiA^^ und AA^^, (2) AiA^s und AA^^, (3) A^iA^ und AAiA^, (4) A^^^ vmd 7. Die in Nr. 1 — 4 enthaltenen Sätze über das Tetraeder und die Schwerpunkte seiner Seitenflächen stehen in genauer Analogie zu den Sätzen der ebenen Geometrie über das Dreieck und die Schwerpunkte (Mitten) seiner Seiten. Die hier angewandte Methode gestattet ohne jede Schwierigkeit auch die Ausdehnung der hier mitgetheilten Sätze auf die dem Dreieck und Tetraeder entsprechenden Gebilde der Räume mit mehr als drei Dimen- sionen. Insbesondere findet die oben erwähnte Übertragung der Sätze vom Tetraeder auf das ebene Viereck ein Analogon in der Übertragung der entsprechenden Sätze vom vierdimensionalen Fünfzell (Pentaëdroid) auf das Doppeltetraeder (12345) (Fig. 2) mit seinen sechs Seiten (123, 135, 152, 423, 435, 452) und vier Diagonalflächen (134, 124, 145, 235), welches aus dem Fünfzell entsteht, wenn eine Kante desselben (z. B. 12) mit der gegenüber- liegenden Fläche (345) in denselben dreidimensionalen Raum fallt. Und ebenso, wie das aus dem Tetraeder entstehende Viereck (1234) (Fig. 1) mit seinen 4 Seiten (12, 23, 34, 41) und zwei Diagonalen (13, 24) zwei verschiedene Formen erhalten kann (Summe oder Differenz der Dreiecke 132, 134), je nachdem es eine 836 y. SCHLBGEL. Ecke (4) oder keine giebt, die in dem von den anderen gebildeten Dreiecke liegt— ebenso kann auch das aus dem Fün&ell entstehende Doppeltetraeder (Hexaeder) zwei verschiedene Formen erhalten (Summe oder Differenz der Tetraeder 4235, 1235), j® nachdem es eine Ecke (1) oder keine giebt, die in dem von den anderen gebildeten Tetraeder liegt. (Vgl. hierzu meinen Aufeatz : " Über die verschiedenen Formen von Gruppen, welche r beliebige Punkte im n-dimensionalen Baume bilden können." Hoppes Archiv der MaOi. u, Phys. (2) x. p. 293.) ng.2. DER PYTHAGORÄISCHE LEHRSATZ IN MEHRDIMENSIONALEN RÄUMEN. VON V. SCHLEGEL in HAGEN I/W. 1. Ist AOB ein beliebiges Dreieck, so ist nach dem Gesetze über die geometrische Addition der Strecken: (J5-0) + (0-il) = (B-il), oder in abgekürzter Bezeichnung : 6 + a = (6 + a) (1). Setzt man femer nach den Methoden der Grassmann'schen Ausdehnangslehre a6co8(a6) = (a/6) (2), und (a/a) = a* = a- (3), wobei (a/b) das innere Product von a und 6, und Or das imiere Quadrat von a genannt wird, so folgt aus (1) durch Bildung des inneren Quadrates : (6 + ay = 6î + 2(a/6) + a? (4), als Ausdruck des allgemeinen pythagoräiachen Satzes. Ist 6 senkrecht zu a, so ist nach (2) (a/6) = (6). und Formel (4) stellt den gewöhnlichen pythagoräischeD Satz dar. 2. Gehen von einem Punkt drei begrenzte Strecken aus: O — A—a, O'-B^h, — C^c, welche drei Dreiecke bilden: OAB^ OBGy OCA, so sind die Flächen dieser Dreiecke resp. : «-i[H ß^-hica], 7 = Ka6] (6). Hierin bedeutet z. B. [&c] das äussere Product von 6 und c, und der numerische Werth desselben ist gegeben durch die Ausdrücke : + V[6cP = fccsin(6c) (7). c. P. 22 338 v. SCHLEGEL. Nun ist im Dreieck BOG, analog wie in ÄOB (Nr. ] ) : (£-0) + (0^C) = (B-(7) oder in abgekürzter Bezeichnung : 6 + c = (6 + c) (8X Durch äuBsere Multiplication der Gleichungen (1) und (8) ergiebt sich [a6] + [ac] + [6c] = [(6 + a)(6 + c)] (9). Denn es ist nach (7) + >/P? = 6*8in(66) = 0, also auch [66] = (10). Dividirt man (9) Glied für Glied durch 2, so folgt mit Rücksicht auf (6), daas die geometrische Summe dreier Flächen eines Tetraeders gleich der vierten Fläche ist. Schreibt man (9) in der Form : a + i8 + 7 = (« + i8 + 7) ("X so folgt hieraus durch Bildung des inneren Quadrates : (« + ^ + Y)î = «! + i8î + r' + 2(a/i8) + 2(i8/7) + 2(7/a)...(12), oder, wenn der Inhalt des Dreiecks ABC durch 8, und z. B. der Nebenwinkel des Neigungswinkels der Flächen a und ß mit (aß) bezeichnet wird : 8» = a>-h/SP + 7' + 2a/Scos(ai8) + 2/37COs(i87) + 27aco8(7a)...(13)» Diese Formel drückt den allgemeinen pythcLgoräischen Satz des dreidimensionalen Raumes aus. Stehen die Strecken a, b, c auf einander senkrecht, so geht (13) über in S« = a» + /8« + 7» und stellt in dieser Form den gewöhnlichen pythagoräischen Satz des Raumes dar. 3. Es seien nun im n-dimensionalen Räume n von einem Punkte ausgehende auf einander senkrechte Strecken gegeben. Zwischen je zwei Endpunkten derselben liegt eine Strecke, zwischen je dreien ein Dreieck, zwischen je vieren ein Tetraeder ; allgemein zwischen allen n Endpunkten ein Gebilde mit (n — 1) Aus- dehnungen und n Ecken [{n — l)'dehniges n-Eck], Dieses möge * Vgl. Orassmann Ärudehnungslehre n. 38S — 840. PYTHAGORÄISCHER LEHRSATZ. 339 das Hjrpotenusengebilde heissen. Femer begrenzen je (n — 1) senkrechte Strecken zusammen mit einem das Hypotenusengebilde begrenzenden (n — 2)-dehnigen {n — 1)-Eck ein neues (n — 1)- dehniges n-£ck. Diese letzteren Gebilde mögen Eathetengebilde heissen. Die n Eathetengebilde zusammen mit dem Hypotenusen- gebilde begrenzen ein n-dehniges rechteckiges (n + l)-£ck. Sind dann Oi, o,, ... On die (n — l)-dimensionalen Volumina der Eatheten- gebilde, und ist On+i das Volumen des Hypotenusengebildes, so erhält man durch ein Verfahren, welches dem in Nr. 2 befolgten analog ist, die Formel : an+i' = ai' + a,« + ...+an» (14), als Ausdruck iür den gewöhnlichen pythagoräiachen Satz des n-dimensionalen Raumes, Wenn Ci, c,, Cz,...Cn die auf einander senkrechten Eanten bedeuten, so ist z. B. der Inhalt desjenigen Eathetengebildes, welches die Strecke c» nicht enthält: "»= (»-!)! <^^>' und demnach die Summe der Quadrate sämmtlicher Eatheten- gebilde 4. Um die Oberfläche eines rechteckigen Tetraeders in der Ebene abzubilden, denke man sich jede der drei Kathetenflächen um ihre mit der Hypotenusenfläche gemeinsame Kante nach aussen bis in die Ebene des Hypotenusen-Dreiecks gedreht. Dann erhält man eine Abbildung (Fig. 1), in welcher alle Kanten und Flächen in unveränderter Grösse erscheinen, die also als "Netz" im gewöhnlichen Sinne bezeichnet werden kann. In analoger Weise kann man sich die vier Kathetenkörper eines rechteckigen Fünfzells um ihre mit dem Hypotenusenkörper geraeinsame Ebene bis in den Raum dieses Körpers gedreht denken« Dann erhält man eine dreidimensionale Abbildung (auf die Ebene projicirt in Fig. 2) in welcher ebenfalls alle Kanten, Flächen und Körper in unveränderter Grösse und Gestalt erscheinen, die also als "Zellgewebe" des rechteckigen Füofzells bezeichnet werden 22—2 340 y. 8CHLB6EL. kann *. Über jeder Flache des Hypotenusen-Tetraeders A lA^A ^A^ erhebt sich ein bei il, rechteckiges Tetraeder. Der Unterschied dieser Abbildung von der gewöhnlichen (Fig. 3) besteht nur darin, dass die vier rechteckigen Tetraeder in der letzteren nach innen projicirt, statt unverändert nach aussen aufgesetzt sind, und die Ecke A^ gemeinsam haben. Sind je zwei Gegenkanten des Tetraeders AiA^^A^ einander gleich, so geht die Abbildung Fig. 2 in eine rechteckige Säule (Parallelepipedon) mit ein- beschriebenem Tetraeder über (Fig. 4), und, wenn dieses Tetraeder regelmässig ist, in einen Würfel Sind Xy y, z drei anstossende Kanten der rechteckigen Säule, so geht die pythagoräische Formel des rechteckigen Fünfzells über in die Identität *(f)'-(^'-*-l7- A » A y ! A. \ß A. * Vgl. Sohlegel, "Theorie der homogen zosanmiengesetzten Baamgebllde,*' Nova Acta d. Kaie, Leop, Carol, Acad, Vol. xliv. Nr. 4, p. 438 u. 489. GRUPPENTHEORIE UND KRYSTALLOGRAPHIE. VON A. SCHOEN FLIES in GÖTTINGEN. Die neueren mathematischen Untersuchungen im Gebiet der krystallographischen Structurtheorieen stehen im wesentlichen unter dem EinÜuss gruppentheoretischer Begriffsbildungen. Die wachsende Bedeutung, die der Gruppenbegriff im Verlauf der letzten Decennien in der reinen Mathematik erlangt hat, ist sowohl auf die Fassung, als auch auf die Behandlung der ein- schlägigen Probleme von besonderem Vorteil gewesen. Wir wollen unter einer euklidischen Raumtransformation eine solche verstehen, die jeden Raumteil in einen ihm oongruenten oder in einen spiegelbildlich gleichen Raumteil überführt. Als- dann umfasst die Theorie der Gruppen von euklidischen Trans- formationen des Strahlenbündels die Lehre von der Systematik der Krystalie, während die Theorie der euklidischen Transforma- tionsgruppen des Raumes mit den geometrischen Theorieen über die Structur der Krystallsubstanz geradezu identisch ist Das oberste Grundgesetz der krystallisirten Materie ist bekanntlich das Symmetriegesetz. Bestimmt man zu einer beliebigen Richtung g, die von einem Punkte ausgeht, die mit g physikalisch gleichwertigen Richtungen ^i, ^gr,..., so ist die Lage dieser N von auslaufenden Richtungen stets durch bestimmte Symmetrieeigenschafben ausgezeichnet Diese Symmetrieeigen- schaften sind davon unabhängig, wie die Richtung g innerhalb der Krystallmasse angenommen wird, sie erhalten sich überdies während der wechselnden physikalischen Zustände, in denen sich der Krystall befinden kann. Diese Thatsache bildet den Inhalt des Symmetriegesetzes ; es zeigt, dass die Symmetrieeigenschaften der N Richtungen eine bleibende Eigenschaft des Ejrystalles bilden, die man seinen Symmetriecharacter zu nennen pflegt. 342 A« SCHOENFLIES. Die Systematik der Kryataüe bezweckt ihre Einteilung nach dem Symmetriecharacter. Sie läuft daher auf die geometrische Aufgabe hinaus, alle Verbindungen von Symmetrieelementen anzugeben, die einen Punkt fest lassen, und dies ist gruppen- theoretisch identisch mit dem Problem, alle endlichen und discontinuirlichen Gruppen von euklidischen Transformationen des Strahlenbündels iu sich abzuleiten. Die erste Lösung dieser Aufgabe verdankt man bekanntlich dem Marburger Mineralogen C. F. Hessel; er war deijenige, der in der Aufzählung aller Symmetriearten ein geometrisches Problem erkannte, und die Notwendigkeit begriff, es deductiv mathematisch zu behandeln (1830). Die Zahl dieser Sjonmetriegruppen ist bekanntlich unbegrenzt gross; die 82 Krystallclassen stellen diejenigen von ihnen dar — wii* werden sie in der Folge mit G bezeichnen — , deren Symmetrieaxen zwei- drei- vier- oder sechszählig sind. Die Beschränkung auf derartige Axen ist eine Folge des Gesetzes der rationalen Indices', die deductive Ableitung aller möglichen Krystallclassen beruht daher auf zwei empirisch gewonnenen Gesetzen, auf dem Symmetriegesetz und dem Gesetz der rationalen Indices. Es bedarf kaum der Erwähnung, dass in Hesse T s Arbeiten gruppentheoretische Vorstellungen noch nicht zu finden sind ; sie waren ihm, sowie seinen deutschen Zeitgenossen, noch unbekannt. Man wird nicht fehl gehen, wenn man in der Unbekanntschaft mit den gruppentheoretischen Begriffen den inneren Grund dafür erblickt, dass ein so wertvolle» Resultat, wie dasjenige Hessel 's, Jahrzehnte hindurch unbeachtet bleiben konnte, und dies scheint um so mehr zutreffend zu sein, als selbst die späteren Darstel- lungen der Erystallsystematik von Bravais (1849) und Gadolin (1867) nicht sofort zu der Verbreitung gelangt sind, die ihnen der Sache nach zukam. Das weitere Interesse an der deductiven Behandlung des Symmetrieproblems ist erst ziemlich Äeuen Datums; es hat sich erst entwickelt, nachdem die neueren Ableitungen von Fedorow, P. Curie und Minnigerode er- schienen waren, von denen jedenfalls die beiden letzten unter der Herrschaft des Gruppenbegriffs entstanden sind. Erheblicher ist der Anteil, den die grupp^ntheoretiscben Ideen an der Ausgestaltung der Structurtheorieen fiir sich in Anspruch nehmen dürfen. Die ersten Vorstellungen über die GRUPPENTHEORIE UND KRYSTALLOGRAPHIE, 343 Structur der Ejystallsubstanz sind bekanntlich auf französischem Boden erwachsen. Sie gehen von der fundamentalen Hypothese aus, dass die molekulare Eigenart der Ejystalle in der regel- mässigen Anordnung der Krystallbausteine ihren Ausdruck findet. Diese Vorstellung ist, seitdem ihr der Abbë René Just Hatty zuerst Ausdruck gegeben (1781), ununterbrochen in Geltung geblieben; fast alle Autoren^ die versucht haben, sich über die Constitution der Krystallsubstanz eine bestimmte Ansicht zu bilden, gehen von ihr aus. Auf mathematischer Seite haben sich schon Cauchy (1828) und Poisson (1839) mit der Dynamik regelmässiger Punktsysteme beschäftigt. Diejenige Wendung, durch welche die genannte Hypothese das Recht erhielt, die Bedeutung einer Theorie zu beanspruchen, trat durch Bravais (1850) ein. Zwar hatten bereits Delafosse und Poisson die Haüy'schen Vorstellungen in präciserer Form durch die raumgitterartige Anordnung der Krystallbausteine ersetzt; aber erst Bravais hat dieser Anschauung ihre theore- tische Berechtigung gesichert. Er war es, der den Nachweis erbrachte, dass die Raumgitterstrncturen gerade durch di^enigen Symmetrieverhältnisse ausgezeichnet sind, die sich bei den Krystallen vorfinden, und dass sich fUr jede der 32 Krystallclassen Structuren angeben lassen, deren Symmetrie mit der Symmetrie der bezüglichen Krystallclasse übereinstimmt. Es verdient ferner hervorgehoben zu werden, dass seine Theorie auch insofern consequent und einheitlich aufgebaut war, als er die Structur für jede der 32 Krystallclassen in gleicher Weise herzustellen vermochte. In Deutschland scheint das Interesse fUr moleculare Specula- tionen in der ersten Hälfte des Jahrhunderts nicht besonders gross gewesen zu sein, wahrscheinlich in Folge einer weit verbreiteten Abneigung gegen atomistische Vorstellungen, wie sie durch die damals herrschenden philosophischen Schulmeinungen bedingt wurde. So ist die Abhandlung von Seeber (1824), der eben&lls schon mit der Raumgitterstructur operirte, fast ohne jede BeachtuDg geblieben. Erst in den letzten Jahrzehnten ist hierin ein Wandel eingetreten ; auf ihn ist auch die Neubelebung des Interesses für die Fragen der Krystallstructur zurückzu- führen. Überall ist das Bestreben io den Vordergrund getreten, "das Innere der Natur" zu erfassen, die dynamischen Vorgänge, 844 A. SCH0ENFLIE8. die auf dem Spiel der molekularen Wechselwirkungen beruhen, selbst der Rechnung zu unterwerfen, und auf diese Weise in d^* Befriedigung unseres Wissensdranges einen weiteren Schritt vorwärts zu thun. Der Wunsch, aus der Qualität und der Lagerung der Krystallbausteine die allgemeinen Gesetze der homogenen Krystallsubstanz ableiten zu können, hängt hiermit aufs engste zusammen. Ob die Erscheinungen in der uns umgebenden Körperwelt auf denjenigen molekularen Vorgängen beruhen, die wir fUr sie postuliren, ist freilich eine andere Frage, die gleich vielen anderen, die die sogenannte '' Uebereinstimmung unserer Erkenntniss mit der Wirklichkeit " betrefien, eine Beant- wortung vielleicht niemals finden wird. Aber wie man auch hierüber denken mag, ob mehr oder weniger skeptisch, man wird einer Theorie die Anerkennung nicht versagen können, in der die beiden empirischen Grundgesetze der Ejrystallsubstanz, nämlich das Symmetriegesetz, sowie die Beschränkung auf zwei« drei- vier- und sechszählige Symmetrieaxen, als unmittelbare und directe Consequenzen von principieller Wichtigkeit erscheinen Der Fortschritt der Wissenschaft hat bekanntlich gezeigt, dass die Bravais'sche Theorie nicht die einzig mögliche ist. Die Anregung hierzu ist von Wiener (1863) und Sohncke (1867) ausgegangen ; beide wiesen unabhängig von einander darauf hin, dass bei den Bravais'schen Structuren alle Molekeln parallele Orientirung im Räume haben, während regelmässige Anordnung von Molekeln im Raum auch ohne parallele Orientirung möglich ist. Hiermit war der Anstoss gegeben, über die Bravai s'sche Theorie hinauszugehen und zu Fragestellungen von allgemeinerer Tragweite fortzuschreiten. Die einschlägigen Probleme sind durch die Arbeiten von Sohncke und Fedorow, sowie durch diejenigen des Verfassers, jetzt soweit geklärt worden, dass man, wenigstens in geometrischer Hinsicht, von einem Abschluss der Untersu- chungen reden kann. Folgende Fragen sind es, die hier im Vordergrund des Interesses stehen. (1) Welches ist der allgemeinste Begriff einer regelmässigen Verteilung von Materie im Räume, resp. eines regelmässigen Molekelsystems ? (2) Wieviele verschiedene derartige regelmässige Molekel- s}rsteme giebt es? GRUPPENTHBÜRIE UND KRYSTALLOGRAPHIE. 345 (3) Worin drückt sich der Symmetriecharacter eines solchen Systems aus, und welches ist die Symmetrie der einzelnen Systeme ? (4) Welche Structurauffassungen sind auf Grund dieser Systeme möglich und welche Qualität wird bei jeder Structur- auffassung den constituirenden Bausteinen notwendig beigelegt ? Die Regelmässigkeit des Molekelsystems ist von allen Autoren dahin definirt worden, dass alle Molekeln von gleicher Art sind, und dass jede von ihnen von den benachbarten Molekeln auf gleiche Weise umgeben ist. Der eigentliche Inhalt dieser Definition ist aber nicht immer gleichartig gefasst worden. Vom Standpunkte der Qruppentheorie lassen sich die Unter- schiede folgendermassen kennzeichnen. Ist S ein regelmässiges Molekelsystem und M eine seiner Molekeln, so lässt sich die Liage aller übrigen Molekeln aus M dadurch ableiten, dass man M der Reihe nach den sämnitlichen Transformationen A, B, (7... einer Schaar 6 unterwirft. Ist diese Schaar eine Gnippe von Transla- tionen, so erhalten wir die Systeme von Bravais, in denen die Molekeln congruent und parallel orientirt sind; ist sie eine allgemeine Bewegungsgruppe, so ergeben sich die Sohncke'schen Systeme, in denen alle Molekeln einander congruent, aber nicht mehr parallel orientirt sind ; ist sie endlich eine Gruppe, die beide Arten euklidischer Transformationen enthält, so ergeben sich die allgemeinsten regelmcLssigen Molekelsysteme, in denen die Molekeln theils congruent, theils spiegelbildlich gleich sind. Auf die Notwendigkeit, diese Systeme in die Structurtheorieen mit- aufzunehmen, ist zuerst von Curie (1884) und Fedorow (1885) hingewiesen worden. Die Zahl der so definirten regelmässigen Molekelsysteme beträgt im Ganzen 230. Füi* jedes System 2 giebt es eine Gruppe von euklidischen Raumtransformationen, die die Eigen- schaft hat, dass das System S bei jeder Transformation dieser Gruppe in sich übergeht. Jedem Molekelsystem ist auf diese Weise eine Gruppe T zugeordnet, die aus seinen sämmtlichen Deckoperationen besteht ; in ihnen, resp. in der Gruppe F kommt die Symmetrie des Systems S zum Ausdruck. Hier hat sich nun das wichtige Resultat ergeben — es bildet die Hauptstütze der Structurtheorieen — dass jede der 230 Gruppen F einer der 32 Gruppen G von Symmetrieen isomorph ist, die den 32 Krystall- 346 A. SCH0ENFLIE8. Classen entsprecheiL Die sämmtlichen 230 regelmässigen Molekel- systeme zerfallen also rücksichtlich der Symmetrie in die namlich^i 32 Klassen, zu denen die vom Symmetriegesetz und vom Gesetz der rationalen Indices ausgehende Deduction hinführt; die beiden empirisch gewonnenen Grundgesetze der krystallisirten Materie erscheinen also wirklich als directe Folgerungen der molekularen Hypothese. Es erübrigt noch, auf die vierte der oben angeworfenen Fragen einzugehen. Die Antwort lautet, dass es eine ganze Reihe verschiedener Structurauffassungen giebt, die unter einander geometrisch gleichwertig sind, und zwar ist dies so zu verstehen, dass es bei jeder derartigen Structurauffassung gelingt, für die Krystalle Molekelsysteme zu construiren, die die nämliche Sym- metrie aufweisen, wie der bezügliche Krystall selbst, genau so, wie es oben von der Bravais'schen Theorie angegeben wurde. Es fragt sich, in welchen mathematischen Thatsachen dies begründet ist, und welches die bezüglichen Structurauffassungen sind. Hierüber ist, wie der Verfasser ermittelt hat (1891), folgendes zu bemerken. Die Art der Deckoperationen, die ein Molekelsystem gestattet, hängt augenscheinlich von zwei Factoren ab, nämlich von der räumlichen Anordnung der Molekeln und von ihrer Qualität. Sind die Molekeln unregelmässig geformt, und frei von Sym- metrie, so kann es keine eigentliche Deckoperation des Molekel- systems 2 geben, die eine Molekel in sich überführt ; bei jeder Deckoperation des Systems muss die Molekel M notwendig in eine andere Molekel Jf' übergehen. In diesem Fall umfasst die oben erwähnte Schaar Ö, durch deren Transformationen A,B,G.,. aus Jf die übrigen Molekeln Ma, Mi^, Mc.,, hervorgehen, auch die sämmtlichen Deckoperationen von S, sie ist gleichzeitig diejenige Gruppe, die wir vorher mit F bezeichnet habeo. Für die so skizzirte Structurauffassung kommt die Molekel fiir die Symmetrie des Systems nicht in Betracht, die Symmetrie beruht vielmehr ausschliesslich auf der Anordnung der individuellen Bausteine; ich habe daher für diese Structurauffassung die Bezeichnung "reine Structurtheorie" angewendet. Die Identität von G und P ist keineswegs jeder Structurauf- fassung eigentümlich ; vielmehr unterscheiden sich die verschie- denen Structuren gerade durch das Verhältniss, in dem bei ihnen GRUPPENTHBOME UND KRY8TALL0GRAPHIE. 347 die Schaar und die Gruppe F zu einander stehen. Wird das eine Extrem durch die Identität von O und F, resp. durch die reine Structurtheorie dargestellt, so liegt in der Bravais'schen Theorie das andere Extrem vor. Bei der Bravais'schen Theorie besteht die Schaar nur aus Translationen, sie ist die in F enthaltene Translationsgruppe T. Ist nun K irgend ein Krystall, und diejenige der 32 Gruppen, die seine Symmetrie kenn- zeichnet, so entspricht bei der isomorphen Zuordnung der Grup- pen und F die Translationsgruppe von F der Identität von 0\ jeder anderen Operation von 0, d. h. jeder eigentlichen Symmetrieeigenschaft des Rrystalles, muss daher notwendig eine solche Deckoperation des Molekelsystems X entsprechen, die eine Molekel in sich überführt. Die Brava is'sche Construction des Molekelsystems erfordert demnach, dass die Symmetrie der Molekel mit der Symmetrie des bezüglichen Krystalles voll- ständig übereinstimmt, wie dies ja seiner Theorie in der That eigentümlich ist. Soll es möglich sein, zwischen die reine Structurtheorie und die Bravais'sche Theorie noch eine Reihe anderer Structurauf- fassungen einzuordnen, so muss es augenscheinlich darauf beruhen, dass man Molekeln benutzt, die nur einen Theil der Symmetrie des Krystalles besitzen. Dies ist in der That der Fall. Alle übrigen Stnicturen kommen dadurch zu Stande, dass man die Gesammtsymmetrie des Krystalles in zwei Theile zerlegt, von denen der eine der Molekel aufgeprägt wird, während sich der andere in der Anordnung, d. h. in der Art des Aufbaues, darstellt. Gruppentheoretisch erklärt sich dies folgendermassen. Es sei wieder diejenige der 32 Gruppen, welche die Symmetrie des Krystalles K darstellt, femer sei F eine ihr isomorphe Gruppe und X wiederum das zugehörige Molekelsystem. Ist jetzt G' eine Untergruppe von 0, so lässt sich die Gruppe stets dadurch erzeugen, dass man die Gruppe G' mit gewissen Operationen A, B, (7... multiplicirt, die natürlich eine in G enthaltene Schaar G" bilden werden. Es giebt nun eine grosse Reihe von Gruppen F, die ein durchaus analoges Verhalten zeigen. Sie lassen sich dadurch erzeugen, dass man die Gruppe ö' mit einer Schaar von Operationen A, B, C... multiplicirt, und dies trifit stets und nur dann zu, wenn F die Gruppe G' als Untergruppe enthält Um das Molekelsystem £ abzuleiten, das 348 A. SCHOENFLIES. der Gruppe F entspricht, kann man daher auch so ver&hren, dass man eine Molekel, deren Symmetrie durch 0' gekennzeichnet ist, den sämmtlichen Operationen A, By C... der Schaar V unter- wirft. Wir haben alsdann eine Structurauffassung, bei der die Symmetrie der Systems teilweise auf der Symmetrie der Molekeln, und teilweise auf ihrer Anordnung beruht. An und fUr sich ist — wenigstens in geometrischer Hinsicht — jede der hiermit angedeuteten molekularen Erzeugungsweisen der Krystallsubstanz gleichberechtigt; man kann daher die Sym- metrie eines Molekelsystems, das einen gegebenen Kryntall darstellen soll, in mannigfacher Weise begilinden. Jeder Zwei- teilung der Krystallsymmetrie in G' und O" entspricht eine andere Structurauffassung. Historisch liegt allerdings die Sache so, dass nur zwei solche Teilungen zur consequenten Ausgestalt- ung von Structurvorstellungen benutzt worden siud. Für die eine, nämlich die Bravais'sche, ist die Untergruppe G' direct die Gruppe G, während sich für die andere, nämlich für die reine Structui-theorie, G' auf die Identität reducirt. Der Kunstgriff, den Bravais benutzte, läuft darauf hinaus, den Molekeln dieselbe Symmetrie beizulegen, die der Krystall besitzt. Er stattet die kleinsten Theilchen genau mit denjenigen Eigenschaften aus, deren Vorkommen erklärt werden soll ; ein Verfahren, das häufig befolgt wird, um die physikalischen Er- scheinungen unserm Verständniss näher zu bringen, und oftmals den ersten Versuch in dieser Richtung darstellt. Dem gegenüber bedeutet der Grundgedanke der reinen Structurtheorie, indem er die Forderung stellt, für die Erklärung der Symmetrie die Anordnung der Molekeln allein in's Auge zu fassen, in erster Linie einen theoretischen Fortschritt. Er schliesst aber auch insofern einen practischen Fortschritt ein, als er die Molekel weder nach Form noch Wirkungsweise einer positiven Bestim- mung unterwirft, und es daher ermöglicht, dass sie stets so specialisirt werden kann, wie es die physikalischen und chemischen Eigenschaften der Krystallsubstanz erfordern. Die Krystallogra- phen halten allerdings fast sämmtlich noch an der Bravais'schen Theorie fest; im besondern habe ich zu bemerken, dass auch Fedorow in letzter Zeit im wesentlichen wieder zu den Vor- stellungen Haüy's und Bravais' zurückgekehrt ist. Man kaun es begreiflich finden, dass die Krystallographen einer Theorie ORÜPPENTHEORIE UND KRY8TALLOORAPHIE. 349 treu bleiben, die auf alle Fälle den Vorzug grösserer Einfi&chheit und Anschaulichkeit besitzt; es ist aber ungerechtfertigt, die allgemeineren Structuren, in denen die Molekeln schraubenförmig gelagert sind, einfach deshalb abzulehnen, weil man sie für "unnatürlich" hält; "unnattlrlich" in diesem Sinn bedeutet doch nur, dass etwas über die bisherigen Vorstellungen hinausgeht. Ebensowenig ist es gegründet, wenn Fedorow, wie dies kürzlich geschehen, die Behauptung aufstellt, die Krystallmolekeln müssen den Raum deshalb in paralleler Lage erftlllen, weil sonst die Gmndeigenschaft eines jeden Krystalles — nämlich die Gleichheit längs paralleler Richtungen — ^ihren "inneren Sinn" verlieren würde. Die Entscheidung über die Frage, ob die allgemeinen Structuren eine physikalische Berechtigung beanspruchen können, liegt vielmehr auf einem anderen Gebiet. Sie hängt einzig und allein davon ab, ob sich die molekulare Wirkungsweise der allgemeinen Structuren mit den sonstigen Gesetzen der Materie in Ueberein- stimmung befindet, resp. ob es möglich ist, die physikalischen Eigenschafben der Krystallsubstanz als notwendige, d i als mathematische (Konsequenzen der molekularen Structur zu begreifen. Hierüber sind wir fireilich noch ohne Kenntnisse, es int aber andrerseits zu bemerken, dass diese Frage auch fUr die Gittertheorie noch keineswegs ausreichend beantwortet ist ; man ist bislang über wenige Ansätze nicht herausgekommen. In dieser Richtung würden sich die weiteren Untersuchungen im Gebiet der Structurtheorieen bewegen müssen. GÖTTINQEN, im Juli 1893. FORMULARY FOR AN INTRODUCTION TO ELLIPTIC FUNCTIONS. BY IRVING STRINGHAM of BERKELEY. 1. Recent Tendencies, In recent years there has arisen a measure of uncertainty con- cerning the most acceptable standard notation in the theoiy of elliptic functions. The far-reaching investigations of Weierstrass, so fill! of interesting and important results, have rightfully held the attention of mathematicians, and at present they tend to keep the earlier methods of Jacobi and Abel somewhat in the background. Whether or not it would be advantageous to mathematical science that this tendency should develop into permanent practice is an open question. Says the late M. Halphen, in his justly celebrated work on Elliptic Functions (Vol. I. p. 23), concerning the Jacobian formulae : "Toutes ces formules, intéressantes par elles-mêmes, seront utiles aux personnes désireuses de lire les anciens ouvrages, et notamment les Œuvres de Jacobi. Mais nous ne nous en servirons jamais, et, pour la seul étude de ce livre, il est inutile de chercher à les retenir. Il est aussi superflu d'examiner longue- ment les propriétés que nous venons de reconnaître aux fonctions sn u, en a, dn u. Ces éléments vont désormais être relégués au second plan, et faire place à un élément nouveau, la fonction pu, introduite par M. Weierstrass." Further on in the same volume (pp. 208, 239) he makes a similar remark concerning the comparative usefulness of the ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 351 sigma-fuDctions and the theta-functions, both in respect to the theory and its applications, relegating the theta-functions to a merely subordinate place. Against this view Scheibner urges the following consider- ations {Mathematische Annalen, Vol. xxxiv. pp. 542, 543) : "...Sei mir die Bemerkung gestattet, dass wenn es sich um Zurückiiihrung eines elliptischen Integrals auf Thetafiinctionen zum Behufe der praktischen Anwendung handelt, der Durchgang durch die Sigmafunctionen bei dem B^ductionsgeschäfbe meines Erachtens keine wesentliche Abkürzung gewährt. Es liegt auf der Hand, da beide Functionen sich nur um einfache Elxponential- factoren unterscheiden, dass die analytische Rechnung ebensowohl mit den einen wie mit den anderen gefUhrt werden kann: dennoch wird man als das directere Verfahren dasjenige zu bezeichnen haben, welches die Functionen, deren man sich flir die numerische Auswerthung am Schlüsse der Rechoung zu bedienen genöthigt ist, im ganzen Verlaufe derselben beibehält." *' Es ist ja an sich leicht erklärlich, dass das Studium der Sigmafunctionen, deren Einfuhrung in die Analysis durch Herrn Weierstrass in so vielen Beziehungen sich als wichtig und fruchtbar erwiesen, seit das.selbe den Mathematikern in grösseren Kreissen zugänglich geworden und ihr Interesse in Anspruch genommen hat, eine Zeitlang auf Kosten der länger bekannten Jacobi-Abel'schen Thetafunctionen in den Vordergrund getreten ist. Im umgekehrten Falle würde es sich vermuthlich gerade umgekehrt verhalten haben, während wir doch froh sein dürfen, dass für die Erfordernisse der Theorie, wie der Praxis, dem Mathematiker nach doppelter Richtung so interessante Functionen zu Gebote stehen." A plea similar to this, on behalf of the Jacobian sine, cosine, and delta-functions, is perhaps equally appropriate. No question is raised against the importance of the p-function, but has it been demonstrated that its introduction renders the Jacobian functions henceforth useless for the purposes of study and application ? Perhaps it is yet too early to indulge in prophecy concerning the eventual outcome of this friendly controversy, and the final adoption or rejection of the Jacobi-Abelian formulary, if I may so name it, as a part of the permanent basis of our theory. I take, 352 IRVING 8TRINGHAM. for the moment, this conservative view, and offer the following brief study as a contribution to the question. It concerns primarily the choice of method in the reduction of the elliptic integral of the first kind to a normal form and the adoption of a corresponding suitable functional notation. And, in respect to methods and means offered, it has reference rather to the teacher than the investigator. The latter may be supposed to exercise au independent choice in such matters. 2. Retrospect. The earlier history of this part of our subject has been rehearsed so often, is now so familiar to the mathematician and is so easily within the reach of the student in such works as Enneper's Elliptische Functionen, that I deem it unnecessaiy to present here a detailed historical account. It is, however, important to observe, that, chiefly through the labours and discoveries of Euler, Lagrange, Legendre, Jacobi and Abel, the theory of elliptic functions had assumed a measurably complete and systematic form before the discovery of invariants, with which it is now found to be so closely related. By reason of this accident of chronological order of discovery, the older transfor- mation-theory by necessity got on without the aid of the principle of invariance and convariance and became, in this truncated form, permanently current in mathematical literature. To this fact ia obviously due the tardy and sparing use, almost up to the present time, of the principle of invariance in the theory of elliptic functions. Even Cay ley himself uses with evident caution his own method and introduces it only in a subordinate and tentative fashion in his Treatise on Elliptic Functiona The first application of the principle of invariance to the transformation of the elliptic integral is contained (I think) in Cayley's paper entitled : "On the reduction of du/iJUy when 17 is a Function of the fourth order/' in the Cambridge and Dublin Mathematical Joumai, Vol. i. (1846), pp. 70-73, published very shortly after* Boole's discovery of the invariant character I have not the means at hand for giving the date in this case. ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 353 of the discriminant, which dates the beginning of the theory of invariants. In this paper the elliptic differential dvl»Ja + 46V + 6ct;» + 4dt;» + w* is reduced to the so-called normal form of Legendre dxl^(\ -a:»)(l-A»^); but \yith the usual restriction, that the modulus shall be real, omitted. Subsequently (in 1854?) M. Hermite called Cay ley's attention to the beautiful and now well-known quartic trans- formation, thi*ough which, by means of the identical relation connecting the covariants of the quartic, Hermite's normal form is produced. This transformation was published in full in Grelle, Vol. LV. (1858) pp. 23-24 (by Cayley). Notwithstanding the early appearance of these two important transformations, they are still rarely found in text-books on elliptic functions. (The former appears in Cayley's text-book, the latter in Weber's.) 3. Notation. For the production of the various standard elliptic integrals of the first kind I employ here, throughout, Cayley's linear trans- formation-theory, and the modulus, when it appears in the result, may have any one of the six values obtained as the solution of an auxiliary reciprocal equation of the sixth degree, the character of whose roots is determined by the invariants of the original quartic The form of the linear transformation, in the first instance, is n\ \, + fi^v' Ts^-hfiv^ * * The qnartio is suppowd to be originaUy in the homogeneooB form whieh rednoes to Vx* by the substitntion v=ylx. The linear transformation for the homogeneous form ia x^X^x* + ft^y't y =\xf + AS^'* "^^ ^® sabstitation f/=y'lx* brings nsbaek to the form F'. [See the paper On the JaeofAan BlUptie ^itcttofu, Section 3, AnnaU of MathefnoHcty vol. 8, p. 106.] c. P. 23 354 IBVINO STRINOHAM. wherein X a> X^X,, /t s /i,//«,, g s X|//i„ and this is followed bj such subsidiaiy displacement of the new variable v" as maj be found desirable. The following further notations are employed. (2) Fso + 46t> + 6co» + 4dt;» + «;«, (8) F' = a' + 4oV + 6cV» + 4t)X» + c/»X», (11) a = o+26(X+/*)+c(X«+M*+4V)+2*, (12) D = a + 6 (X + 3m) + 3c (X + At) /* +d(3X+/*) M*+«V*. (13) Jf=o + 46/*+6c/i*' + 4d/*' + e/t«, /iA\ ^_ -og-«-(c-2oi>)' <^*> ^= d.-e(c + a,;) • (15) ^^ ^-a(c-fa. ) wherein i' is a root of (16) 4aV-flr,ai;-5r, = 0. 4. Cl(i88ification, In the reduction of the elliptic differential dvj^V, (2) r=a + 4iw + 6ct;»+4dt;» + öv* to a standard, or normal form dv'I^V, and the subsequent definition of an elliptic function that shall satisfy the differential equation (dv\ (") (S-)'-"'- ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 355 the coefficients of V are determined by assumptions concerning the nature of the roots of the transformed quartic F'=bO. By a suitable transformation, in general a linear transformation of the form r = (X, + /a,ü')/(Xj + ihV\ we may propose to cause two of the coefficients of the quai*tic to disappear, and accordingly to in- vestigate the question : What pairs of coefficients should be made to disappear, in order that the subsequent theory may rest upon the most advantageous basis ? In the transformed quartic, which we write in the form o! + 46 V + 6c't^ + 4d V> + c't;'* and denote by F', there are ten pairs of coefficients, namely: (i) h\ d\ (Ü) a', e', (iii) e\ c and a, c\ (iv) h\ é and a\ d\ (v) c\ d and 6', c\ (vi) a', V and cf, e\ of which we may propose that any one pair shall vanish*. The vanishing of either of the pairs of the sixth group, however, would presuppose that two of the roots of the original quartic were equal, and both of these cases may therefore be at once excluded from the category of possible transformations of the general quartic. In each of the groups (iii), (iv), (v) the two alternative cases lead to the same transformation theory, and only one of them need be considered. There are thus five distinct linear transformations that may be adopted as leading to a standard, or normal form of elliptic integral. The several results of the transformations are as foUowa The details of the calculations are omitted. * This assumes that a linear transfonnation may be assigned that shall «aase any two points of the complex plane to assume any two new arbitrary positions aot coincident with one another. 23—2 356 IRVING STBINOHAM. 5. General Trans/ormatùyfis. T. The assumption that a' = d'^0 leads to Legendre's normal form and to what we may call the Cayley-Legendre Transformation-theory. The resulting differential equation is n ^^ ^ /Ar^+14itr'-H y da ^^^ ^V [ 12<78 / V(l+a^)(l+ifc-*^)' and A:* is a root of the equation (18) 108A«(ifc»-l)*5r,'«(A?* + A;» + l)»A. Or, if jfe - AT* = 41 V^^ and therefore Ä is a root of (20) y-Ä(a-l) = 0, which may be appropriately called Cayley's cubic resolvent These are the results given by Cayley in his original trans- formation. The relation between x and v is <21) ^^^A ^ j2^ j = (^ . X) . ^— . and (22) X = i ( V:^ + VjK^^ÏV^). (23) /i = i (\^ - slE^^y/F). II. The assumption that a =:e'==0 leads to Klein's normal form (Weber calls it Legendre's normal form, but in order to distinguish it from the preceding it is desirable to give it a distinctive name) and to what we may call the Cayley-Klein* transformation-theory. The resulting differential equation is ^""^ ^VK V2g, ) V^(^+ !)(/.-*+!)' and /c* is a root of the equation (24) («*- ^ + 1)»- iî/c*(ic«- 1)» = 0. * See Klein: Elliptische Functionen und Gleichungen fünften Qradeê, Mathe- matieche Anmalen, Bd. xiv. (1S79), p. 116. ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 357 Or, if /e — /«-* = Vö - 1, and therefore (25) /e = J (Vö^n: ± ^/öT3). Ö is a root of Cayley's cubic resolvent (20) ö»-i2(Ö-l) = 0. The relation between z and v is and X and /i are the two roots of the quartic equation F=0, corresponding to the roots and oo of -?(^ + l)(/e~^j8: + l)sB0 regarded as a quartic in z. It is well known (see Klein Lc.) that the six values of «*, obtained as the solution of the above sextic equation, are the six anharmonic ratios formed with the differences of the roots of the original quartic equation F=0. III. Either of the assumptions c' = c' = 0, or a ^c'^ 0, leads to Hermite's normal form and to the Cayley-Hermite linear transformation-theory. The resulting differential equation \a the relation between Ç and t; is and /lA is a root of the quartic equation F» 0, corresponding to the root 00 of 4Ç* —gtÇ—gs = 0, and X is a root of C? = 0. IV. For the purpose of reduction in case (iv) we may assume 6' = e' = 0. The resulting differential equation is r \ ^^ - 1 LV ^f Here and involves only the absolute invariant gt^lg* &Qd numerical coefficients. If /ia be a root of the quartic equation V==0, corres- 358 IRVING STRINOHAM. ponding to the root oo of f» + f - jr, = 0, and X a root of fi = 0, the relation between Ç and v is (28) f.0*-X)W%. = 2/).^". V. In the remaining case, assuming c' =^d' — we obtain dv^ dn and the relation (29) ^^-^Jf ^JZl, and X and /a satisfy the equations C = and D = 0. 6. Subsidiary Transformations. By performing the indicated transformations it may now be shown that the first four of these normal or standard forms of the elliptic differential are interchangeable with one another by means of the following series of very simple substitutions, ^V(3flr.)^ ^'^*' in which the variables x, z, Ç and Ç belong respectively to the forms designated (i), (ii), (iii), (iv). In like manner, the respective roots of Cay ley' s resolvent 0" — JK (Ö — 1) = 0, of the ordinary reducing cubic ^fÇ^—gtÇ— fft = 0, and of the cubic equation f + f — 5^, = 0, are connected with one another by the mutual relations <3i> ^'■^*=v(^)^'"V;S"-3^- We may thus readily pass from any one to any other of these four forms by means of predetermined substitutions, and we may propose to adopt any one of the four transformation-theories above outlined, or, if preferable, the Cay ley- Her mite quartic trans- formation, as an unique and fundamental basis of the theory, and ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 359 produce the other normal forms by the successive simpler and subsidiary transformations. Form (y) may be transformed into any one of the others by a substitution of the form 17 = (X + My)/(1 + y). The values of X and II and of the determinant (/i — X), in each of the four transformations, seem, however, to be quite complicated ; at least I have found in this case no relations comparable in simplicity with the others here given. 7. The Elliptic Functions. Discarding the fifth form, as at the present writing unfiruitful, or at least unpromising, we derive from the others four differential equations, (ii) (g)'=*(*+i)(*-'*+i). and through these we may define four corresponding elliptic functions, (32) ft-'"'''' r'""' to each of which, for obvious reasons, I assign a distinctive notation. It may also be convenient to introduce, as notations for the corresponding inverse functions, the symbolic forms mr'x, s-»^, p-*f, g-^f. In virtue of the relations between the variables a?, s, f and f , announced in section 6, these four functions are connected with one another by the like relations (33) 8u = 8n.»^, 2' <35) pu = iV^, {g (12y.)i« + i}. 360 IRVING STRIN6HAM. 8. Oenerai Addition Theoreni. As a basis for the addition theorem T am accustomed to prove Abel's theorem for the function x^^u defined by means of the differential equation (dx\* For this case it may be stated in the following terms : If^he defined as a fimction of u through the differential equation (37) ^^y = ao + a,^ + ...+aik<^M, and P + Qil>'u be any integral function of ^ and tf/u, then the complete cycle ofr values v^, thtt ti,, ... Ur that satisfy the equation (38) P + ö<^'w = satisfy simultaneously the relation (39) Ui + M, + w,+ ... + w^ = 0. The application is as follows. Let the equations defining ^ be (40) (^y = a + 46t; + 6ct;* + 4dt;» + éw*, The function ' 1 V 4/u I (41) 1 V, 4>% [ 1 V, 4/u, I is rational and integral in ^ti and ^'u, of the form (42) A+Bv+C'u, in which and the degree of ^'u is 4. Two of the roots of the quartic (44) (-4+fiv)»-(?(fw)» = ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 361 are Vi, v,. If Vi, v« be its other two roots, then arranging it with respect to the powers of v and expressing the sum of its roots and of the products of pairs of its roots in terms of the coefficients, we easily deduce (45) (*i^ji*3y =^e(vi* + Vt* + V," + Vi Va + VjV, + r,Vi) + 4d (vi + v, + v,) + 6c ; and by Abel's theorem Wl+lij + «8 + ^4=0. Again (46) vi vi» 0'm, Vj V \ is a rational integral function of <^u and ^\ of the form (47) Av'\'Bi^ + C% where C = t;it;,(v,-ri). Two of the roots of the quartic equation (49) 'ù'(A + Bvy^O (f u>» = are Vi, t;,. If v,, v« be its other two roots, and its terms be arranged according to the powers of v, and the product of its roots and the sum of their products by threes be expressed in terms of the coefficients, we find that (50) V,« ( ^i^-*^?i^ ) =a(viV, + t;2t;3-^t;3r,) + 4ftt;it;,v, + et;,*W9V; \ Vi — V, / and by Abel's theorem Wi + tij + li, + W4 = 0. 9. Addition Theorem for the Functions p, g, s, sn. The first of these two addition equations becomes, when ^u =s pa and therefore 6 = 0, c = 0, c2 = 1, u« »= 0, (51) 1 /p'i*i-p'«iV Wi + t*j + w» « ; 362 IRVING STRINGHAM. when u = gu and therefore 6 = 0, c ~ ^, (2 = ^, it« = 0, Hl + IIa + II, = 0. The second becomes, when u = au and therefore a = 0, e^O, \ Stti— SW, / SÎI, * «^1+ Wj + w» = 0. From this last equation, through the substitution (54) s2u = 8n,'tt, the addition equation for the sn« function is easily developed in the form sn«'u, — sn«'u. (55) sn.(ii, + î^) = sn. 1*1 SD« Ui — sn.UsSn« Ui The many other forms of the addition equation for the various kinds of elliptic functions are derived, through easy transformations, from those herein enumerated, by the establishment of which the foundations of a theory of elliptic functions are thus securely laid. 10. Short AccoiuU of the Functions sn«, en«, dn«. As supplementary to the foregoing outline I append a short account of the series of functions that present themselves in connection with the transformation-theories of cases L and II. By the substituticm z^^a^, the differential equation becomes (56) 4(0=(a;»+l)(*-'«^ + l). or, if w = 2m, (i) (^Y = (a? + l)(«-»a!* + l); and, by virtue of the previous linear transformation of case II., ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 363 in which (58) öi«-« = ie-*-/e"« + l. We may now, as previously in section 7, define outright (59) â? = sn«ii, or we may proceed as follows. With reference to the modulus /r, itself defined by the identity (60) /«= I « I (cosi8 + isin)9), sine and cosine are defined by the further identities (61) sin.u;= |(e«''«-6-«''«), cos^w = J (««"« + e"^«), in which ti; is in general complex. These two functions are connected by the relation (62) cos,* w - «-«sin,* w = 1, which may be verified by a very simple calculation. Let x » sin«^ ; then (63) dx = cos«<^^, (64) a^ + l=8iD.»<^ + l, (65) K^a^ + 1 = /e-^sin," <^ + 1 = cos,*^, and therefore (66) If now d^ d^ V (a:» + 1 ) {K-^a? + 1 ) " Vsin,* <^ + 1 ' ^ is the amplitude of u with respect to the modulus k\ sym- bolically <68) ^«am,u. With respect to the same modulus, let us also define (69) sin«^ = 8n«Uy cos«^ » cn«i£, Vsin«*^ + 1 » dn«tf^ It then follows that yjj. fcn.«u-Ac-»8n««u = l, 364 IBVING STRIN6HAM. The differentiab of these functions obviously are dsim^u SB dn^u . du, /72) d sUgU =s cn^u . dn^u . du, d ciigU = iC^ sn^u . dn,w . du, ' d dn^u =: sn^tt . cn^t^ . du, 11. Transition to Cyclo- and Hyperbo-Elliptic Forms. Since sin,,^ = iic sin ?- , (72) and (73) or (74) or (75) Hence .-. ^/aia * il> + 1 ='aJi-i dt %K Vsin,» ^ + 1 7^ ..± =dt*; «" sm' -r- -r- = am v , am.t« = t/K am %K (76) sn«t£ = i/irsm -f- =i/ic sn —, t/ic iic cn«w = cos -?- = en -r- , %K %K dn^tU^A/l — «•sin*?^=dn-r-. Similarly, since sin« ^ = /r sinh ? , (77) and (78) .-. Vsin,« ^ + 1 = Kf la sinh» * + 1 , d0 _^ VsÏd/^Î * x/ic* sinh« ^ + 1 du. ON ELLIPTIC FUNCTIONS. 365 Hence, if the hyperbolic forms corresponding to am, sn, en, dn be denoted by hm, hs, he, hd respectively, then (79) or (80) and (81) K K y U Bxn^u^ tenia -, sn,ii = K sinh — = «hs - . K K' -{ cn,w = cosh — = he - , dn«tt =A /sinh» — + 1 = hd - . Hence, also, writing for the moment w « u\k, (82) \ hm w = I am -r , i hm w = am iWy i\i%w^ sn iw, hcwÄcniw, k hd t(; = dn m that (83) 12. ZerO'Valwa, NegoMve-Valnes and lArnüa. We may now pass to further detaib of the theory and show sn«0 = 0, en« 0=1, dn,0 = l. that (84) sn« (— u) = — sn« w, en« (— u) = cn«ti, dn« (— u) = dn«w, and that if ri« dx . dx (86) c^ dx 366 IBVING STRINGHAM. then (87) sn^iicir = i/e, Gn^ixK^O, An^xicK^K, etc. etc. etc. 13. Conclusion. One does not at once and without question decide which of the above-outlined transformation-theories, with its corresponding series of functions, will provide the most satisfactory standard formulary. Each has doubtless some peculiar advantage of its own, and we may come to the conclusion that the general theory is large enough to contain them all. The p-function is no doubt destined to be retained as an important instrument both in the theory and in practice ; but, for the student, quite as much interest may attach to what I have here called the s-function, and the Jacobian theory certainly acquires new interest from the enlarged view which the Cayleyan transformations permit us to take, as the investigations of Klein, Weber and other recent writers suflSciently attest. University of California, Jidy^ 1893. ÄLTERE UND NEUERE UNTERSUCHUNGEN ÜBER SYSTEME COMPLEXER ZAHLEN. VON E. STUDY IN MARBURG. Der Zweck der folgenden Zeilen ist, einen Überblick über eine Reihe von Untersuchungen zu geben, in denen Systeme von complexen Zahlen in Verbindung mit gewissen Transformations' gruppen auftreten. Wir gehen dabei ziemlich weit zurück, um die Wurzeln der neueren Erkenntnisse in der älteren Litteratur aufzudecken. — Bekanntlich hatte Gauss eine Äusserung in dem Sinne gethan, dass die gewöhnlichen imaginären Zahlen der Form a; + V— l.y für die Bedürfiüsse der Analysis ausreichten. Der Umstand, dass man hieraus eine förmliche Verurtheilung aller anderen Systeme von complexen Zahlen herausgelesen hat, mag eine der Hauptursachen dafür gewesen sein, dass die Entwickelung einer allgemeinen Theoiie dieser Algorithmen so lange hat auf sich warten lassen, wie es thatsächlich der Fall gewesen ist. — Wir werden im ersten Theile dieses Berichtes, der die Zeit bis zum Jahre 1888 umfasst, vorwiegend von speciellen Untersuch- ungen zu reden haben, die durch Hamilton's Entdeckung der Quatemionen (1843) veranlasst worden sind. Auf Hamilton's eigene Arbeiten, sowie auf H. Grassmann 's verwandte Gedanken einzugehen, müssen wir uns leider versagen. Frühzeitig schon ist der Zusammenhang des Quatemionen- calculs mit gewissen Transformationsgruppen hervorgetreten. Cayley hat bereits 1843 die Entdeckung gemacht, dass die von Euler (1770) aufgefundenen und von Rodrigues (1840) vervoll- 368 E. STUDY. stäudigten Formeln zur Transformation rechtwinkliger Coor- dinaten oder zur Darstellung der Drehungen um einen Punkt auf eine einfache Weise aus dem Quatemionencalcül hergeleitet werden können*. Später haben Laguerre und Cayley ge- funden, dass zwischen den Quaternionen und der Gruppe der projectiven Transformationen a?' = — —5 des binären Gebietes ein enger Zusammenhang bestehtf. Diese Bemerkungen sind nachher von besonderer Wichtigkeit geworden. Sie haben den Ausgangspunkt gebildet fUr eine umfangreiche Untersuchung von Stephanos über binäre bilineare FormenJ, flir verschiedene Ar- beiten von F. Klein § und dessen Schülern, endlich für die modernen Untersuchungen über den Zusammenhang zwischen complexen Zahlen und Transformationsgruppen überhaupt. Andrerseits bat die Art, wie Hamilton selbst seinen Algo- rithmus handhabte, zu einer wichtigen Erweiterung der Quater- nionentheorie geführt. Wir meiuen die von Clifford einge- führten iiigwatemionen II, von deren Anwendung auf die Geometrie des Raumes ihr Urheber sich den grössten Nutzen versprach. Die Biquatemionen sind ursprünglich nichts Anderes als Qua- ternionen mit gewöhnlichen complexen Zahlencoefficienten. Fasst man aber die Quatemioneneinheiten und ihre Producte mit der imaginären Einheit ^/— 1 wiederum als neue Einheiten auf, so erhält man ein neues System, ein System mit acht Hauptein- heiten, das, wie man sagen kann, durch " Mnltipltcation" aus dem Quatemionensystem Q und dem System der gewöhnlichen com- plexen Zahlen eo=l, 6i = V— 1, oder besser, aus Q und dem .System (1) eo' = €o, €061 = 6i€o = ei, €i»=-€o hervorgegangen ist. An Stelle des Systems (1) konnte Clifford * Cayley, Cambridge Math. Journal, t. ixi. 1848; Philot. Mag. 1843, z. + Laguerre, Journal de VÉc. Polyt., cah. 42, 1867. Cayley, Math. Ann. Bd. 15, 1879. t Stephanos, Math. Ann. Bd. 22 (1888). § F. Klein, Vorlemngen über das Icotaeder (Leipzig, 1884); 8. insbea. l Abschn., §2. II (1878). S. Clifford, CoUeeUd Mathematical Papen, Lond. 1882. SYSTEME OOMPLEXER ZAHLEN. 369 noch eines der folgenden beiden Systeme von zwei Haupteinheiten setzen : (2) eo" = €o, €o€i = €i€o = €i, €,» = 0, (3) €o" = €o. €o€i = €i€o = €i, €i«= + 6o. Auf diese Weise entstanden drei verschiedene Systeme von " Biquatemionen," von denen das mittlere in einer nahen Be- ziehung zur Gruppe der oo* Euclidischen Bewegungen steht, während die beiden anderen in derselben Weise den beiden Hauptarten der Nicht-Euclidischen Geometrie, also der Gruppe einer reellen nicht-geradlinigen und der Gruppe einer imagi- nären Fläche 2. O. mit reellem Polarsystem entsprechen. Allerdings hat der frühzeitig verstorbene Clifford das Wesen dieser Beziehungen nicht klar erkannt; doch zeigen die uns hinter- lassenen, von Buchheim* bearbeiteten Bruchstücke, dass ihm das Vorhandensein eines Zusammenbanges bekannt gewesen ist. — Die hier zuerst benützte Operation der *' Multiplication'* zweier Systeme von complexen Zahlen, die darin besteht, dass man die Produkte der zu beiden Systemen gehörigen Elinheiten als die Grundeinheiten eines neuen Systems definirt, hat in den später zu nennenden Arbeiten von S chef fers eine besondere Bedeutung gewonnen. — Die bereits hervorgetretene Mannig<igkeit der Systeme von complexen Zahlen musste es wünschenswerth erscheinen lassen, wenigstens für eine kleine Zahl n von Haupteinheiten die Ge- sammtheit dieser Algorithmen zu kennen. Diese Frage hat frei- lich erst viel später eine Beantwortung gefunden ; wir wollen aber hier eine umfangreiche Arbeit von Ä Peirce nicht unerwähnt lassen, in der verwandte Fragestellungen behandelt sind f. Leider ist die Darstellungsweise von Peirce sehr unvollkommen. Es hält daher schwer, zu erkennen, welche Probleme er eigentlich gelöst hat, und was mit der Lösung gewonnen ist. Im Falle n = 2 erge* ben sich, wie Weiers trass und Gay ley bemerkt haben, nur die oben verzeichneten Systeme (1), (2), (3)J. ♦ Bnchheim, Am. J. y, vra. 1SS5. t B. Peirce (1870), n. C. 8. Peirce, Am. J. v. iv. 1881. X Pinoherle, GiomaU di McUematiehe xtiii. 1880. Cayley, Proc, of the Lond. Math. Soc, rv. (1883—84). C. P. 24 370 E. STUDY. Die vorhin berührte Darstellung der Bewegungen im NidU- Euclidischen Raum ist inzwischen von Cayley geleistet worden, allerdings ohne Beziehung auf die Biquatemionen*. Cayley gelangte zu einem Formelsystem, das die linearen automor- phen Transformationen einer Summe von vier Quadraten mit Hülfe der Biquatemionen, die aus obigen Formeln (3) hervorgehen, in ganz ähnlicher Weise darzustellen erlaubt, wie man vorher schon die automorphe Transformation einer Summe von drei Quadraten mit Ht^lfe der Hamilton'schen Quatemionen dargestellt hatte. (S. die obigen Bemerkungen über die Formeln von Euler und Bodrigues.) Merkwürdiger Weise zeigte sich auch hier wieder eine nahe Beziehung zu einer schon von Euler entdeckten Formelgruppe. — Hinter der erwähnten Formelgruppe Cayley's bleiben die berühmten Formeln, durch die derselbe Autor das allgemeinere Problem der automorphen Transfonnation einer Summe von « Quadraten gelöst hat, in doppelter Hinsicht zurück. Einmal gibt es, sobald n > 3 ist, lineare Transformationen, die zwar die Summe von n Quadraten (eigentlich) in sich selbst transformiren, sich aber der Gay ley 'sehen Darstellung entziehen f. Sodann ist die Zusammensetzung der ^ ^ unabhängigen Parameter, durch die Cayley die fragliche Transformation darstellt, nicht "bilinear" wie der Referent sich ausdrückt. Sowohl bei der Eu 1er 'sehen Transformation einer Summe von drei Quadraten, als auch bei der erwähnten Cayley 'sehen einer Summe von vier Quadraten, kann man nämlich sehr leicht zwei Transformationen hinter einander ausführen : Die vier, bez. acht homogenen Para- meter der zusammengesetzten Transformation werden lineare Functionen der Parameter einer jeden der beiden gegebenen Transformationen. Ähnliches ist bei den allgemeineren Formeln Cayley's nicht mehr der Fall. Hier setzt nun eine Unter- suchung von Lipschitz ein|. Lipschitz zeigt, wie man mit Hülfe eines bereits von Clifford entdeckten, aus 2**~* Hauptein- * Cayley, Grelle' 8 J, Bd. 32, 1846; 60, 1865. f Die eben besproohenen, auf den Fall 91=4 besügüohen Formeln Cajley's ordnen sieb seinen allgemeinen Formeln nicht ohne Weiteres anter, sondern gehen aus ihnen erst durch Einführung eines überzähligen Hülfsparameters hervor. X Lipschitz, Untersuchungen über die Summen von Quadraten. Bonn, 1886. SYSTEME COMPLEXER ZAHLEN. 371 heiten bestehenden Systems von complexen Zahlen die auto- | morphen Transformationen einer Summe von n Quadraten so | ausdrücken kann, dass die obigen Forderungen der Darstellbar- i keit einer jeden Transformation und der bilinearen Zusammen- setzimg erfüllt werden. Im Falle n = 3 kommt man auf die Formeln von Euler und Rodrigues, im Falle n = 4 (was Herrn Lipschitz entgangen zu sein scheint) auf die erwähnten Formeln Cayley's zurück. — Die Zahl der Einheiten, die Lipschitz benutzt, ist, wie gesagt, 2*^^ also eine Zahl, die mit steigenden Werthen von n viel rascher wächst, nicht nur als die Zahl o der unabhängigen Parameter einer orthogonalen Trans- formation, sondern auch als die Zahl n' der Coefficienten einer allgemeinen linearen Transformation im Gebiet nter Stufe. Eis bleibt daher die Frage offen, ob man nicht die automorphen linearen Transformationen einer quadratischen Form in noch einfacherer Weise mit Hülfe einer kleineren Zahl von Einheiten behandeln kann. Thatsächlich kann man in dem allerdings singulären Falle n = (S mit Hülfe eines Systems von 16 Einheiten die automorphe Transformation der quadratischen Form (4) /= a?i" — ä:," H- x^ — x^^ t x^ - x^ 6*5 durch 16 = 1 H- -5- homogene Parameter mit bilinearer Zusammen- setzung leisten*, und zwar ohne Auftreten irgend welcher Ausnahmefälle; während nach der Methode von Lipschitz 2' = 32 Einheiten erforderlich sind. Hier ist also ein Punkt, wo künftige Forschungen einzusetzen haben werden. Mit den besprochenen Untersuchungen hängt nahe zusammen eine Reihe von Arbeiten über büineare Formen und Matrices. Durch die lineare Schaar der bilinearen Formen l^onXiUt eines Gebietes nter Stufe wird in der ein&x;hsten Weise ein System complexer Zahlen mit n' Haupteinheiten definirt, wenn das "Produkt" zweier Formen der Schaar durch die Formeln (5) (xiUk) (xk uj) = (xitif), (xiUk) (xiuj) = (* + erklärt wird+. Diese "Multiplication" der bilinearen Formen * F. Klein, Math. Ann. Bd. 4 n. ff. t Cayley, Phü. Tram. v. 14S, 1S58. Frobenius, CreU^s J. Bd. S4, 1878. Vgl. Sylvester, "Universal Algebra.'' Am. J. v. vi. 1884. Ed. Weyr, Präger 24—2 372 E. STUDY. läuft offenbar der Zusammensetzung der collinearen Transforma- tionen Xk ^^OikXi des Gebietes nter Stufe parallel; wir wollen i daher sagen, dass da^ System von n^ Einheiten eos mit den MtUtiplicationsregeln (6) eik^eifn=^0(k^l), eik.e]^ = eij zur allgemeinen prqjectiven Gruppe (der Gruppe aller collinearen Transformationen) des Gebietes nter Stufe gehört. Führt man zwei Transformationen SaaiCitti; = 0, ^bikXiUj^^^O hinter einander aus, so setzt sich die Matrix \cik\ der resultirenden Transformation in einfacher Weise aus den Matrices \aik\ und !6atl der Componenten zusammen : Icorl = pOttiftl ; man kann daher die Multiplication zweier Zahlen unseres Systems auch auffassen als eine " Multiplication" der zugehörigen Matrices. Umgekehrt wird jede Untersuchung über die Zusammensetzung der Matrices, oder der bilinearen Formen, oder der Transforma- tionen der allgemeinen projectiven Gruppe, als eine Untersuchung über das aus n' Einheiten gebildete System (6) von complexen Zahlen angesehen werden können. Der auf den Fall w = 2 bezüglichen Untersuchungen von Laguerre, Cayley und Stephanos haben wir schon gedacht. Hier haben wir noch hinzuzufügen, dass das im Falle n = 3 entstehende System von neun Einheiten identisch ist mit dem System der Nonionen, das von Sylvester als ein Analogen der Hamilton'schen Quatemionen aufgestellt worden ist*, sowie, dass das aus der Annahme n = 4 hervorgehende System zur auto- morphen Transformation der quadratischen Form (4) dient. Unter den auf die Gruppe der collinearen Transformationen bezüglichen Untersuchungen ist besonders hervorzuheben die erwähnte Arbeit von Frobenius, die eine grosse Menge werth- voller Ergebnisse enthält. Im Schlussparagraphen dieser Ab- handlung werden ausdrücklich Systeme complexer Zahlen einge- Jierichte, 1887; Bulletin dm Sei. Math, 2 sér. xv. 1887; Wiener MonaUh, f, Math, u, Fkys. i. 1890. * Sylvester, John» Hopkins Circular, 1882, n. Comptes Rendus, 1883, S. 1336 ; 1884, S. 273, 471. SYSTEME œMPLEXER ZAHLEN. 373 führt, allerdings auf Grund einer mangelhaften Definition. Frobenius zeigt u. A., dass die gewöhnlichen complexen Zahlen und die Quaiemionen die einzigen Systeme complexer Zahlen sind, hei denen ein Produkt zweier Fojctoren nicht verschwinden kann, ohne dass einer der Fax^toren verschwindet. Endlich wollen wir einer im Übrigen nicht einwandsfireien Note von Poincarë gedenken, der hervorgehoben hat, dass mit jedem System complexer Zahlen zwei projective Gruppen ai — ax, x' — ah verknüpft sind*; was uns allerdings ziemlich selbstver- ständlich erscheint. In beinahe allen bis jetzt erwähnten Untersuchungen hat sich ein Zusammenhang der Systeme complexer Zahlen mit gewissen Transformationsgruppen gezeigt: eine Thatsache, die allerdings von den Autoren selbst nicht immer hervorgehoben worden ist. Die Systeme complexer Zahlen erscheinen als ein Mittel, gewisse Gruppen linearer Transformationen in übersichtlicher Weise darzustellen, und die Regeln ihrer Zusammensetzung kurz zu beschreiben. In den Arbeiten, die wir jetzt zu nennen haben werden, mrd die Theorie der complexen Zahlen von vom herein als ein Theil der grossen, von Sophus Lie begründeten Theorie der Transfommtionsgru'ppen\ hingestellt. Es handelt sich darum, die Besonderheit gewisser mit Systemen complexer Zahlen verknüpfter Gruppen klar zu erfassen, die Zahlensysteme syste- matisch zum Studium dieser Gruppen zu verwerthen, endlich umgekehrt die in der allgemeinen Theorie der Transformations- gruppen entwickelten Gedanken für das Studium der Zahlen- systeme nutzbar zu machen. Die Reihe dieser Arbeiten wird eröffnet durch eine Abhand- lung von Schur J. Schur ersetzt die Gleichungen des associa- tiven und distributiven Gesetzes der Multiplication (7) a(6c) = (ai)c, a (6 + c) = a6 + ac, (a-\-}i)c — a^->fhc * Poincaré, CompUi Rendm, 18S4, S. 740. t Theorie der Tramformatiorugrtq^pen, unter Mitwirkung von Fr. Engel bearbeitet ron S. Lie. Leipzig (Bd. i. 18S8; Bd. n. 1890). X Sohur, Math, Ann. Bd. 33, 1888. 374 B. STUDY. durch allgemeinere FuDctionalgleiehungen ; er zeigt sodann, daas diese Functionaigleichungen durch Einführung von geeigneten Veränderlichen auf die Form (7) gebracht werden können, dass also die durch jene Functionaigleichungen gekennzeichneten Gruppen durch Einführung neuer Veränderlicher aus Gruppen hervorgehen, die mit Systemen complexer Zahlen verknüpft sind. Die Arbeit ist besonders dadurch bemerkenswerth, dass sie der Ausgangspunkt für die wichtigen Untersuchungen geworden ist, mit denen Schur die Theorie der Transformationsgruppen später bereichert hat. Bis hierher war noch kein Versuch gemacht worden, für kleine Werthe der Zahl n die Systeme mit n Haupteinheiten erschöpfend aufzuzählen, abgesehen von dem bereits erwähnten, mit wenigen Federstrichen zu erledigenden Fall n = 2. Diese Aufgabe ist vom Referenten angegriffen worden*. Man kann der vorliegenden Frage gegenüber zwei wesentlich verschiedene Standpunkte einnehmen: Man kann einmal zwei Systeme als äquivalent betrachten, wenn sie durch Einführunjj neuer Grund- zahlen vermöge einer linearen Transformation mit gewöhnlichen complexen Coefficienten in einander übergehen (Problem der Au&ählung der " Typen**) ; oder man kann die Äquivalenz durch eine lineare Transformation mit reellen CoetBcienten definiren, wobei dann natürlich in der Multiplicationstafel auch nur reelle Coefficienten zulässig sind (Problem der Au&ählung der *' Ge- stalten"). Beide Aufgaben sind vom Referenten für die Werthe n = 3 und n = 4, durch ein elementares Verfahren, vollständig erledigt worden. Die Systeme werden classificirt nach ihrer Redtunbilität (ein System heisst reducibel, wenn man die passend gewählten Haupteinbeiten in Gruppen ei, 6«,... theilen kann, derart, dass ei€^ = c^e^ = ist) und nach ihrem Grade k, einer bereits von B. Peirce eingeführten Zahl, die angibt, wieviele unter den Potenzen einer allgemein gewählten Zahl des Systems linear-unabhängig, d. h. durch keine lineare Relation mit numer- ischen Cîoefficienten verknüpft sind. Ausserdem wird noch der Fall k=^n allgemein erledigt. Einige (sehr specielle) Systeiue dieser Art waren bereits vorher von Weierstrass aufgezählt * Study, Qött, Nachr, 1SS9; MotiaUh,/. Math. u. Phys. i. 1890; ii. 1891. SYSTEME COMPLEXEE ZAHLEN. 375 und classificirt worden*. Eine zweite Abhandlung des Refer- enten bringt ausfuhrliche Darlegungen über den Zusammenhang zwischen Systemen complexer Zahlen und Transformationsgrup- penf. E^ handelt sich dabei hauptsächlich um Eigenschaften der Gruppe (8) x' = nah, n in der die CoefKcienten Xi der Grösse x = Sa?i6i als homogene Veränderliche aufgefasst werden, und ihrer Untergruppen (9) x^ax, al^ah, (10) x' = a-* xa. Die Gleichungen (9) stellen ein Paar von einfach-transitiven, sogenannten redproken projectiven Gruppen dar; aus der Zu- sammensetzung der Transformationen beider Gruppen entsteht die umfassendere Gruppe (8), deren allgemeine Transformation von 2n — m — 1 wesentlichen Parametern abhängt, wenn das vorgelegte Zahlensystem m linear-unabhängige, mit jeder Zahl des Systems vertauschbare Zahlen x{ax=:xa) enthält. Aus der Gruppe (8) geht sodann die Gruppe (10) hervor, wenn man einen gewissen Punkt von allgemeiner Lage festhält. Diese Gruppe (10), deren allgemeine Transformation n — m Parameter hat, ist nicht wesentlich verschieden von der " Adjungirten** einer jeden der beiden Gruppen (9). Da sich zeigen läs8t,dass jedes Paar von reciproken projectiven Gruppen durch Gleichungen von der Form (9) dargestellt werden kann, so ist mit der Auffindung aller wesentlich verschiedenen Zahlensysteme mit n Haupteinheiten eine bestimmte Aufgabe der Gruppencheorie gelöst, nämlich das Problem der Aufstellung aller Typen von Paxiren reciproker prqjectiver Gruppen. Die Bedeutung dieser Sätze beruht darauf, dass sie in gewissen Fällen zu einer besonders einfachen Darstellung con- tinuirlicher Transformationsgruppen führen. Jedesmal nämlich, wenn die Gruppen (9) isomorph sind zu einer r-gliedrigen con- tinuirlichen Gruppe, kann man die Transformationen dieser * WeierstrasB, G'ôtt. Nachr. 1SS4 ; vgl. Schwarz, Dedekind, PeterBen, Holder ebenda, 1884— 1SS6. t Study, Ber. d. k. säeht. Get. d. W. 1889; oder MonaUhefU für Math. u. PhyHk, I. 1890. 376 K. STUDY. Gruppe in der Weise durch Parameter darstellen, dass für diese Parameter " biliiieare Zxisaminensetzung " besteht (s. oben), womit eine besonders einfache Grundlage für die Behandlung der r-gliedrigen Gruppe gegeben ist. Identificirt man das System complexer Zahlen mit den Quatemionen, so stellen die Formeln (9) die beiden dreigliedrigen projectiven Gruppen dar, die je eine Geradenschaar der Fläche 2. O. iro* + ^i' + ^*H-^s' = in Ruhe lassen (die sogenannten Schiebungen dieser Fläche), (10) aber liefert die Euler- Cay ley 'sehe Darstellung der Drehungen um einen festen Punkt (s. oben). Die ausgedehnte Anwendbarkeit des Qtuiternio7iencaJculs in der Maassgeonietrie beruht hiemach auf Folgendem : Erstens darauf, dass die Gruppe der Drehungen im {Euclidt- sehen oder Nicht-Euclidischen) Baume isomorph ist mit einem Paar von reciproken projectiven Gruppen, Zweitens darauf dass diese ihre beiden Parametergruppen identisch sind mit den beiden Gruppen von " Schi^ungen*' eines Nicht'Euclidischen Raumes, Drittens darauf dxiss die Gruppe der Drehungen um einen festen Punkt ihre eigefie adjungirte Gruppe ist. Der letzte Umstand namentlich ermöglicht die fruchtbare Doppel-Auffassung einer Quaternion, wonach diese bald als Symbol eines Punktes im Raums, oder der vom Anfangspunkt nach diesem Punkte gezogenen Strecke, bald als Symbol einer Drehung erscheint. — Das Problem der Classification und Bestimmung der Systeme complexer Zahlen içt, mit umfassenderen Hülfsmitteln, auf- genommen worden von Scheffers*. Scheffers gibt zunächst ein einfaches Kriterium der Reducibilität. Ein System S ist dann und nur dann reducibel, wenn es ausser dem sogenannten Modul {der Zahl e, die den Bedingungen x^€x, x^ x€ identisch genügt) noch mindestens eine Zahl ei enthält, die mit allen Zahlen des Systems vertauschbar ist (e,^ = X€i) und deren Quadrat ihr selbst gleich ist Ci und (e — €,) sind dann die Moduln zweier Systeme mit einer geringeren Zahl von ♦ Scheffers, Ber. d, ä. sficfi», Ges. d. W, 1889; Math. Ann. Bd. 39, 1890; Bd. 41, 1892. SYSTEME COMPLEXEE ZAHLEN. 377 Einheiten, in die das System S zerlegt werden kann. Die wiederholte Anwendung dieses Kriteriuras fiihrt zur vollständigen 2^rlegung des Systems 8 in kleinere Systeme, einer Zerlegung, die immer nur in einer Weise bewerkstelligt werden kann. Neben die Eintheilung der Zahlensysteme in reducibele und irreducibele stellt Scheffers eine zweite, nicht minder wichtige: die Eintheilung in Quaiemioiisysteme und Nichtquatemiansysteme. Nach einem fundamentalen Satze von Engel* zerfallen alle r-gliedrigen continuirlichen Gruppen in zwei Classen. Die Gruppen der ersten Classe enthalten eine dreigliedrige Unter- gruppe von der Zusammensetzung der projectiven Gruppe eines Kegelschnittes in der Ebene (oder der Gruppe der Drehungen des Raumes um einen festen Punkt); die Gruppen der zweiten Classe sind, nach der Ausdrucköweise von S. Lie, integrabel) d. h. jede von ihnen hat eine (r — iX-gliedrige Untergruppe, diese wiederum hat eine (r - 2)-gliedrige Untergruppe, u. s. C Diese Eintheilung wird nun auf die aus n Einheiten gebildeten Systeme complexer Zahlen übertragen, wenn man an Stelle der r-gliedrigen Gruppe eine der beiden (w — l)-gliedrigen Gruppen (9) setzt. Die zur ersten Classe gehörigen Systeme, die Quatemionsystenie, lassen sich, nach einem allerdings zunächst nur vermutheten Satzef, immer so schreiben, dass ein Theil ihrer Multiplications- regeln mit den Multiplicationsregeln der Quatemionen überein- stimmt. Die Haupteinheiten eines NichtqiicUemiœisystenis lassen sich in zwei Gruppen Ci, ea,...er; i/i, Vi^-'-Vt theilen, derart, dass jedes eiej ausdrückbar ist durch die e» und ej vorhergehenden Einheiten; dass tfi^^r^i^ wid ViVk^O ist für i^k; dass endlich alle Produkte rjkei und Cifik für A:=l, 2,...« verschwinden mit Ausnahme je eines einzigen, das gleich ei ist (v\ßi = «»» «i^^ = ^»)- Auf Grund dieses. und ähnlicher Sätze gelingt es nicht nur, die Bestimmung aller Typen auch noch fiir den Fall n- 5 durch- zuführen, sondern auch die Fälle k = n — l und A: = n — 2, und bis zu einem gewissen Grade den Fall k=^2 allgemein zu erledigen. Die Quatemionsysteme werden bis zu a^ht Einheiten hin bestimmt, ohne dass der oben erwähnte Satz vorausgesetzt würde. — Besonders bemerkenswerth erscheint die Rolle, die der ^ Engel, Ber. d, k. säeh. Ges. d. IV. I8S7, 1S98. t Der Satz lässt sich aus der später zu beepreohenden Theorie Ton Moli en ableiten. 378 E. STDDY. bereits besprochene Process der " MiUtiplication" in dieser Unter- suchung spielt. Jedes Zahlensystem S, das das Systefn Q der Quatemionen enÜialty und den QtuUeniionenmodul zum Oesammt- modvl hat, ist da>s Produkt aus Q v/nd irgend einem Zahlen- system P S^P.Q.- Was wird insbesondere aus dem System 8, wenn man auch das System P mit dem Quatemionensystem identificirt ? Mit Rück- sicht auf den mehrfach besprochenen Zusammenhang der Qua- temionentheorie mit den linearen Transformationen eines binären Gebietes mögen wir die Frage zunächst noch etwas verallge- meinern, und dann die Antwort in den folgenden, bis jetzt allerdings wohl noch nicht ausgesprochenen Satz fassen : Das Pro- dukt aus den beiden Zahlensystemen S^ und Sf^ die zur allgemeinen p7*cjectiven Gruppe eines Gebietes nter und eines Gebietes mter Stufe gehören, ist demselben Typus (une auch derselben Gestalt) zuzurechnen, wie das System S{,^,n)*, das zur allgemeinen prqjec- tiven Gruppe eines Gebietes (nm)ter Stufe gehört. An die besprochenen Untersuchungen von Scheffers schliesst sich an eine Arbeit des Referenten, in der die Beziehung der aus dem System (2) und dem Quatemionensystem Q durch Multi- plication entstehenden Biquatemionen zur Euklidischen Raum- geometric klargestellt wird*. Es wird verlangt, die Coefficienten der allgemeinen Transformation rechtwinkliger Parallelcoordinaten im Räume durch eine möglichst kleine Zahl von Parametern in der Weise auszudrücken, dass liir diese Parameter ^'büineare Zusammensetzwng** besteht, dass also bei Zusammensetzung zweier Bewegungen die Parameter der resultirenden Transforma- tion ganze lineare homogene Functionen der Parameter einer jeden der gegebenen Transformationen werden. Die Lösung geschieht mit Hülfe des erwähnten Biqnatemionensystems durch ein System von acht Parametern, zwischen denen eine quadratische Gleichung besteht. Die gefundenen Formeln werden zur Grund- lage einer umfassenden Theorie der Bewegungen sowohl wie der symmetrischen Transformationen des Raumes gemacht. — Die Methode lässt sich ausdehnen nicht nur auf den Nicht-Euclidischen Raum — bei Annahme einer positiven Krümmung kommt man * Study, Math, Ann. Bd. 39, 1891. SYSTEME COMPLEXEE ZAHLEN. 379 dann auf die besprochenen Formeln Cayley's ftlr die automorphe Transformation von vier Quadraten zurück — sondern, wie beiläufig bemerkt werden mag, auch auf die Theorie der Ähvlichkeüs- trans/ormationen des vierfach- wie des dreiÜELch-ausgedehnten Saumes. Zur Parameterdarstellung dieser Transformationen nämlich kann ein System von 3 . 4 Einheiten dienen, das durch Multiplication des Quatemionensystems Q mit dem System «. «1 e. «b e. e. ei e, «t 0- «• hervorgeht. Eine wesentliche Vertiefung unserer Einsicht in die Structur der Systeme von complexen Zahlen hat endlich eine Arbeit von Molien gebracht*. Hier werden eine Reihe neuer und wichtiger Begriffe entwickelt ; vor Allen der des begleitenden Zahlensystems eines gegebenen. Lassen sich die geeignet gewählten Grundzahlen eines Zahlen- systems in zwei Gruppen ^...«ri ^i-*«'7f theilen, derart, dass alle eiet sich durch die ei allein ausdrücken lassen, während die Produkte eirik, Vk^» ViVk durch die rfi allein ausgedrückt sind, so bilden die Grundzahlen e,...«,. ein Zahlensystem, von dem Molien sagt, dass es das gegebene "begleitet/' Ein Zahlensystem, das kein kleineres begleitendes System enthält, heisst ein " ursprimg- liches Zahlensystem." Ein Hauptziel der Mo lien 'sehen Arbeit ist die Bestimmung aller dieser ursprünglichen Zahlensysteme. Jedes ursprüngliche Zahlensystem hat eine quadratische Zahl von Haupteinheiten, und ist identisch mit einem der Zahlensysteme, die, wie wir oben sagten, zur allgemeinen prcjectiven Oruppe eines Gebietes mter Stufe gehören. Wenn ein Zahlensystem nicht ursprünglich ist, so bestimmen die oben mit Vi'--Vs bezeichneten Zahlen eine invariante Unter- gruppe einer jeden der mit dem Zahlensystem verknüpften reciproken Gruppen (9). Ist das Zahlensystem dagegen ur- * Molien, Über Systeme höherer complexer Zahlen, Diss. Dorpat, 1892, oder Math. Ann, Bd. 41, 1893. 380 E. STUDY. sprünglich, so haben die zugehörigen Parametergruppen (9) über- haupt keine invarianten Untergruppen, da die allgemeine pro- jective Qruppe bekanntlich einfach ist. Durch den angeführten Satz sind also aile Zahlensysteme mit n Haupteinheiten bestimmt, deren zugehörige Parametergruppen (9) einfa/îh sind. Die Bedeutung, die die Bestimmung der ursprünglichen Systeme für die allgemeine Theorie der Systeme complexer Zahlen hat, geht aus dem folgenden Satze hervor: ' Jedes System Sn von complexen Zahlen enthält eine endliche Zahl p von begleitenden ursprünglichen Systemen, deren Hauptein- heiten sämmtlich linear-unahhängig sind. Seien «n...eir, ; e^i.-.e»^; ...«pi...rpr^ die Grundzahlen dieser p begleitenden ursprünglichen Systeme, 171... 17,» die übrigen Einheiten des gegebenen Systems (n + . . . + rp + /x = n), äo werden alle Produkte ent-Sji^ 0, sobald i ^j, und die übrigen Produkte eik.VhVi-^it ^^^ 'Tliijrn drücken sich durch die Grundzahlen rf^,.. fff^ allein aus. Die Produkte «»«« folgen den uns bereits bekannten Multipli- cationsregeln. Auf Grund dieser und anderer Sätze, auf die wir ihrer verwickelten Natur wegen nicht eingehen können, gelangt Moli en zu einer Classification sämmtlicher Zahlens}rsteme. Die Systeme werden in Classen getheilt, deren jede einem der Sehe ff ers sehen Nichtquatemionsysteme entspricht. Die ur- sprünglichen Zahlensysteme bilden für sich allein eine Classe, die dem System der gewöhnlichen Zahlen mit einer Haupteinheit zugeordnet ist. Als ein Vorzug der Molien'schen Untersuchung im Vergleich zu der von Scheffers muss es betrachtet werden, dass Molien sich nirgends auf Sätze stützt, die nicht der Theorie der complexen Zahlen unmittelbar angehören, sondern mit anderen, fremdartigen Hülfsmitteln bewiesen sind. Zu bedauern ist es jedoch, dass Herr Molien es verschmäht hat, seine Theorie durch ausgeführte Beispiele zu erläutern ; zu bedauern nicht allein deshalb, weil das Heil der Wissenschaft nicht ausschliesslich in der Abstraction liegt. Dass die Bestimmung wenigstens der Quatemionsyateme nochmals aufgenommen und ein gutes Stück weitergefiihrt werden möchte, erscheint im Interesse der geometrischen Anwendungen jedenfalls sehr wünschenswerth. — SYSTEME COMPLEXEE ZAHLEN. 381 Wir schliessen dieses Referat mit einer Au&ählung der zusammenfassenden Arbeiten, die der Leser, der sich näher über unseren Gegenstand zu unterrichten wünscht, zu Rathe ziehen möge. H. Hanke 1, Theorie der complexen Zahlensysteme. Leipzig, 1867. W. Gibbs, An address before the section of Mathematics a^nd Astronomy of the American Association for the Advancement of Sciencsy Buffalo Meeting, August 1886, Salem Mass. 1886. Cay ley, " On multiple Algebra." Qua/rterly Journal of Mathe- matics, V. 22 (1887), p. 270. Study, " Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendung in der Theorie der Transformationsgruppen." Monatshefte f Math, u, Phys, I. (Wien, 1890), S. 283. Seh ef fers, "Zurückführung complexer Zahlensysteme auf typische Formen." Math. Ann, Bd. 39, S. 293. Moli en. Über Systeme höherer complexer Zahlen, Dorpat, 1892 ; oder Math. Ann. Bd. 41, 1893, S. 83. Mabburo, im Juni 1893. [Zu der vorli^^nden Aufzählung ist noch hinzuzufügen : Sophus Lie, Vorlesungen über continuirliche Gruppen. Leipzig, 1893. Dieses Werk bringt in Abtheilung Y hauptsächlich eine Übersicht über die Arbeiten von Study und S chef fers. Femer sind seit Abfassung dieses Referats noch zwei Abhandlungen von Scheffers erschienen (Sachs. Berichte^ 1893 und 1894), in denen die Functionentheorie der commutativen Systeme entwickelt und auf einige wichtige gruppentheoretische Probleme angewendet wird. Bonn, im October 1896.] SOME RESEARCHES IN SPHERICAL TRIGONOMETRY. BY E. STUDY OP MARBURG. I BEG your permission, members of the Congress, to give you an account of a book, which has just appeared in the Reports of the Saxon Academy (1893, vol. xx. Nr. 2)*. The matter is quite elementary ; I am to speak about Spherical Trigonometry. I do not know whether you will be interested in this subject or not; certainly I have found some persons who think that Elementary Geometry must be nearly exhausted, that there can be almost nothing left in it, worth doing. My opinion, I confess, is directly the opposite ; and so I entered upon a research into Spherical Trigonometry, the results of which, I hope, will not be without interest. I began by considering the relations among the coefficients of an orthogonal substitution. Let the coefficients a«, au)«-><^ of such a substitution be expressed in terms of Euler's parameters. Le., the four well-known homogeneous quantities introduced by Eu 1er. It is the advantage of this method, as you know, that it reduces the relations just mentioned to identities. Would it not be likewise advantageous to express in the same way the sides and angles of a spherical triangle as symmetrically as possible by a system of three quantities, or better, by four homogeneous quantities, and so to reduce the formulae of Spherical Trigon- ometry to identities? * Sphärische Trigonometrie, orthogonale Substitutionen und eUiptisehe Functionen. Published also separately at Hirzel's, Leipzig. SPHERICAL TRIGONOMETRY. 383 Sine and cosine of an angle may be expressed rationally in terms of the cotangent of the half angle and vice versa. We may therefore investigate the relations among the functions cotangents of the half sides and the half angles of the triangle. Fig.h Let the sides be denoted by Oi, a,, a,, the angles by ai, a,, a,, as shown in the adjoined figures (1), which are understood to be stereographical projections of spherical triangles. Further denote ctg^hy U, and c^ ? by X<. Starting from the formulae called Delambre's or Gauss', you will find after some 384 E. STUDY. reckoning, that these two sets of quantities are connected by the three following equations: (1) lA = _ r+-xrx,+x.x.+x.x, <«*^>' and the three equations, which result from these by interchanging the r& and Vs. The remarkable characteristic of these equations is, that they are linear in terms of the products 1(1^, X^X,. Therefore we may easily express these products in terms of one set of four homo- geneous quantities X^, Xi, X^, X^. Indeed, supposing 2Yq = Xq + Xi 4- X2 + -As, 2Zq = Xq — Xi — Xi — Xz, ^Qv 2 Fl = Xq 4- Xi — X2 — -As, 2Zi = Xq — Xi + X, + X^, 2F5=:Zo-Z, + Z,-X„ 2Z, = Xo+Z,-X, + X„ 2F3 = Xo-X,-Z, + Z„ 2Z, = Xo + JC, + Z,-Z„ the said products may be expressed as follows : (3) ^»^' = 1' X,X,= yUetc.), from which ^= -JZ,Z,Z,Z, Z^Zt /A^ '^«^' ^z,z,z,z,' (4) • ...... (etc.). ^ VF,F,F,F3 _ F,F, • ' FoF, ^/Y,7,7,Y, When now we express the functions cosoj, cosoi in terms of the quantities X^ there appears a remarkable fact, not to have been foreseen, the fact that there is a very near connection between Spherical Trigonometry and the above-mentioned ortho- gonal substitutions : the cosines have the simple values 0,3 On Ou cos Ol = — , cos 09 = — , cos 03 = -^, /-\ Oil a« a» Ogs Ou On 008«! = --, cosas = --, cosa, = --^, Ou 0,2 a» where the quantities ou are exactly the Eulerian expressions for the coefficients of an orthogonal substitution in terms of the parameters Xi, SPHERICAL TRIGONOMETRY. 385 Therefore to each orthogonal substitution belongs a certain spherical triangle, given by the cosines of its sides and angles; and vice versa, to each triangle appertains a certain orthogonal substitution. A great many consequences follow fix)m this theorem. I must confine myself to giving you an idea of some of them ; a compre- hensive theory is developed in the book mentioned above. As a first application of quite an elementary character may be mentioned the research of the relalions between the radii of the inscribed and circumscribed circles. Let the cotangents of the spherical radii of the four inscribed circles be denoted by po, pi, pt, ps, and the reciprocal quantities, the tangents of the radii of the circumscribed circles, by r^, r^, r„ r,; we have ri = ^Y,Y,Y,YAZ,Z,Z,Z,' 22= Ai a« V 2* 2 On (6) R.Yi V 2 • 2 • 2 ^'^^Y,Y,Y,Y,^rzJJ^,' Eliminating the quantities Yi, Zi or Xi, we find 2ro = - po + Pi + p, + p„ 2po = - n + n + ^« + ^a , yv 2n= po-pi-^Pt + P^, 2pi= ro-n + rj+r,, 2ra= Po + Pi-Pî + P», 2p2= ro + ri-r, + r„ 2r,= Po + Pi + Pî-Pï, 2p8= n+n + ^2-n, (nn + r^r;) (r^r^ + r^ri) (ror, + nr,) (8) = 4rorir,rs . popipip» = (popi + pipi) (poPa + p«Pi) (popt + Pipi)' As a second application we give by means of a construction of plane Geometry a solution of the following problem : To find the angles of a spherical triangle, when the sides are given, and vice versa^ Write 2«o = 27r — «1 — a, — a,, 2o-o — 27r — «i — a, — a,, .gv 2«i= -ai-k-a^-k-a^, 2o-,= -Oi + a, + a„ 2«t= Oi-Oj+o,, 2o-,= «1-«« + ««, 2»,= «1 + 0,- a,, 2o-,= Oi + Oa-o,, c. p. 25 386 B. STUDY. where the sum of the right members in each case is iir ; then we have (10) sm 8i = Ö • ^i> ^^° ^i "^ » • ^»• Therefore we are able to construct two inscribed quadrilaterals, whose sides are proportional to the quantities F<, Zi [Fig. 2]. We may choose the absolute size of the two figures in such a manner, that the relations between the sides of both quadrilaterals become exactly the same as the relations between the quantities Tif Zi, Then the diagonals of both quadrilaterals have the same length*. Hence the one quadrilateral may be constructed, when the other is known. So we have the following construction: We seek first the angles %8i ; then we construct the first quadrilateral, of any size we choose; then the second quadrilateral is to be constructed, by means of the known length of its sides and diagonals ; and this second quadrilateral gives immediately the angles o-«. Besides, we find in our figure not only the angles 8i and o-<, but also the angles o^ and oi themselves, as shown in the diagram [Fig. 2]. * Since we may ohange the order of the sides we have three diagonals for each quadrilateral. The three diagonals of the first quadrilateral are equal to the three diagonals of the second quadrilateral. SPHERICAL TMGONOMETRY. 387 Let us now consider the ratios as coordinates of a point in space, and more particularly the quantities __i __? _? ^0 -^0 -^0 as rectangular Cartesian coordinates. Then we have made to correspond to each triangle of given shape a certain point in space, and vice versa. To every real triangle corresponds also a real point; but not reciprocally. The space-locus of the points to which real triangles correspond is remarkable enough. Consider the linear equations F< = 0, Z^ = 0. Elach of these two systems of four equations represents the &ces of a regular tetrahedron. Both tetrahedrons constitute a simple figure, since their vertices are the vertices of a cube. They intersect each other so as to include a regular octahedron [Fig. 3]. To all the points in the interior of this octahedron correspond real triangles; but not to these points only. There are still three other octahedrons (using the word in the sense of projective Geometry), to the points in the interior of which correspond real triangles. Consider any vertex of our regular octahedron, and let every face meeting in this vertex be continued, so as to form the second sheet of a cone with four plane sides. We have three 25—2 388 E. STUDY. pairs of such half-cones, each pair being opposite in the octahedron, [Fig. 4], Now in projective Geometry every pair is to be considered as a regular octahedron, passing through infinity ; and to all points in the interior of any one of these foiu* octahedrons, which we have thus constructed, corresponds a real triangle and vice versa. To the points of the 4 . 8 faces correspond triangles, which depend on only two constants : half of them represent triangles, Fig.ö. whose angular points are in a great circle, [Fig. 5], the other half triangles, all the sides of which pass through the same two points of the sphere [Fig. 6]. SPHERICAL TRIGONOMETRY. 389 The edges and the vertices of the four octahedrons, the number of which is 12, are singular points of our representation of the spherical triangles by points of space. Every vertex represents 00* triangles, each of which has -degenerated in such a manner, that one of its sides has a length congruent to zero, and in the same way the opposite angle a magnitude congruent to zero (mod. tt), as it is to be seen in the figure 7. Two angular points of such a triangle, which still depends on two parameters, are either coincident, or opposite points (poles) of the sphere. Now with every triangle is intimately connected an infinite series of other triangles, the whole of which may be called a group of neighbouring triangles. All of them belong to the same three- flat or three-edge. They are connected by linear substitutions : Let di, Oi be the sides and angles of any one of them, then we have Oi = (— ly^Oi 4- miTT (11) where (ei,ei = 0, 1), (12) Wli + e| + 6|=0, /Ai + €, + 6,= 0, W, + ^ + 6i = 0, /*« + €« + «1 = 0, Wl, + «1 + ÖJ = 0, /i, + €i 4- 6, = 0. (mod. 2). 390 E. STUDY. To all these triangles correspond only 16 different points in space, that is to say, the ratios of the quantities Xi have only 16 different values, namely (13) ^.'-±^. ±x. ±x. x/=±z. ±x. ±x. X.'-±X. ±x. ±x. Z,'=±Z. ±x. ±x. ±x, ±x. From this we deduce immediately a remarkable theorem : The 16 points ofspacef corresponding to a group of neighbouring triangles, constitute what is caUed the configuration of Kummer, There is, moreover, another remarkable configuration connected with our representation of the spherical triangles. We have already spoken of the two tetrahedrons Yi = 0, Zi = 0. Add the third tetrahedron, defined by the four coordinate planes Xi = 0, with one vertex in the middle of our cube, and the three others at infinity, and we have the famous figure of three so-called desmic tetrahedrons. We will return to this point later on. Let me pass now to the most important application of our formulae. Lagrange noticed, as you know, that there is a certain connection between Spherical Trigonometry and Elliptic Functiona In reproducing and completing the theorem of Lagrange, we make use of the notation introduced by Weierstrass. Then the theorem in question can be established as follows : We denote by »x» »m, «y^ a set of three half periods, two of which are independent, and the sum of which is zero : «x -I- û»i» + «^ = ; further we denote by tij, ti,, ti, & ^t of three parameters, the sum of which is also zero : t*i + ti, + w, = 0. Then we have in sMfour independent homogeneous quantities : oix : C0|t : o^v : til : u, : t^ SPHBBICAL TRIGONOMETRY. Now it is possible to substitute : 391 (14) h. where and Ve^-CA o- (2u,) o-A (2u.) - cr^ (2ttJ j. Cm — ^x= — ^, etc. The reciprocal quantities X.. have the same values, the letters fA and i; being interchanged. The values of the quantities cos a«, sin a«, cosa., sin a« are these: (15) cr^(2tt«) , cr(2tt«) cosa,« — /o"^. sma« = ve^-eA. — hr\> crA(2M«) '^ o-a(2wJ cr^(2u.) / <> x . ^ crA(2w.) ^ o-a(2î*.) In this manner to each set of given values of (û:u corresponds a certain triangle, and vice versa, to each triangle, given by the quantities Z., A« corresponds a set of values of the ratios co : u, or more precisely, an infinity of values of (d: u, connected by linear substitutions: (16) where «/=«, + 27»^ + 2S«„ «; = ±«, + 2«r, («-1,2.3), <17) ia + By = 2ßy, /8 + 7 = (mod 2), that is to say <17) 2ß = 2y = a + B = (mod. 4). This is the theorem of Lagrange, which has however not been given heretofore in this symmetric and comprehensive form. 392 B. STUDY. Now, by means of our theory, it may be changed into another theorem, orthogonal substitutions being introduced instead of spherical triangles. This theorem, which is, I think, entirely new, may be expressed as follows : Hie quantities CT (2m.) «r*(2«,) (18) crA(2«0 «y>(2M,) «r(2«,)' «r^(2«,) «r(2«.) • o-r(2«j) contMcted with the Clerical triangle we have spoken of. The tenth coefficient has the following value o,. = Q(2u„2«„2«,), where Q{u, v, w), provided u + v + w = 0, denotes theßmction (19) Q{ 1 /(Tf^u (Tf^v ŒftHu er, «M — Cr \ COS«,« \ , v ^ , ^ ^ ai^{v-\'W)av af^(v+w)av) a-(v + w)a^v aiv-^w) a^w cosa, = \ . \ — , casa3 = ^7-- — r . Œp (v + w) ot; (Tp {v + w) will be denoted by . We have (^)„ = ((f>)„ (r, «^1,2,.. .n). In this notation Cayley's representation of the general proper orthogonal substitution of n variables is (S-T)(S + T)-', 396 HENRY TABER. in which S denotes the identical substitution and T an arbitrary skew symmetric linear substitution ; that is (S)rr=l, (S)« = (r + «), (T)„-H(TV = 0, for r,«=B:l,2, ...n. If — 1 is not a root of the characteristic equation of ^, namely ^ may always be given this representation. From the above expression for ^ in terms of T, we obtain (S + ^)(S + T) = 2S. Therefore |(S)„ + (^)«| x |(S)„ -h (T)„| = ^f. Consequently, if — 1 is a root of the characteristic equation of ^, this orthogonal substitution cannot be given the above representa- tion in terms of the parameters (T)r». Nevertheless, as shown by Frobenius in GreUe's JoumcU for 1858, we can approach as near as we please to any one of the class of orthogonal substitutions, for which !(«)« + (*)«ho, by increasing without limit one or more of the parameters (T)r«, subject to the condition that |(S)„ + (T)„| + 0. We may avoid the limiting case and yet obtain a rational representation of any proper orthogonal substitution by doubling the number of parameters. Thus Eronecker has shown (Berliner Sitzungsber,, 1890) that every proper orthogonal substitution is given by the composition or product of two of Cayley's forms. In this paper I show that we may also avoid the limiting case by taking the positive or negative square (or second power) of the substitutions given by Cayley's representation, and thus obtain a rational representation in the minimum number of parameters of all proper orthogonal substitutions of n variables, for any value of n if the substitutions are real, and for n==2, 3, 4, or 6, if the substitutions are imaginary. But in this representation the para- meters cannot be expressed as rational functions of the coeflBcients * In what foUows tbe determinant of a linear Bubatitntion ^ wiU be denoted by t We have |(^^M = |(^)^| X I W„|. ON ORTHOGONAL SUBSTITUTION. 397 of the orthogonal substitution, whereas in Cayley's representation they can be so expressed. The method of proof is as follows. Let ^ be a proper orthogonal substitution of n variables the roots of whose charac- teristic equation are + 1 of multiplicity m,, — 1 of multiplicity m,*, and gr, gr~^ of multiplicity mr(r=l, 2,...fî). Corresponding respectively to the distinct roots of the characteristic equation of are certain polynomials in S and ^ which may be denoted by «D,, ., *r, 4>/, (r = l,2,.../i). If g .^ ^ [(» + ^r* - (9.^ + ^y^ir m + ^r- - igr^ + ^r-ir- o m A(4>-9rir'-(ff.^-fff^r'ir[i4>-9 rBr' -iffr B -g^r'ir then ^- [(»-^)^-(-^-g)^]'^ g».g«. ÖW *• (_i)w.2«.«. ^' • •• • ' and forr = l, 2, .../*, ' (- \y^ (1 - STry^"« (- l)"».««»^« (1 + ör,)*"». while 4>r is obtained fix>m r by substituting throughout in the latter gi"^ for jr,. The binary products of different polynomials is zero, and we have (r = 1, 2, . . . ft). Moreover, *o=<ï>o, ^. = *o *r = <ï>/ (r=l,2,...A*), and 8 = *o + 4>, + *i + */ + ... +4>^ + 4>/. * Since ^ is proper m^ is even. 398 HBNBY TABER. If now we put ^ = [c. + c(*-8) + c.(*-S)' + ... + c«._,(^-S)».->]4>. W-i[c+o.(î^^)4-a.(*±-7-....4-c^.(^7'-]4». in which Co,Ci,Ct, etc. denote the coefficients of 1, z, z\ etc., in the development of (1 + zfi by the binomial theorem, we have *' = *' and ^ = S - 24>,. A linear substitution ^ can always be found such that 4>. = ^ 4- ^, ^ = ^, ^ = ^^ = 0. If now is such that the &ctor ^ + S is contained Unearly in the fundamental syzygy of ^ (meaning by the fundamental syzygy of ^ the identical relation between 8 and powers of of lowest order in ), V is commutative with ^ ; and if we have -^i* = -^ = ^", That is '^i is an orthogonal square root of ^. Moreover, — 1 is not a root of the characteristic equation of '^i. Thet^fore this orthogonal substitution is given by Cayley's expression, and ^ by the square of Cayley's expression, that is by the expression U + tJ ' in which T is skew symmetric A fortiori, if — 1 is not a root of the characteristic equation of ^, this orthogonal substitution can be given this representation; for then 4>.=:0. Finally, if ^ is ON ORTHOGONAL öUBöTITÜTION. 399 real, ^i can be taken real ; therefore if <^ is real, the parameters which enter into this representation may all be taken real. From a theorem of Stieltjes* it follows that if — 1 is a root of the characteristic equation of (f> of multiplicity two, the factor if> + S enters linearly into the fundamental syzygy of if>. Therefore imaginary proper orthogonal substitutions of two or of three variables are given by the square of Cayley s expression, since for these substitutions — 1 is a root of multiplicity at most equal to two. Again, if <^ is an imaginary proper orthogonal substitution of four or six variables, then — 1 is a root of multiplicity not exceeding two of the characteristic equation of ^ or of — <^. Therefore ^ is given by the positive or negative square of Cayley's expression. If ^ is real, and if — 1 is a root of the characteristic equation of ^, the factor ^ + S in the fundamental syzygy of is linearf . Therefore, every real proper orthogonal substitution is given by the square of Cayley's expression, the parameters being all real. § 2. The preceding theorems give rise to an exponential representation of any proper orthogonal substitution of n variables (for n = 2, 3, 4, 6, if the substitution is imaginary, and for any value of n if the substitution is real) in terms of a skew symmetric linear substitution^. § 3. The theorems of § 1 give a rational representation of any symmetric linear substitution of n variables in ^(n — 1) para- meters for any value of n if the substitution is real, and for n = 2, 3, 4, or 6, if the substitution is imaginary. Thus, let T denote an arbitrary skew symmetric linear substitution of n variables, but such that I (S)rt + (T)^, i 4= 0. Let ^ = {(S-T)(S + TH'; and denoting by i/ the greatest integer in ^(n + 1), let the linear substitution yp^^ be defined as follows : * See page 400. t Frobenius, CreUe, 1878. X The exponential representation of real proper orthogonal snbstitations was given by the author in a paper presented to the American Academy of Arte afid Scieneei, in May, 1892. From this representation, the representation of real proper orthogonal substitutions by the square of Gayley*s expression follows at once. See Proceedingê of the American Academy of Arts and Sciencest vol. 28, p. 212. 400 HENBY TABEB. in which r is to take all values from 1 to n, and öi = ±l, ö,= ±l,...6?.= ±l. Then, if <^ is any symmetric orthogonal substitution of n variables, for any of the values of n above enumerated, If if> is real, the parameters (T)„ can all be taken real. § 4. Let <^ be an orthogonal substitution of n variables of which — 1 is a root of multiplicity m^ of the characteristic equation. Let the nullities* of the first fi powers of ^ -♦- S, namely <^ + S, (0 + S)«,...(^ + S)^-i, (ip + sy, be nil, ^» ••• ^M— 1> ^fL' Then if m^ — m,»_i = 1, fi is odd. From this follows at once the following theorem. Namely, let — 1 be a root of multiplicity m of the characteristic equation of <}>, and let A denote the determinant \{(f>)n + (S)r«|» that is let A:= (4>\^ + h (| PHYSICAL sci:^;cES LIBRARY Can Number: on 153 1893 QA\ 153 )256614 I